内科大材料成型控制工程基础课件02过程控制系统的动态数学模型

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过程控制系统的动态数学模型（1）

主讲：李振亮教授2本章主要内容：

本章要点

■古典与现代控制理论研究方法

■拉氏变换及反变换

■传递函数

复习思考题

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本章要点

●本章内容属于古典控制理论的研究范畴，目的是为下一章“PID控制器”做基础准备●本章主要思路是：拉氏变换→传递函数→典型环节→PID控制

●知识点：

①古典控制理论与现代控制理论研究方法的差别；

②拉氏变换及反变换的定义、性质和相关计算，它是传递函数的数学基础；

③传递函数是本章要重点掌握的内容：定义、性质和等效变换等；

④典型环节。

4■古典与现代控制理论研究方法●数学模型的概念

●数学模型的分类●古典控制理论与现代控制理论研究方法的差别5●数学模型的概念◆数学模型是把控制理论和过程控制联接起来的关键◆描述系统动态性能的数学表达式叫系统的数学模型，求取这一数学表达式的过程叫建模。◆过程控制系统数学模型有微分方程、传递函数、频率特性、状态方程等多种形式。6

●数学模型的分类（注意“增量方程”的概念）（1）按照变量y(t)及其各阶导数的次数可将系统分为线性和非线性系统（2）根据y的自变量的个数为1还是大于1，可将系统的微分方程分为常微分方程和偏微分方程两种，它们所描述的系统又可分别称为集中参数系统和分布参数系统。（3）根据系统的数学模型是用连续的微分方程来描述，还是用离散的差分方程来描述，可将系统分为连续型系统和离散型系统两种。（4）按照系统中的变量是确定的还是随机的，可将系统分为确定系统和随机系统。（5）按照系统的输入变量和输出变量个数是一个还是多个，可将系统分为单输入—单输出（SISO）系统和多输入—多输出(MIMO)系统。7

●古典控制理论与现代控制理论研究方法的差别（1）古典控制理论的研究方法，其研究方法是传递函数法。不论是采用频率响应法还是根轨迹法，其数学模型都是传递函数，都是在复数域内研究系统的。自动控制的过程本来总是和时间相联系的，因此系统运动规律的最基本描述方式就是微分方程及其在时域的解。但是，由于用古典的方法来解微分方程较为复杂，故采用了拉普拉斯变换这种数学工具，因而才引入了传递函数及其一整套的研究方法。

研究方法由“时间域”进入“复数域”，从而形成了“古典控制理论”。8（2）现代控制理论的研究方法，其研究方法是状态空间法。状态空间法的实质就是在建立控制系统的数学模型时，先将系统的运动方程写成一阶微分方程组的形式，进而再将一阶微分方程组写成矩阵方程（状态方程形式），在此基础上再进行所需要的各种研究，这样就简化了数学符号，方便了运算。现代控制理论的所有优越性都是由于采用了状态空间法这一研究方法而得到的。研究方法从“复数域”又回到“时间域”就形成了“现代控制理论”9■拉氏变换及反变换●拉氏变换及反变换的特点和目的●拉氏变换的定义（重点）●常用函数的拉氏变换（常用函数变换表会背诵）●拉氏变换的性质（重点）●拉氏反变换●利用拉氏变换解“线性微分方程”10●拉氏变换及反变换的特点和目的◆拉氏变换及反变换是一种纯粹的数学方法，可将微分方程转换为代数方程，使求解的过程大为简化。◆在控制工程中，我们使用拉氏变换的目的，不仅仅是为求解微分方程，更主要的是用它去直接分析系统及其组成环节的特性，特别是在引入“传递函数”及“频率特性”的概念之后，就可以不必求解微分方程，而利用变换所得的函数直接去研究系统的动态特性。11

●拉氏变换的定义（重点）设定f(t)是定义在（0，∞）区间上的时间函数，又s为复数（s=σ+jω）（σ读sigma），用e-st乘f(t)后，再将它对t从0到∞进行积分，如果这个积分收敛，则这个积分便确定了一个以s为参量的复变函数F(s),并记为：

