2019-2020学年上海市杨浦区高一下期中数学试卷

2019-2020学年上海市杨浦区XXX中学高一下期中数学试卷（2020·上海杨浦区·期中）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是弧度．（2020·上海杨浦区·期中）计算sin40∘sin（2020·上海杨浦区·期中）函数y=sinx，x∈π2,π的反函数记为（2020·上海杨浦区·期中）在△ABC中，若a=3，b=1，A=60∘，则B=（2020·上海杨浦区·期中）已知等比数列an中，a2=4，a6=8（2020·上海杨浦区·期中）已知等差数列an，若a1+a5（2020·上海杨浦区·期中）已知数列ann∈N∗中，a1=1，（2020·上海杨浦区·期中）把函数y=3sinx+4π3−1的图象向右平移θθ>0（2020·上海杨浦区·期中）函数fx=2+（2020·上海杨浦区·期中）正整数列an满足a1=a，且对于n∈N∗有an+1=（2020·上海杨浦区·期中）定义在R上的奇函数y=fx满足ftanx=sin2x对任意（2020·上海杨浦区·期中）T1是一个边长为1的正三角形，T2是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形，依次类推Tn+1是对Tn中所含有的所有正三角形都去掉中间一份（如图），记Sn为Tn的面积，（2020·上海杨浦区·期中）在△ABC中，“sinA>22”是“A< A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要（2020·上海杨浦区·期中）以下哪个不是limn→∞2−5q A．2 B．−1 C．−52 D．（2020·上海杨浦区·期中）若等差数列an首项为2，公差为2，其前n项和记为Sn，则数列1Sn前 A．2nn+1 B．nn+1 C．1nn+1（2020·上海杨浦区·期中）已知函数fx=Asinωx+φ（其中A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π2，当x= A．f1<f−1<f0 C．f−1<f0<f1（2020·上海杨浦区·期中）已知cosα+β=255(1)求cos2(2)求2α+β值．（2020·上海杨浦区·期中）已知函数fx(1)求y=fx(2)当x∈π6,（2020·上海杨浦区·期中）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=1，且a+ca−c(1)求角A的大小；(2)求三角形面积S△ABC（2020·上海杨浦区·期中）设数列an的前n项和为Sn，且Sn−12=anS(1)求S1，S2，(2)利用“归纳——猜想——证明”求出Sn(3)求数列Tn（2020·上海杨浦区·期中）已知数列an和bn满足a1=1，b1(1)证明：an+b(2)求an和b(3)令cn=an,n是奇数bn

答案1.【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r，圆心角为α，因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得12α⋅r2=1,αr=1,即故答案为：12【知识点】弧度制2.【答案】12【解析】原式=【知识点】两角和与差的正弦3.【答案】5π【解析】因为当x∈π2,所以点5π6,因为gx是函数y=sinx所以点12,5π6故答案为：5π【知识点】反函数4.【答案】π6【解析】因为asin因为a>b，所以A>B，所以B=π【知识点】正弦定理5.【答案】16【解析】因为a2=4，所以4=a所以a10故答案为：16．【知识点】等比数列的基本概念与性质6.【答案】32【解析】因为a1所以a5所以sina故答案为：32【知识点】等差数列的基本概念与性质7.【答案】12n−1【解析】因为an+1所以1a所以1a故1an是以1为首项，所以1a所以an=1【知识点】辅助数列法8.【答案】5π【解析】把函数y=3sinx+4可得y=3sin依题意可得点π2,−1在函数所以−1=3sinπ2所以π2−θ+4π3=kπ因为θ>0，所以k=1时，θ取得最小值5π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9.【答案】2−2【解析】设t=sin则t2=sin又由t=sin所以函数fx=2+令m=t+2，则m∈2−2,2+所以fm因为m∈2−2,2+所以fm的最小值为1即函数fx的最小值为2−故答案为：2−2【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10.【答案】4，5或32【解析】因为正整数列an满足a1=a，且对于n∈由a6=1，则a5=2或则a3=1，a2=2，a1=4或a3=8，a2即a的所有可能取值为4，5或32．【知识点】数列的递推公式11.【答案】[−1,1]【解析】由ftan则ftanx=令t=tanx，则t∈0,+∞即定义R在上的奇函数y=ft满足当t∈0,+∞时，又当t∈0,+∞时，2t1+t又函数y=ft为定义在R上的奇函数，则f且当t∈−∞,0时，f综上可得ft值域为−1,1即fx值域为−1,1故答案为：−1,1．【知识点】函数的奇偶性、正切函数的性质、函数的值域的概念与求法12.【答案】3(1−(【解析】由图可知，后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的三倍，即第n个图形中剩下的三角形个数为3n−1又后一个图形中剩下的三角形的边长是前一个的12所以第n个图形中剩下的每一个三角形的边长为12n−1，其面积为即Sn即数列Sn是以34为首项，则Qn【知识点】等比数列的前n项和13.【答案】A【解析】在△ABC中，由sinA>因为A∈0,π，可得所以当sinA>22反之：例如A=π6<所以“sinA>22故选：A．【知识点】正弦函数的性质、充分条件与必要条件14.【答案】D【解析】（1）若q=12，则qn（2）若q=2，则qn→+∞，所以（3）若q=1，则qn=1，所以【知识点】数列极限（沪教版）15.【答案】B【解析】等差数列前n项Sn=na1+nn−12d所以1S所以数列1Sn前n项和为【知识点】等差数列的前n项和16.【答案】A【解析】依题意得2πω=所以fx因为当x=π3时，函数所以4×π3+φ=2kπ−π2，所以，fx因为π<4+π6<所以f1因为，f−1又0<4−11所以0<sin因为A>0，所以0<f−1综上所述：f1故选：A．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质17.【答案】(1)原式=(2)因为cosα+β=2所以α+β∈0,π2所以cos2sin2因为tanβ=17，β∈0,π所以cos2α+β又α+β∈0,π2，α∈所以2α+β=π【知识点】两角和与差的余弦18.【答案】(1)fx令π2+2kπ≤2x−解得π3+kπ≤x≤则fx的单调减区间为kπ+π(2)令t=2x−π因为x∈π6,即ft=sin由于ft=sin则当t=π6时，当t=π2时，即fx的最大值为32，最小值为【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19.【答案】(1)由a+ca−c=bb−c由余弦定理可得cosA=因为角A为三角形内角，所以A=π(2)由（1）知A=π3，所以sinA=所以S△ABC当且仅当b=c=12时取“=”，所以三角形面积S△ABC【知识点】余弦定理、均值不等式的应用20.【答案】(1)由Sn−12=anS当n≥2时，由an=Sn−令n=2，得S2=23，令即S1=12，(2)由（1）知S1=12，S2下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由猜想知显然成立；②假设n=k猜想成立，即Sk则当n=k+1时，由（1）有Sk+1即当n=k+1时，猜想Sn综合①②可知，猜想Sn=n(3)由（2）知a1=12，当综合知：an=1bn当n为偶数时，Tn当n为奇数时，Tn综上可得Tn【知识点】根据n项和式和n项积式求通项、裂项相消法、数学归纳法21.【答案】(1)由题4an+1=3相加得4an+1+故an+bn是首项为又由4an+1=3相减得4a即an+1故an−bn是首项为(2)由（1）得an+b联立解得an=n−1(3)由（2）得an当n为偶数时，Sn当n为奇数时，S1