2026年温州高三数学高考三模冲刺卷：数列三角与解析几何联动（校际联考版第5套）含参考答案、逐题解析与评分细则

—温州校际联考版第5套—2026年温州高三数学高考三模冲刺卷：数列三角与解析几何联动（校际联考版第5套）含参考答案、逐题解析与评分细则温州校际联考版第5套2026届高三数学高考三模冲刺卷数学试题卷满分150分考试时间120分钟学校______________班级______________姓名______________准考证号______________注意事项1.本卷适用于2026届温州高三数学高考三模冲刺校际联考训练，题型、分值与临考模拟卷保持一致。2.单项选择题每题只有一个正确选项；多项选择题全部选对得满分，少选且无错选得部分分，错选或多选不得分。3.请将选择题答案填入答题栏，填空题答案写在指定横线上，解答题写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。4.书写须规范清楚，涉及函数、数列、三角、圆锥曲线、概率统计和立体几何的关键结论应注明依据。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.设复数，则（）A.B.C.D.2.设集合，，则（）A.B.C.D.3.已知为锐角，且，则（）A.B.C.D.4.等比数列各项均为正，，，则其前5项和（）A.B.C.D.5.圆与直线相切，则（）A.B.C.D.6.函数在处取得极小值，则（）A.B.C.D.7.已知向量，，且，则（）A.B.C.D.8.椭圆的离心率（）A.B.C.D.单项选择题答题栏题号12345678答案二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，少选且无错选得2分，有错选或多选得0分。9.已知函数，下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.图象可由向左平移得到C.是其对称轴D.在上单调递增10.数列的前项和为，下列结论正确的是（）A.B.是公差为的等差数列C.D.随的增大而减小11.某学习小组5次限时训练成绩为2，4，4，6，9。下列统计量判断正确的是（）A.平均数为B.中位数为C.极差为D.方差为12.抛物线的焦点为。点在上，下列说法正确的是（）A.B.在处的切线方程为C.过点可作的两条切线D.当时，切线方程为多项选择题答题栏题号9101112答案三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填写在题中横线上。13.的展开式中项的系数为__________。14.等差数列中，，则前10项和__________。15.椭圆的焦点为，且过点，则离心率__________。16.在中，，，，则其外接圆半径__________。四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知函数。（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，角且，若，，求边及的面积。第17题作答区18.（12分）在直三棱柱中，，，为中点，为中点。（1）证明平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。第18题作答区19.（12分）温州校际联考阅卷组抽取50名学生的“数列三角专题”限时训练成绩，分组统计如下表。成绩区间合计人数515201050（1）用组中值估计这50名学生的平均成绩；（2）若按分层抽样抽取10名学生进行错题回访，求组应抽取的人数；（3）在组10名学生中，有6名学生解析几何题得满分，4名学生数列三角题得满分。从该组随机抽取3名学生，求其中恰有2名解析几何题得满分的概率。第19题作答区20.（12分）已知数列满足，。对每个，取，且。（1）求的通项公式；（2）证明；（3）设，求，并判断与的大小关系。第20题作答区21.（12分）已知椭圆的焦点为，，且点在上。设右顶点为，过作斜率为的直线，与交于另一点。（1）求的方程；（2）用表示点的坐标；（3）若，求的值。第21题作答区22.（12分）设函数。（1）当时，证明，并指出等号成立条件；（2）讨论方程的正根个数；（3）当时，设除外的另一个正根为，证明。第22题作答区解答题备用作答区（第20—22题续答与演算）如第20题、第21题、第22题作答空间不足，可在本区域续写，并在原题作答处标明续答位置。

