2027届新高考数学一轮热点复习一元二次不等式

2027届新高考数学一轮热点复习一元二次不等式知识清单1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅{x|x<x1，或x>x2}

f(x)g(x)>0f(x)g(x)<0

3．绝对值不等式的解集：|x|>a(a>0)的解集为____________________；|x|<a(a>0)的解集为________________．(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－a，a)自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(

)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(

)(3)不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(

)√××√2．(人教A版必修一P53T1(5)改编)不等式－2x2＋x≥－3的解集为________．

答案：{x|x≤－4，或x≥3}

4．(人教A版必修一P55练习T3改编)某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器每个的售价的范围为________元．答案：[15，20)解析：设这批削笔器每个的售价定为x元，x≥15，由题意可得[30－(x－15)×2]x>400，即x2－30x＋200<0，解得10<x<20，又x≥15，所以15≤x<20，故每个售价定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)．命题点一不含参的不等式例1(1)解下列不等式①－x2－3x<－4；②|1－2x|≤7；答案：①由－x2－3x<－4得x2＋3x－4>0，即(x＋4)(x－1)>0，解得x<－4或x>1，所以不等式－x2－3x<－4的解集为{x|x<－4，或x>1}．②|1－2x|≤7⇔|2x－1|≤7⇔－7≤2x－1≤7，解得－3≤x≤4，所以不等式|1－2x|≤7的解集为{x|－3≤x≤4}．

答案：C

学霸笔记：(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集．(2)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组．命题点二含参的一元二次不等式例2解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0.

学霸笔记：解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．跟踪训练解关于x的不等式12x2－ax>a2.

命题点三三个二次之间的关系例3若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}．(1)求a，b，c之间的关系，并判断a＋b＋c的正负；

(2)求关于x的不等式bx2＋cx＋3a>0的解集．答案：bx2＋cx＋3a>0⇔－ax2－2ax＋3a>0⇔x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1，所以不等式bx2＋cx＋3a>0的解集为{x|x<－3，或x>1}．

1．(2026·秦皇岛二模)已知集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x||x|>1}，则A∩B＝(

)A．{x|－2<x<－3}B．{x|－1<x<1}C．{x|－2<x<－1，或1<x<3}D．{x|－3<x<－1，或1<x<2}答案：C解析：依题意，A＝{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x<－1，或x>1}，所以A∩B＝{x|－2<x<－1，或1<x<3}．故选C.2．已知关于x的不等式x2－(a－1)x＋a－2≤0的解集为{x|1≤x≤3}，则a＝(

)A．4

B．5C．6

D．7答案：B解析：由题知一元二次方程x2－(a－1)x＋a－2＝0的两个实数根分别为1和3，则由韦达定理得1×3＝a－2，解得a＝5.故选B.

答案：D

4．不等式x2－|x|－2<0的解集是(

)A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2，或x>2}C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1，或x>1}答案：A解析：原不等式即|x|2－|x|－2<0，解得－1<|x|<2，所以0≤|x|<2，所以解集为{x|－2<x<2}．故选A.5．如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(

)A.(－2，1)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．[－2，1]D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案：A解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是开口向下的抛物线，方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是－2和1，所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)．故选A.6．已知不等式：①x2－4x＋3<0，②x2＋x－6<0，③2x2－5x＋m<0，若要同时满足不等式①②的x也满足不等式③，则有(

)A．m>2 B．m＝2C．m≤2 D．0<m<2答案：C

答案：C

答案：A

答案：ACD

10．(2026·信阳模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－1，或x≥2}，则(

)A．a<0 B．c>0C．a＋b＋c<0 D．3a＋b＋c＝0答案：ABD

11．ax＋b<0的解集为(－∞，－1)，则(ax－b)(x＋2)<0的解集为________．答案：(－2，1)

12．如图，在长为8m，宽为6m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为________m.答案：1

(2)若B∩(∁RΑ)＝B，求实数a的取值范围．

14．(15分)解关于x的不等式ax2＋5x－2>ax－x＋4.

15．(5分)已知集合M＝{x|x2－2mx－3m2≤0}，N＝{x|x2＋mx－2m2≤0}，定义b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度，若集合M∩N的长度为2，则M∪N的长度为(

)A．3 B．4C．5 D．10答案：C解析：由x2－2mx－3m2≤0⇒(x－3m)(x＋m)≤0；由x2＋mx－2m2≤0⇒(x＋2m)(x－m)≤0.所以当m<0时，M＝[3m，－m]，N＝[m，－2m]，所以M∩N＝[m，－m].因为集合M∩N的长度为2，所以－m－m＝2⇒m＝－1.此时M＝[－3，1]，N＝[－1，2]，所以M∪N＝[－3，2]，所以M∪N的长度为2－(－3)＝5.当m＝0时，M＝{0}，N＝{0}，所以M∩N＝{0}，这与集合M∩N的长度为2矛盾，故m≠0；当m>0时，M＝[－m，3m]，N＝[－2m，m]，所以M∩N＝[－m，m].因为集合M∩N的长度为2，所以m－(－m)＝2⇒m＝1.此时M＝[－1，3]，N＝[－2，1]，所以M∪N＝[－2，3]，所以M∪N的长度为3－(－2)＝5.综上可知，集合M∪N的长度为5.故选C.16．(5分)若关于x的不等式x2－(m＋1)x＋m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是________．答案：{m|－3≤m<－2，或4<m≤5}解析：由x2－(m＋1)x＋m<0得(x－m)(x－1)<0，①当m