构成空间几何体的基本元素课件2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第十一章立体几何初步11.1.2构成空间几何体的基本元素《人教B版2019高中数学必修第四册》我们已经知道，长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体（几何体也简称为“体”），包围着几何体的是“面”，面与面相交给人“线”的形象，线与线相交给人“点”的形象.这就是说，可以将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素.另外，点运动的轨迹可以是线，线运动的轨迹可以是面，面运动的轨迹可以是体.例如，用笔作画时，笔尖运动能描出线的形象；图11-1-13所示塔的侧面，可以看成一条线段运动的结果；水平放置的长方体，可以看成一个底面沿垂直方向运动的结果，如图11-1-14所示．(1)我们用笔、直尺、绳子、纸条等都可以作为线型，平行移动线就可以构成图11-1-13的侧面曲面图.（2）可以用一张长方形的纸张（代表底面），沿垂面上移够成长方体.立体几何中，我们仍用大写英文字母来表示点.此时，构成空间几何体的基本元素可以借助点来表示.例如，如图11-1-15所示的长方体中，8个顶点可表示为A,B,C,D,A1,B1,C1,D1;12条棱可以表示为AB,BC,CD,DA，AA1，BB1，CC1,DD1,A1B1,B1C1,C1D1,D1A1;6个面可以表示为ABCD,ABB1A1,BCC1B1,CDD1C1,ADD1A1,A1B1C1D1;而长方体可以表示为ABCD−A1B1C1D1.空间中的一条直线可看成这条直线上所有点组成的集合，从而也就能用集合符号来表示空间中的点与直线、直线与直线的关系.需注意的是，同平面中一样，空间中的直线是无限延伸的，而且也可用该直线上的两个点来表示.例如，图11-1-16所示的长方体中，顶点A与B确定的直线可记作直线AB.为了简单起见，一般用小写英文字母表示直线.因此，直线AB可简记为l.此时，A,B都是l上的点，且A1，B1都不是l上的点，这可用符号简写为A∈l,B∈l,A1∉l,B1∉l.另外，如果记图11-1-16中顶点B,B1确定的直线为m，顶点C,C1确定的直线为k，则有m与l相交（即有公共点）,k与l不相交（即没有公共点），这可分别表示为m∩l≠∅,k∩l=∅.因为m与l相交于点B，所以m∩l={B}，一般简写为m∩l=B.一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面．图11-1-16中，直线l与k异面．这就是说，如果a,b是空间中的两条直线，则a∩b≠∅与a∩b=∅有且只有一种情况成立.而且，当a∩b=∅时，a与b要么平行（记作a//b)，要么异面.与直线类似，空间中的一个平面也可看成这个平面上所有点组成的集合，从而也就能用集合符号来表示空间中的点、线、面之间的关系.同空间中的直线类似，空间中的平面也是可无限延伸的，而且能用该平面内不共线的3个或3个以上的点来表示．例如，图11-1-17所示的长方体中，长方形ABCD所在的平面可记作面ABC，也可以记作面ABD或面ABCD.习惯上，用小写希腊字母α，β，γ，···表示平面.因此，面ABCD可以记为α.此时，A是平面α内的点，A1不是平面α内的点，这可用符号简写为A∈α,A1∉α.不难看出，图11-1-17中，点A,B确定的直线l上的所有点都在平面a内，这称为直线l在平面α内（或平面α过直线l)，记作l⊂α;点B，B1确定的直线m上至少有一个点不在平面a内，这称为直线m在平面α外，记作m\not\subsetα但要注意的是，图11-1-17中的m与α有且只有一个公共点（称为直线m与平面α相交），即m∩α={B}，一般简写为m∩α=B.