高一数学函数章节练习题含解析

高一数学函数章节练习题含解析函数作为高中数学的核心内容，贯穿了整个高中数学的学习，其重要性不言而喻。为了帮助同学们更好地理解和掌握函数的基本概念、性质及应用，我精心选编了以下练习题。这些题目力求覆盖函数章节的主要知识点，并附有详细解析，希望能对大家的学习有所助益。一、函数的基本概念与表示题目1：判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A={1,2,3},B={3,4,5,6}，对应关系f：“x→x+2”；(2)A={x|x是三角形}，B={x|x>0}，对应关系f：“x→三角形的面积”。解析：要判断一个对应关系是否为函数，需满足两个核心条件：一是集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应。(1)对于集合A中的每一个元素x（1,2,3），通过f(x)=x+2计算可得结果为3,4,5，这些结果都属于集合B，并且每个x对应的结果是唯一的。因此，(1)中的对应关系是从A到B的函数。(2)集合A中的每一个三角形，其面积必然是一个正实数，即属于集合B。并且，给定一个三角形，其面积是唯一确定的。因此，(2)中的对应关系也是从A到B的函数。虽然B中可能有元素未被对应到，但函数定义并不要求B中的所有元素都有原像。题目2：已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x²-2x，求f(g(2))的值。解析：这是一个复合函数求值问题，应遵循由内而外的顺序进行计算。首先计算g(2)：g(2)=(2)²-2*(2)=4-4=0。然后将g(2)的结果作为f的自变量，计算f(0)：f(0)=2*0+1=1。因此，f(g(2))的值为1。二、函数的定义域与值域题目3：求函数f(x)=√(x+3)+1/(x-1)的定义域。解析：函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量x的取值范围。对于本题，需要考虑两个部分：1.偶次根式√(x+3)：被开方数必须非负，即x+3≥0，解得x≥-3。2.分式1/(x-1)：分母不能为零，即x-1≠0，解得x≠1。综合以上两个条件，函数的定义域为x≥-3且x≠1。用区间表示即为[-3,1)∪(1,+∞)。在求解定义域时，务必注意所有限制条件，不能遗漏。题目4：已知函数f(x)=2x-1，x∈[-1,3]，求函数f(x)的值域。解析：对于一次函数f(x)=2x-1，其斜率k=2>0，因此函数在定义域内单调递增。当x取最小值x=-1时，f(-1)=2*(-1)-1=-3；当x取最大值x=3时，f(3)=2*3-1=5。由于函数在[-1,3]上单调递增，所以其值域为[-3,5]。对于闭区间上的单调函数，其值域端点值就是函数在区间端点处的函数值。三、函数的单调性与奇偶性题目5：证明函数f(x)=x²+2x在区间(-1,+∞)上是增函数。解析：证明函数单调性的基本方法是定义法。即设区间内任意两个自变量x₁、x₂，且x₁<x₂，通过比较f(x₁)与f(x₂)的大小来判断。设x₁、x₂是区间(-1,+∞)上的任意两个实数，且x₁<x₂。则f(x₁)-f(x₂)=(x₁²+2x₁)-(x₂²+2x₂)=(x₁²-x₂²)+2(x₁-x₂)=(x₁-x₂)(x₁+x₂)+2(x₁-x₂)=(x₁-x₂)(x₁+x₂+2)。因为x₁<x₂，所以x₁-x₂<0。又因为x₁>-1，x₂>-1，且x₁<x₂，所以x₁+x₂>-1+(-1)=-2，即x₁+x₂+2>0。因此，(x₁-x₂)(x₁+x₂+2)<0，即f(x₁)-f(x₂)<0，所以f(x₁)<f(x₂)。由增函数的定义可知，函数f(x)=x²+2x在区间(-1,+∞)上是增函数。在证明过程中，作差后的变形和符号判断是关键。题目6：判断函数f(x)=x³-x的奇偶性，并说明理由。解析：判断函数奇偶性，首先要检查函数的定义域是否关于原点对称。对于f(x)=x³-x，其定义域为全体实数R，关于原点对称，满足奇偶性判断的前提条件。接下来，计算f(-x)：f(-x)=(-x)³-(-x)=-x³+x=-(x³-x)=-f(x)。因为f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)=x³-x是奇函数。若f(-x)=f(x)，则为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则为奇函数；若两者都不满足，则为非奇非偶函数。定义域关于原点对称是必要条件，若不满足，直接判断为非奇非偶函数。四、函数的图像与简单应用题目7：已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x²-2x。(1)求f(-1)的值；(2)画出函数f(x)的大致图像。解析：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)。因此，f(-1)=f(1)。当x=1时（x≥0），f(1)=1²-2*1=1-2=-1。所以f(-1)=-1。(2)要画出函数f(x)的大致图像，先考虑x≥0时的图像：f(x)=x²-2x=(x-1)²-1，这是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(1,-1)，与x轴交于点(0,0)和(2,0)。因为f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称。所以，我们可以先画出x≥0部分的图像，然后根据对称性画出x<0部分的图像。x<0时，图像与x>0时的图像关于y轴对称，例如点(2,0)的对称点是(-2,0)，顶点(1,-1)的对称点是(-1,-1)。题目8：某商店销售一种商品，每件成本为a元。经市场调研发现，当售价为每件b元（b>a）时，每天可售出c件。若售价每降低1元，每天可多售出d件。设该商品每件售价为x元（x≤b），每天的销售利润为y元。(1)求y与x之间的函数关系式（不必写出定义域）；(2)若希望每天获得最大利润，售价应定为多少元（在不考虑其他因素的情况下，提示：可利用二次函数的性质）？解析：(1)销售利润y等于每件商品的利润乘以销售量。每件商品的利润为(x-a)元。当售价为x元时，相比原售价b元降低了(b-x)元，因此每天可多售出d*(b-x)件，所以每天的销售量为[c+d*(b-x)]件。因此，y与x之间的函数关系式为：y=(x-a)[c+d(b-x)]。展开后可整理为二次函数的一般形式，但题目未要求，故到此即可。(2)由(1)得到的函数关系式y=(x-a)[c+d(b-x)]是一个关于x的二次函数（在x的取值范围内）。因为二次项系数为-d（通常d>0，代表价格降低销量增加），所以抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。对于二次函数y=mx²+nx+p（m<0），其顶点的横坐标为x=-n/(2m)。我们可以将(1)中的函数关系式展开为一般形式，然后利用顶点公式求出使y取得最大值时的x值，即为所求的售价。具体计算时，需将a、b、c、d视为已知常数代入计算。这体现了函数在解决实际优化问题中的应用。小结函数章节的学习，关键在于深刻理解