2026年深圳高三数学高考三模冲刺卷：三角向量与空间几何（教师命题组版第1套）含参考答案、逐题解析与评分细则

2026年深圳高三数学高考三模冲刺卷：三角向量与空间几何（教师命题组版第1套）含参考答案、逐题解析与评分细则深圳市高三年级2026届高考三模冲刺模拟试卷数学教师命题组版第1套满分：150分考试时间：120分钟适用范围：深圳市高三三模冲刺阶段课堂检测、校内讲评与限时训练注意事项：本卷共22题，分为单项选择题、多项选择题、填空题、解答题四部分。请在规定时间内独立完成。单项选择题每题只有一个正确选项；多项选择题每题至少有两个正确选项，全部选对得满分，部分选对得部分分，有错选不得分。填空题只填写最终结果；解答题须写出必要的文字说明、公式推导、计算过程和结论。请将选择题答案填入答题栏，将填空题答案写在指定横线上，解答题写在对应作答区域内。保持卷面整洁，书写规范。试题突出三角恒等变换、平面向量、空间几何与临考综合应用，同时兼顾函数导数、圆锥曲线、概率统计等高考三模冲刺核心模块。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求）第1题已知角α的终边在第二象限，且cosα=−35A.4+3310B.4−3310第2题设向量a=1,2，b=m,−1，其中A.12B.1C.2D.第3题函数fx=sin2x+A.−1,1B.−12,1第4题在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线ACA.sinθ=22B.sinθ=33第5题在平面直角坐标系中，A1,0，B3,2，C0,4，点DA.5B.7C.8D.10第6题在等差数列{an}中，a1=1，a4=7。若θA.23B.223C.53第7题正四面体的棱长为6，则从一个顶点到其对面三角形所在平面的距离为（）A.32B.26C.33第8题在边长为2的正方形区域0≤x≤2,0≤y≤2内随机取一点A.π8B.π6C.π4选择题答题栏题号12345678答案二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）第9题已知非零向量a,b满足a=2，b=3，且a与A.a⋅b=−3

B.a+b=7

C.a−b=第10题关于方程sinx+cosx=1A.x=0是该方程的解

B.x=π是该方程的解

C.解的个数为2

D.在区间第11题在长方体ABCD−A1B1A.AC1=7

B.直线AC与直线BB1异面且垂直

C.直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为6第12题已知函数fxA.f′x=3x2−3

B.fx在−∞,−1与1,+∞上单调递增

C.x=−1多项选择题答题栏题号9101112答案三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）第13题在区间0≤x<π内，方程sin2x第14题已知向量a,b满足a=1，b=2，第15题一个球内接正方体的棱长为2，则该球的体积为：__________。第16题从集合{1,2,3,4,5填空题答题区题号13141516答案四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）第17题（10分）已知函数f（1）将fx化为Rsin2x+φ的形式；

（2）求fx在给定区间上的最大值、最小值及相应的x作答空间：第18题（12分）在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60（1）求BC的长；

（2）若BD⊥AC，求t的值与BD的长；

（3）设E为作答空间：第19题（12分）如图形关系所述，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，AB=4，（1）证明：CD⊥平面PAD；

（2）求直线PC与平面ABCD所成角的正切值；

（3）求点作答空间：第20题（12分）深圳某校高三数学备课组对“三角向量与空间几何”专题进行限时小测。随机抽取一名学生，其一道综合题得分X的分布如下表：X0246P0.10.20.40.3（1）求EX；

（2）求DX；

（3）若随机抽取两名学生，且两人的得分相互独立，求两人平均得分不低于5作答空间：第21题（12分）已知椭圆C:x24+y2=1，右顶点为A2,0，原点为O。直线l:（1）求椭圆C的焦点坐标与离心率；