参考答案与详解本部分按题号逐题列出参考答案、关键解析与评分细则。客观题评分按题型规则执行；解答题评分以关键步骤和结论为主要采分依据。一、答案速查题号123456789101112答案BCDCABACABCABDABCABC题号13141516答案601102二、逐题解析与评分细则第1题答案：B解析：把分母实数化：A少算了虚部平方和，C没有除以分母模的平方，D把模长误写成实部与虚部绝对值之和。评分细则：选B得5分；错选、不选得0分。讲评要点：本题考查复数除法与模长，关键是先把分母实数化，再求实部、虚部平方和的平方根；不要把分母的模当作分母的模平方。第2题答案：C解析：由得，且定义域，故。由得，故。两者交集为。A未处理对数不等式，B没有与B相交，D方向错误。评分细则：选C得5分；错选、不选得0分。讲评要点：本题考查集合交运算与对数不等式，先由定义域和底数单调性确定A，再处理二次不等式。端点1、4均不能取。第3题答案：D解析：锐角条件保证正弦、余弦均为正。由二倍角的正切形式：A、B、C均对应常见代入或平方错误。评分细则：选D得5分；错选、不选得0分。讲评要点：本题考查二倍角公式的正切形式。锐角条件使符号确定，若只写而不能把转化，计算会变慢。第4题答案：C解析：等比数列各项为正，，所以，。B为只求到前4项的误值，D为把首项当作4后计算。评分细则：选C得5分；错选、不选得0分。讲评要点：本题考查等比数列基本量。各项为正用于排除，前项和公式中的首项和项数要对应，避免把当首项。第5题答案：A解析：圆心为。相切时半径等于圆心到直线的距离：B漏加常数项，C、D为有理化或距离公式误用。评分细则：选A得5分；错选、不选得0分。讲评要点：本题考查直线与圆的位置关系。圆与直线相切时，半径等于圆心到直线的距离；常见错误是漏掉直线常数项。第6题答案：B解析：由，得。若为极值点，则，故；且，确为极小值。评分细则：选B得5分；错选、不选得0分。讲评要点：本题考查导数与极值的必要条件。仅有还不够，需用或导数变号确认极小值。第7题答案：A解析：由，展开得。所以。评分细则：选A得5分；错选、不选得0分。讲评要点：本题考查向量模长等式的平方化。等价于两向量垂直，计算量小，适合选择题快速处理。第8题答案：C解析：椭圆长半轴，短半轴，，故，离心率：评分细则：选C得5分；错选、不选得0分。讲评要点：本题考查椭圆基本量。标准方程中长轴在轴，，，离心率为而不是。第9题答案：ABC解析：函数可化为：最小正周期为，A正确；由向左平移可得，B正确；函数取最大值时，得，C正确；当时，相位从到，先增后减，D错误。评分细则：全选ABC得5分；只选A、B、C中的部分且无错选得2分；含D或多选得0分。讲评要点：本题考查三角函数图象。判断单调区间时应看完整相位区间，不可只看端点函数值；对称轴对应函数最大或最小位置。第10题答案：ABD解析：由前项和求通项：故，且为公差2的等差数列，A、B正确。裂项求和如下：所以C错误。又，直接比较可得从起递减，D正确。评分细则：全选ABD得5分；只选A、B、D中的部分且无错选得2分；含C或多选得0分。讲评要点：本题考查由前项和求通项以及裂项求和。第C项故意设置了二分之一系数陷阱，化成首尾相消后应重新核对。第11题答案：ABC解析：平均数为；数据已按从小到大排列，中位数为第3个数4；极差为。方差为：不是。评分细则：全选ABC得5分；只选A、B、C中的部分且无错选得2分；含D或多选得0分。讲评要点：本题考查统计量。方差应除以数据个数5，且偏差平方和为28；把方差与标准差或平均偏差混淆会导致D项误判。第12题答案：ABC解析：抛物线焦点，距离为：A正确。在参数点处切线为，B正确。点代入切线方程得，或，故有两条切线，C正确。