另外，如果记图11-1-17中长方形ADD1A1所在的平面为β，点A,D确定的直线为k，则α与β有公共点，这称为平面α与平面β相交，记作α∩β≠∅.更进一步可以看出，一个点是α与β的公共点，当且仅当这个点在直线k上，这可记作α∩β=k.一般地，如果l是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则l∩α≠∅与l∩α=∅有且只有一种情况成立.而且，当l∩α≠∅时，要么l⊂α，要么l与α只有一个公共点；当l∩α=∅时，称直线l与平面α平行，记作l//a.如果α与β是空间中的两个平面，则α∩β≠∅与α∩β=φ有且只有一种情况成立.而且，当α∩β≠∅时，α与β的公共点组成一条直线；当α∩β=φ时，称平面a与平面β平行，记作α∥β.由观察可知，图11-1-18中，不管直线l的具体位置如何，只要A∈l，l⊂平面ABCD，则一定有A1A⊥l.一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，a是直线l的一个垂面），记作l⊥α其中点A称为垂足.因此，图11-1-18所示的长方体中，有A1A⊥平面ABCD.类似地，有A1A⊥平面A1B1C1D1，A1B1⊥平面BCC1B1，等等.另外，由长方体可以看出，给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称为投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.特别地，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.因此，图11-1-18所示的长方体中，点A1到平面ABCD的距离等于线段A1A的长，直线A1B1到平面ABCD的距离等于线段A1A的长，平面A1B1C1D1与平面ABCD之间的距离等于A1A的长.练习A①举出点运动的轨迹是线、线运动的轨迹是面、面运动的轨迹是体的实例.②从生活中找出一个由直线运动形成曲面的例子，并动手演示.③利用教室及教室内的物体，举出3对异面直线的例子．参考实例：雨滴下落,运动的轨迹是直线或曲线；汽车前窗玻璃雨刷器可以看成直线或曲线,开动起来,运动的轨迹是面；造纸厂生产的同样规格的纸,摞起来的过程,可以视为一个矩形的面运动形成了长方体.参考实例：将一根线绳拉直，固定一端，抓住另一端去切割豆腐块，当运动一端沿弧线运动时，切割出来的面是曲面，此时可以认为直线运动形成曲面.参考实例：教室讲台外沿水平的棱所在直线与相邻两面竖直的墙面的交线是异面直线；学生课桌面四条边棱所在直线与黑板竖直的边缘线所在直线是异面直线；学生课桌上的书架上竖直的边缘线所在直线与课桌上随意放置的铅笔所在直线，在互不接触时是异面直线。练习A④如果a,b是空间中的两条直线，判断下列命题的真假.（1)a与b要么相交，要么不相交；（2)a与b要么相交，要么平行；（3）当a与b不相交时，a与b要么平行，要么异面．⑤如果l是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，判断下列命题的真假.（1)l与α要么相交，要么不相交； （2）要么l在α内，要么l在α外；（3）要么l与α平行，要么l在α内．⑥如果α与β是空间中的两个平面，判断下列命题的真假.（1）α与β要么相交，要么不相交； （2）α与β要么平行，要么相交．(1)真命题(2)假命题，命题仅在同一平面内成立，在空间中，不相交也可能异面；(3)真命题（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题，还有一种可能的位置关系是直线与平面相交.（1）真命题；