（2）用k表示点B的坐标；

（3）若OB⊥l，求k的值以及作答空间：第22题（12分）设F其中a∈（1）求Fa′x；

（2）当a=−1时，求Fax在0,π2上的最大值与最小值；

（3）求实数作答空间：

参考答案与详解客观题与填空题答案汇总题号12345678答案BCBBBBBC题号9101112答案ABDACDABCABD题号13141516答案π/6，2π/324√3π2/5逐题解析与评分细则第1题【答案】B。由α在第二象限且cosα=−3sinA项符号未结合第二象限余弦为负；C项相当于取了相反数；D项同时误判两项符号。本题5分，正确选择得5分。第2题【答案】C。a+2b1因此m=2或m=−12。题设第3题【答案】B。令t=2x+π6，当x∈0,π2时，t∈π6第4题【答案】B。直线AC1在平面ABCD上的射影为AC。在正方体中，AC=2sinA项把空间对角线角误作底面对角线角；C项混淆正弦与余弦；D项将tanθ第5题【答案】B。D为BC中点，故D32,3。于是A本题考查中点坐标与向量数量积，正确选择得5分。第6题【答案】B。等差数列公差d=a4−a13=2，故a2=cos本题易错点是把a5误算为7第7题【答案】B。正四面体棱长为a时，高为63a。当a=6时，高为26。也可设底面正三角形中心为O，则第8题【答案】C。条件OP≤2等价于x2+y2≤4。在第一象限边长为2的正方形中，满足条件的区域是半径为2的四分之一圆，面积为第9题【答案】ABD。由数量积公式得a⋅a故B正确；a故C错误；b在a方向上的数量投影为a⋅第10题【答案】ACD。由sinxsin在0,2π上解得x=0或x=π2。因此A正确，B错误，C正确；在π,3π2第11题【答案】ABC。长方体体对角线AC1=22+32+62=7，A正确。BB1⊥平面ABCD，而AC在底面内，故BB1⊥AC；二者不相交，为异面垂直，B正确。直线A1C与底面所成角的正弦值为竖直高度与线段长之比，即6第12题【答案】ABD。f′x=3x2−3=3x−1x+1，A正确。由导数符号可知，f′x>第13题【答案】π6,2π3。由sin2x−3cos2x=0，得tan2第14题【答案】2。由向量模长公式，2故2a第15题【答案】43π。正方体棱长为2，空间对角线为23，即球的直径，故半径V本题5分，半径确定正确得2分，体积公式与计算正确得3分。第16题【答案】25。不放回依次取两数，总有序数对数为5×4=20。满足a+b≥第17题【答案与解析】（1）f（2）令t=2x+π3。当x∈0,π3时，t∈π3,π。因此sint在该区间上的最大值为1，对应t=π（3）fx=1等价于2sin2x+π3=1，即sint=1评分细则：采分点分值说明正确使用二倍角公式化简为sin2x+√3cos2x2分写对其中一个二倍角公式给1分化为2sin(2x+π/3)2分振幅或相位错一处扣1分正确确定t的范围2分区间端点错扣1分求出最大值、最小值及对应x2分只写值不写取值点扣1分解出方程f(x)=12分未排除区间外解扣1分教师讲评备注：本题是三模中常见的“恒等变换+区间范围+方程”组合题。易错点是把t的范围误写成一个完整周期，从而多写t=π6对应的区间外解。替代解法可用辅助角公式第18题【答案与解析】设u=AB，v=ACu（1）B（2）由BD=tv−t即36t−12=B（3）E为BC中点，故AE=12u+A评分细则：采分点分值说明建立向量u、v并求出u·v=122分只写余弦定理也可得分求得BC=2√72分根号化简错扣1分写出BD=tv-u2分方向写反但后续自洽酌情给1分利用垂直条件求t=1/32分未说明垂直转化扣1分求得BD=2√32分平方值正确但模长未开方给1分求得AE·BD=-62分中点向量表达正确给1分教师讲评备注：本题体现平面向量在几何问题中的建模作用。