当时切线为，即，D符号错误。评分细则：全选ABC得5分；只选A、B、C中的部分且无错选得2分；含D或多选得0分。讲评要点：本题考查抛物线参数点和切线。切线方程要与具体值代入后的符号相符，D项是常见移项符号错误。第13题答案：60解析：二项式通项为：令，得，系数为。评分细则：填60得5分；只写出但未得系数可酌给2分；其他答案0分。讲评要点：本题考查二项式通项。确定的指数后再求系数，不能只看组合数；含时，2的幂也要计入系数。第14题答案：110解析：等差数列中：评分细则：填110得5分；写出给2分；写出给3分。讲评要点：本题考查等差数列对称项性质。与正好围绕前10项的中点配对，可直接用求得。第15题答案：解析：由焦点得，。点在椭圆上，有：解得，故，离心率为：评分细则：填得5分；建立得1分，代点方程得2分，解出得1分。讲评要点：本题考查椭圆方程与离心率。先用焦点确定，再代点列方程；求出后才可计算，不要把当。第16题答案：2解析：由余弦定理，故。由正弦定理：评分细则：填2得5分；求出得2分；正确使用正弦定理得2分；计算结论得1分。讲评要点：本题考查余弦定理与正弦定理联用。先求边，再由求半径，不能直接把已知边或代入外接圆公式。第17题答案：（1），单调递增区间为；（2），，面积为。解析：先化简三角函数：由此可得最小正周期。令相位落入正弦函数单调递增区间：得单调递增区间。由并结合，得。再由余弦定理与面积公式：评分细则：本题10分。化简为给2分；周期1分；单调区间2分；由求出给2分；余弦定理求给2分；面积结论1分。若取值不在内，后续至多得5分。讲评要点：本题是三角恒等变形与解三角形联动题。第一问先把函数统一成同频的正弦型，是后续求周期和单调区间的核心；第二问由求角时，要结合的范围排除端点和周期外解。临场讲评可强调“先化一角一函数，再套性质”的路径。第18题答案：（1）见解析；（2），其中为直线与平面所成角；（3）锐二面角余弦值为。解析：建立空间直角坐标系：令则，。方向向量为：平面为。由于的方向分量为0，且均不在该平面内，所以平面。线面角满足：求二面角时，平面内取：评分细则：本题12分。正确建系并写出关键点坐标给2分；证明平面给3分；求出和法向分量并得给3分；求平面法向量给2分；二面角余弦计算给2分。使用几何法证明同样按等价关键步骤给分。讲评要点：本题是立体几何向量化题。建系后，平行关系、线面角、二面角都转化为向量与法向量的数量计算。若学生采用综合法，可抓住直三棱柱的垂直关系和中点构造；但二面角求值仍建议落到法向量，减少图形想象误差。第19题答案：（1）82分；（2）4人；（3）。解析：用组中值估计平均数：分层抽样总人数为10，组人数占，故应抽取：第三问在组中随机抽取3人，总基本事件数为；目标事件数为。概率为：评分细则：本题12分。平均数列式2分、结果1分；分层比例列式2分、人数1分；第三问总数给2分，目标事件数给2分，概率化简给2分。若把成绩区间端点当组中值，第一问不得超过1分。讲评要点：本题贴近三模阅卷后的数据处理。第一问考查组中值估计，第二问考查分层抽样比例，第三问考查超几何模型。讲评时应提醒学生分清“解析几何题满分”和“数列三角题满分”两类对象，避免把6人与4人当作互相重叠。第20题答案：（1）；（2）见解析；（3），且。解析：由递推式累加：再计算反正切差的正切值：因为两边角均在内，所以：于是为望远镜和：评分细则：本题12分。累加求给3分；写出反正切差角正切公式给3分；说明角范围从而等角给1分；望远镜求给2分；求给2分；比较大小给1分。未说明角范围但结论正确可酌扣1分。讲评要点：本题是数列递推与三角反正切望远镜联动。通项不是终点，而是为了匹配的分母结构。学生若能从联想到，就能自然构造反正切差。易错点：反正切恒等式成立后仍需说明角所在区间，否则只能说明正切值相同，不能直接推出角相同。第21题答案：（1）；（2）；（3）或。解析：设椭圆标准方程为。由焦点得；点在椭圆上，故；，所以：设直线。代入椭圆得：已知一根为，另一根为：若，则向量点积为零：又在椭圆上，，代入得：将代入，解得：评分细则：本题12分。