（2-1）（2-1）这种通过积分运算，将一个已知的时变函数f(t)，变换成另一个复变函数F(s)的方法，称为拉普拉斯（LaPlace）变换，并用“L”表示，即：（2-2）12

●常用函数的拉氏变换（常用函数变换表会背诵）13

●拉氏变换的性质（重点）(1)线性定理（P）(2)微分定理（D）(3)积分定理（I）(4)复域中的位移定理（又称“第一平移定理”）(5)时域中的位移定理（又称“延迟定理”或“第二平移定理”）(6)相似定理（又称“时间尺度定理”）(7)初值定理(8)终值定理(9)卷积分及卷积定理14注意：◆在拉氏变化性质中第一次出现P、I、D字母的含义◆卷积定理内容是：两个时间函数之卷积的拉氏变换就等于它们各自的拉氏变换的乘积，这就是著名的“卷积定理”。15

●拉氏反变换◆由象函数到原函数的变换称“拉氏反变换”，并用算符“L-1”来表示。◆拉氏反变换的步骤：

（2-19）（1）分母多项式D(s)首一化（2）分式

真分式化

（3）将分母﹑分子多项式D(s)﹑N(s)进行因式分解（4）根据F(s)的极点形式不同，分别按下述方法写出其相应的部分分式展开式，并确定待定系数。16

●利用拉氏变换解“线性微分方程”172

过程控制系统的动态数学模型（2）

主讲：李振亮教授19本章主要内容：

本章要点

■古典与现代控制理论研究方法

■拉氏变换及反变换

■传递函数

复习思考题

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■传递函数

●定义（重点）●基本性质●方块图●方块图等效变换

●信号流图及梅逊公式●常见典型环节的传递函数（重点）21●定义（重点）◆为什么要引入“传递函数”的概念？——一种描述系统的方法◆具备什么特点？——不必求解微分方程，从其结果就可看出改善系统品质的途径◆频率域方法——时间域描述方法以时间t为自变量，频率域描述方法以复频率s为自变量

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对于线性系统，设其输入量为Xr(t)，输出量为X0(t)，则它的传递函数G(s)，是指初始条件为零时，输出量的拉氏变换X0(s)对输入量的拉氏变换Xr(s)之比值，即：

(2-25)23(1)“传递函数”名称的由来：(2)“G(s)是一个复变函数，它具有复变函数理论阐明的一切性质。(3)

通用表达式及推导：模态或（说振型）的概念及作用(2-29)G(s)的几点说明：24●基本性质(1)传递函数有效地描述了元件和系统的固有特性，即它们的内在动态特性

(2)它是以s为参量的有理真分式

(3)传递函数的分母多项式就是相应微分方程的特征方程，其阶次就代表了系统的阶次。传递函数分母多项式的根就是传递函数的极点，分子多项式的根就是传递函数的零点。将传递函数的零点、极点表示在复平面上，这样的图称为传递函数的零—极点分布图。25(4)传递函数的单位——“1／秒”的量纲。(5)它包含时间响应和频率响应的全部信息。(6)将传递函数推广至传递矩阵26●方块图

方块图比物理系统本身更容易体现系统的函数功能。在系统结构方块图中填入传递函数，并将其输入输出量用相应的象函数来表示，就得到系统的传递函数方块图。27◆方块图表示方法◆如何绘制系统传递函数方块图28◆方块图表示方法(1)信号线(2)方块单元(3)综合点(4)引出点29◆如何绘制系统传递函数方块图绘制系统传递函数方块图步骤如下：(1)列出元件或环节的运动微分方程。(2)在初始条件为零的情况下，对各微分方程作拉氏变换，并把变换结果整理成的标准形式。(3)利用表示传递函数方块图的四种符号，由标准变换式分别画出各元件或环节的传递函数方块图。(4)最后按信号联系绘制系统的传递函数方块图。30●方块图等效变换