（2）真命题。①用符号表示下列点、线、面的关系.（1）点A在直线a上，但不在直线b上；（2）点P在平面α内，但不在平面β内；（3）点M在直线l上，l在平面α内．②用符号表示下列点、线、面的关系.（1）直线a与直线b平行；

（2）直线l与平面α平行；（3）平面α与平面β平行；

（4）直线l与平面β垂直．③用符号表示下列点、线、面的关系.（1）直线a与直线b相交于点M；（2）直线a与平面a相交于点N；（3）平面a与平面β相交于直线l．练习B(1)A∈a,且A∉b；(2)P∈α,且P∈β；(3)M∈l,l⊂α.(1)a//b；(2)l//α；(3)α//β；(4)l⊥β.(1)a∩b=M；(2)a∩α=N；(3)α∩β=l.④在长方体ABCD−A1B1C1D1中，写出所有（1）与直线AB平行的直线，并用“//”表示；（2）与直线AA异面的直线；（3）与直线AB平行的平面，并用合适的符号表示；（4）与平面ADD1A1平行的平面，并用合适的符号表示；（5）与直线AD垂直的平面，并用合适的符号表示．⑤已知ABCD−A1B1C1D1是长方体，且AB=4,AD=3,AA1=2.（1）写出点A到平面BCC1B1的距离；（2）写出直线AB到平面A1B1C1D1的距离；（3）写出平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离.⑥如果A∈l,l⊂α,则是否一定有A∈α?练习B(1)AB∥CD,AB∥D1C1,AB∥A1B1;(2)BC,CD,B1C1,C1D1;(3)AB∥面CDD1C1,AB∥面A1B1C1D1;(4)面ADD1A1∥面BCC1B1；(5)AD⊥面CDD1C1,AD⊥面ABB1A1.(1)4；(2)2；(3)4.由A∈l知,点A在直线l上,又由l⊂α知,直线l上所有点都在平面内,所以点A在平面α内,即A∈α.小结一、核心结论：三大基本元素点、直线、平面是构成所有空间几何体的最基本元素；长方体（8个顶点、12条棱、6个面）。1.点特征：只有位置，无大小、无体积；表示：大写英文字母A,B,C,…；地位：立体几何中的元素。2.直线特征：笔直、无限延伸、无粗细；表示：小写字母l,m,n，或两点大写直线AB；地位：点的集合。3.平面（重点）特点：处处平直、向四周无限延展、无边界、无厚度；桌面、湖面只是平面的局部。画法：通常画平行四边形表示平面;三种表示方法:希腊字母：平面α、平面β、平面γ；平行四边形顶点：平面ABCD；不共线三点：平面ABC。小结

小结4.直线与平面直线在平面内：无数公共点；l⊂α；直线与平面平行：无公共点；l//α；直线与平面相交：唯一公共点；l∩α=P。特殊：线面垂直：直线与平面内任意一条直线都垂直，交点叫垂足，记作l⊥α.5.平面与平面（两类位置）平行：无公共点；α//β；相交：有一条公共直线；α∩β=l。四、距离概念点到平面距离：点向平面作垂线，垂线段长度；平行直线距离：公垂线段长度；线面平行距离：直线上任意一点到平面距离；面面平行距离：一个平面内任一点到另一平面垂线段长度。巩固提升1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作(

)A.Q∈b∈β B.Q∈b⊂βC.Q⊂b⊂β D.Q⊂b∈β

因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以Q∈b.又因为直线b(集合)在平面β(集合)内,所以b⊂β.所以Q∈b⊂β.B巩固提升2.以下结论不正确的是(

)A.平面上一定有直线B.平面上一定有曲线C.曲面上一定无直线D.曲面上一定有曲线3.如图,正方体截去一角后,剩下的几何体的面的个数和棱的条数分别为(

)

A.6,14B.7,14C.7,15D.6,151.圆柱的侧面是曲面,但圆柱的母线所在的线是直线,故C中结论不正确;显然A,B,D中结论正确.2.根据几何体中面和棱的定义可知,题图中的几何体有7个面,15条棱.CC巩固提升4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线AC异面的直线有(

)A.3条B.4条C.6条D.8条5.已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则(

)A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线AC异面的直线有BB1,DD1,A1D1,A1B1,B1C1,C1D1.C

4.若l与m异面,且l与n异面,则m与n可能平行(图1),可能相交(图2),也可能异面(图3).D

巩固提升6.(多选题)下列关于长方体ABCD-A1B1C1D1的说法正确的是()A.它有两组对面相互平行B.与AB垂直的表面只有平面BCC1B1和平面ADD1A1C.棱AA1,BB1,CC1,DD1相互平行且相等D.它可以看成是由一个矩形平移形成的该长方体有三组对面相互平行,故A错误;与AB垂直的表面只有平面BCC1B1和平面ADD1A1,故B正确;显然C正确;该长方体可由矩形ABCD沿与平面ABCD垂直的方向移动与AA1长度相等的距离形成,故D正确.BCD

巩固提升7.长方体的表面展开图如图所示,在这个长方体中:(1)直线DM与平面ABQP之间的位置关系是怎样的?(2)平面DCMN与平面ERFG之间的位置关系是怎样的?(3)线段BC的长度是点C到平面ABQP的距离吗?根据展开图