求出椭圆方程给3分；设直线并代入椭圆给2分；利用一根为2求坐标给3分；用向量垂直建立给2分；代入并解出给2分。若只给而未说明平方值，可按正确程度给分。讲评要点：本题是解析几何压轴基础模型。已知过顶点的直线与椭圆相交，代入后一个根已知，另一根用根与系数关系最快；垂直条件用向量点积表达，比直接求斜率乘积更稳。讲评时可把“设线、联立、韦达、转化条件”作为固定流程。易错点：直线过右顶点时交点是方程的一个根，求另一根应用根与系数关系；若直接除以，需保证没有误删点。第22题答案：（1），等号当且仅当成立；（2）时一个正根，时两个正根；（3）见解析。解析：当时，令，则：所以在上递减，在上递增，最小值，因此，等号仅在时成立。一般地：故在上递减，在上递增，最小值为：令，则，在上递增、在上递减，，且时。又：所以时只有根，时有两个正根，其中一个恒为。若，最小点在1右侧，且，故另一个根在，即。再令，则，，且。于是：由于在上递增，且：故。评分细则：本题12分。第一问导数与最小值证明给3分；第二问求导并判断单调性给2分，分析最小值给2分，结合端点极限得根数给1分；第三问证明给1分，计算给2分，利用单调性得上界给1分。若只使用证明第一问也可给满分。讲评要点：本题是函数导数与根的位置问题。第一问给出基本不等式背景，第二问通过最小值决定根数，第三问用单调性夹逼根的位置。关键不是盲目解方程，而是选择可计算的比较点，并证明该点函数值为正。替代解法提示：第一问可直接由经典不等式解决；第二、三问仍需依赖导数判断单调与根的位置。三、讲评口径与复核清单阅卷与讲评统一口径1.客观题以最终选项或最终填空结果为准，但教师讲评时应核查学生是否存在公式误记、定义域漏写、分类讨论缺失、符号方向颠倒等问题。单项选择题不得因写出过程而改变得分；多项选择题严格执行少选且无错选得部分分的规则。2.填空题结果若含根式、分式或三角值，应保持等价最简形式；数值等价但形式未化简，一般不扣分。若中间过程显示题意理解错误，即使凑出相同数值，讲评时应作为易错样本处理。3.解答题评分采用分步采分。关键公式、模型建立、计算化简、结论表达各有独立采分点；前步错误导致后续结果偏差时，后续步骤若方法正确可按同类错误递推给分。4.本卷的核心联动点是数列递推与三角恒等变形、圆锥曲线交点与向量垂直、函数导数与根的位置。讲评时宜把公式记忆转化为结构识别，避免只核对答案不追踪思路。三模冲刺讲评重点对应表模块重点题号讲评与评分关注点数列三角联动4、10、17、20关注递推累加、等差等比基本量、三角恒等变形和反正切差角公式。评分时看学生是否能把代数结构转化为三角结构，而不是只写零散公式。解析几何5、8、12、15、21关注标准方程、焦点参数、直线与曲线联立、韦达关系、向量垂直条件。第21题要把交点坐标、垂直条件和求解完整闭合。函数与导数6、22关注极值条件、单调区间、最小值与根数判断。第22题第三问的上界证明应体现比较点选择和单调夹逼，不能只画图说明。立体几何18关注建系、点坐标、方向向量、法向量和角的定义。若学生只给空间想象结论，没有向量或几何依据，应按证明不足扣分。概率统计11、19关注平均数、方差、分层抽样和组合计数。第三问必须说明总事件数与目标事件数，直接写概率不完整。书写规范全卷根式、分式、区间端点、参数范围和最终单位要清楚。解答题中前后符号要一致，尤其是等变量不可混用。压轴题验收口径：第20题看“通项—反正切差—望远镜—正切值”四段是否连贯；第21题看“椭圆方程—联立直线—求Q—垂直转化—解”五段是否齐全；第22题看“导数单调—最小值根数—比较点—夹逼结论”四段是否形成闭环。临考讲评时，可把本卷错题分为三类：一是基础公式误记，如离心率、二倍角和方差；二是结构转化不足，如数列通项不能服务于三角求和；三是压轴表达不完整，如只得到结论但缺少单调性或取值范围说明。解答题分步采分核对表题号核心步骤扣分核对17先化为，再求周期、单调区间、角A、边a和面积。若单调区间少写，或求A时未排除端点，扣对应步骤分；面积结果需保留准确根式。18建立空间坐标，求D、E坐标，证明线面平行，利用方向向量与法向量求角。坐标系可不同，但点坐标、向量和法向量必须自洽；只写