(1)任意个串联方块可用一个方块来等效，等效传递函数等于各串联方块传递函数之积(2)任意个并联方块可以用一个方块来等效，等效传递函数等于各并联方块传递函数之和

(3)有反馈回路也可用一方块来等效，等效传递函数等于1±开环传递函数（即前向传递函数与反馈传递函数之积）去除前向传递函数，负反馈时取“＋”号，正反馈时取“－”号。我们称这种传递函数为闭环传递函数。31(4)引出点可以相互交换或顺（逆）信号传递方向移一个或几个环节或几个综合点，但应使移动前后的引出信号不变。

1)引出点交换

2)引出点与综合点交换

3)引出点与环节交换(5)综合点也可以相互交换或顺（逆）信号传递方向移动一个或几个环节，但应使移动前后系统的输出不变。

1)综合点交换

2)综合点与环节交换32●信号流图及梅逊公式

信号流图是控制系统的另一种图形表示，与方块图有类似之处，可将系统函数方块图转化为信号流图，对于分析复杂的系统，而不需要等效变换等任何简化过程。信号流图法由S.J.Mason（梅逊）提出，所以又常称为“梅逊定理”或“梅逊增益公式”。33式中：

闭环传递函数的分子N(s)等于前向通道所有（n个）传递函数的连乘积。

闭环传递函数的分母D(s)，是1减各反馈回路中（假使有m条）所包含的前向通道和反馈通道的传递函数的连乘积之代数和。此外，正反馈取“＋”，负反馈取“－”。（2-32）34●常见典型环节的传递函数（重点）

◆典型环节的概念

◆线性系统典型环节的分类

◆典型环节两种数学模型的联系及特性35◆典型环节的概念

环节、典型环节的概念？

单向元件、非单向元件的概念？36◆线性系统典型环节的分类

(2-36)3738◆典型环节两种数学模型的联系及特性(1)放大环节（又称“比例环节”）

放大环节的特点是：输出量与输入量成比例。环节的输出量能以一定比例﹑不失真、不延迟地复现输入量的变化规律。39(2)惯性环节（又称“非周期环节”）（一阶）惯性环节与放大环节不同之处在于其时间常数T不为零，在这类环节中，总含有一个储能元件，以致于对突变形式的输入来说，输出不能立即复现，使它的输出量的变化落后于输入量。40(3)积分环节在积分环节中，输出量的变化率与输入量成比例。或者换句话说，输出量与输入量的积分成比例。利用积分环节输出量随时间增长的特性可以消除余差，改善系统稳态特性。缺点是积分作用动作缓慢，偏差刚出现时不能及时克服扰动，调节过程拖长。41（4）理想微分环节环节的特点是输出量与输入量的导数成比例。在偏差值尚不大时，它就根据偏差变化的趋势（速度）提前给出较大的调节动作，使过程的动态品质得到改善。缺点是理想微分缺乏抗干扰能力，且不能克服余（静）差。42(5)一阶微分环节环节的输出量不仅决定于输入量本身，还决定于它的一阶导数。故有时又称它为比例加微分环节。43(6)二阶微分环节这种环节的输出量，不仅决定于输入量本身，还决定于它的一阶和二阶导数。44(7)振荡环节它包含有两种形式的储能元件，并且所存的能量能够相互转换，如位能和动能之间，电场能和电磁能之间的转换等等。因此，使得振荡环节的输出具有振荡的性质。45(8)延迟环节延时环节的输出要隔一定时间之后才能复现输入信号46

以上是线性定常系统中，按数学模型区分的几个最基本的环节。一个元件可能是一个典型环节，也可能由几个典型环节组成。把元件表示成环节，就可着重表达出它的动态特性。47（1）惯性环节之所以表现出一定的惯性，是因为这种环节中至少包含一个贮能元件；（2）纯粹的放大环节是少见的，但当惯性环节的惯性可以忽略不计时，它就成了放大环节；