关键是把“点在线段上”“垂直”“中点”分别转化为向量线性表示、数量积为零和中点向量。易错点是将BD写成u−第19题【答案与解析】建立空间直角坐标系：取A0,0,0，B4,（1）因为底面ABCD为矩形，CD∥AB，且AB⊥AD。又PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，从而CD⊥AD（2）直线PC在底面上的射影为AC，故直线PC与平面ABCD所成角为∠tan（3）平面PBC过点B4,0,0，3点D0,d评分细则：采分点分值说明说明CD∥AB且CD⊥AD2分只写矩形性质不完整扣1分说明CD⊥PA并推出CD⊥平面PAD2分未说明两条相交直线扣1分找到射影AC并求得AC=52分射影线段错不得该点求得所成角正切值2√3/52分写成正弦值不扣满，按过程给分建立坐标或等价向量模型并写出平面法向量2分法向量成比例也正确求得点面距离4√21/72分距离公式代入正确但化简错扣1分教师讲评备注：本题是深圳三模常见的“证明垂直+线面角+点面距离”三段式立体几何题。若不用坐标法，第（3）也可用体积法：把三棱锥D−PBC的体积与底面积第20题【答案与解析】（1）E（2）E因此D（3）设两名学生得分为X1,X2，相互独立。平均分不低于5等价于X0.4评分细则：采分点分值说明正确列出数学期望式2分概率与得分对应错不得该点求得E(X)=3.82分小数或分数形式均可正确求E(X²)=182分少平方扣1分求得方差D(X)=89/252分只写3.56也可正确转化为X₁+X₂≥102分写成大于5不严谨扣1分求得概率33/1002分漏算(6,6)扣1分教师讲评备注：概率统计题的临考关键是先确定随机变量取值与概率表是否对应，再区分EX2与第21题【答案与解析】（1）椭圆x24+y2=1中，a2=4，b2=（2）将y=kx化为1已知一根为x=2，设另一根为2于是y故B（3）直线l的斜率为k。由OB⊥l，当k代入B的坐标，得k即−2k24k2−1=−1，解得S评分细则：采分点分值说明求得c=√3与两个焦点2分只写一个焦点扣1分求得离心率√3/21分公式写对但计算错不得该分正确代入直线并得到关于x的二次方程2分展开错误影响后续酌情扣分利用已知根x=2求得x_B2分用韦达或因式分解均可求得y_B并写出B坐标1分只写x_B不得该分建立垂直斜率关系并求得k=±√2/22分漏一个符号扣1分求得面积2√2/32分面积公式正确但代值错扣1分教师讲评备注：本题是圆锥曲线中“过定点直线+第二交点+垂直条件”的标准三模题。易错点有两个：一是把椭圆短半轴当作a；二是求第二交点时未利用已知根，导致计算量增大。替代解法可直接设B为参数点2cos第22题【答案与解析】（1）F（2）当a=−1时，令t=sin所以F设c=cost，则F该二次函数在区间22,1上最大值取在c=22，对应x=0或x=π2，最大值为（3）仍令t=F要使x=π4处取得全局最大值，需对任意F计算得F利用1−F其中cost2对上述区间内所有t成立。若a≥0，显然成立；若a<0，左边随1+costa评分细则：采分点分值说明正确求导并写出F_a′(x)2分漏掉acos2x扣1分当a=-1时完成t=x-π/4的换元2分也可用导数法完成将函数转为关于c=cost的二次函数2分区间c∈[√2/2,1]写错扣1分求出最大值1与最小值√2-1/2，并说明取值点2分只写值不写点扣1分写出差值F_a(π/4)-F_a(x)并因式分解2分关键因式缺失扣1分求得参数范围a≥-√2/22分只给充分不证必要扣1分教师讲评备注：本题是压轴题型中的“对称换元+参数最值”结构。关键推导是把区间中心移到π4，再把全局最大转化为差值非负。易错点是