2025-2026学年人教版八年级数学下册全套同步培优练习

如果代数有意义，那么x的取值范围是"【点睛】二次根式要求被开方数为非负数，含分母的式子要求分母不等于零.知识点1二次根式的定义1.下列式子不一定是二次根式的是()A.√8B.√a²+1C.√3知识点2二次根式有意义的条件3.(2025福建中考)若√x-1在实数范围内有意义，则x的值可以是()A.-24.若代数式√x在实数范围内有意义，则x的取值范围是5.当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义?知识点3二次根式的值6.(1)当x=5时，代数式的值为_;(2)当x=17时，代数的值为知识点4列二次根式7.(教材P₅T₃改编)用代数式表示：(1)面积为S的等腰直角三角形的直角边长；(2)面积为S且两条邻边的比为2:3的长方形的长和宽.8.(2025齐齐哈尔中考改编)若代数：有意义，则x的取值范围是9.(2025襄阳)已知√15-m是整数，则自然数m的所有可能的值有()10.(教材P₅T,改编)求下列代数式有意义的条件：(1)√x²+2;(2)√(x-2)²;(3)(2025广州中考改编)④12.(教材P₅T,改编)小球从离地面为h(单位：m)的高处自由下落，落到地面所用的时间为t(单位：s).经过实验，发现h与t²成正比例关系(可设h=kt²),而且当h=45时，t=3.(1)试用h表示t;(2)分别求当h=15和h=35时，小球落地所用的时间.13.(2025广州)【问题情境】(1)请认真阅读下面这道题的解法，并解答问题.mn-m+7,求m²+n²的值.第2课时二次根式的性质A基础题夯实2.(教材P₅T,改编)利用a=(√a)²(a≥0),知识点2√a²=a(a≥0) A.-1 8.(2025白云区)若√(3a-1)²=1-3a,则a的取值范围是9.实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则化简√(a-b)²-(b-a-2)的结果是·10.若√63π是整数，则正整数n的最小值是·12.某地气象资料表明：雷雨持续的时间t(h)可以用公式来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径.如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是km.C综合题探究15.(2025宜昌)材料：①若实数a≥0,则(√a)²=a;②对于任意实数a,a²=lal.请根据上面的材料，对下列问题进行探索：(1)若等式√(3-a)²+√(a-7)²=4成立，则a的取值范围是;B中档题运用 A.-aB.a6C.a√-b12.(2025大连)若√3=a,√5=b,则√75可以表示为() A.√a²bB.a5C.ab²13.(2025黄冈)射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=√2al进行计算，其中a为子弹的加速度，I为枪筒的长.如果a=5×10⁵m/s²,L=0.64m,那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为m/s.14.如图，从一个大正方形中截去面积为10cm²和8cm²的两个小正方形，则留下部分的面积为cm².15.先化简，再求值,其中a=2,b=7.综合题探究16.(2025汉阳区)【观察】观察下列等式：【猜想】(1)用含n(n≥2,且为正整数)的式子表示此规律，并证明你的猜想；B中档题运用8.(2025荆门)已知一个三角形的面积为√12,一边长为√3,这条边上的高为9.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为,其中T表示周期(单位：s),l表示摆长(单位：m).假若一台座钟的摆长为0.2m,则它摆动的周期为 C综合题探究12.(2025武昌区)【阅读理解】(1)学习了二次根式的除法后，小刚做了这样一道题：【拓展延伸】(2)老师根据小刚这题作如下变式：已知x+y=-6,xy=4,求的值，请你完成解答.7.(2025孝感)下列各数中，与√3的积为有理数的是()310.(教材P₁₂T₁₂改编)如图，从一个大正方形中裁去面积为12cm²和15cm²的两个小正方形，求剩余部分的面积C综合题探究11.(2025江岸区)【定义】在3×3方格中，若横，竖，斜对角的三个实数的积都是相同的结果叫做《bcde3×3的类幻方.如图所示是3×3的类幻方，部分数值已给出.《bcde【运用】(2)求d的值；19.3二次根式的加法与减法【点睛】只有被开方数相同的最简二次根式才能合并.知识点1被开方数相同的最简二次根式CC知识点2二次根式的加法与减法4.化简：知识点3二次根式的加减的应用5.一个三角形的三边长分别是√8cm,√18cm,√32cm,则此三角形的周长为cm,6.(教材P₁₄T₃改编)如图，两个圆的圆心相同.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m²和150.72m²,求圆环的宽度d(π取3.14).7.(2025咸宁)已知一等腰三角形的周长为12√5,其中一边长2√5,则这个等腰三角形的腰长为8.计算：的方式，在这块木板上截出两个面积分别是12dm²和27dm²的正方形木板?为什么?第2课时二次根式的混合运算【点睛】注意二次根式混合运算的运算顺序.A基础题夯实知识点1二次根式的混合运算A.4√3B.6√3C.2√6+2√32.(2025甘肃中考改编)计算4.计算：知识点2运用乘法公式计算5.(2025天津中考)计算(√61+1)(√61-1)的结果为·(1)x²-2ry+y²; 10.已知a=√3+√2,,则a+b的值为22基础夯实二次根式的运算(二)化简求值类型一运用公式，整体求值3.若的值是·类型二先化简，再求值重点强化二次根式的双重非负性1.若y=√x-5+√5-x+3,则xy的值为3.已知实数a,b满足b+a=√ab-4+√8-2ab+10.(1)求ab及a+b的值；(2)若,求m的值.创新题型二次根式与情境创新类型一学科融合时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足Q=I²Rt.已知导线的电阻为2Ω,1s时间导线产生50J的热量，则电流I的值为·类型二数学文化2.(2025福州)三角形的三边长分别为a,b,c,记,则这个三角形的面积为S=√p(p-a)(p-b)(p-c).这个公式叫“海伦公式”,它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为(2)过点A作AD⊥BC,垂足为D,求AD的长.类型三生活情景3.(2025中山)剪纸是一门古老的传统民间艺术，为传承这一艺术，我市某中学举办剪纸艺术大(1)通过计算，判断小悦的作品是否符合参赛标准；(2)小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的有一块长方形花坛(即图中阴影部分),长为(√20+1)m,宽为(√20-1)m.(1)求长方形ABCD的周长；(2)图中的空白部分另作他用，需要40元/m²的定期维护费，求定期维护的总费用.数学活动纸张规格中的奥秘【活动背景】我们用到长方形打印纸的尺寸是ISO制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如A4,B5等.如图1,An系列长方形纸张的规格特征是：①各长方形纸张形状都相同(即长宽之比相等);②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…,An纸对裁后可以得到两张A(n+1)纸.我们生活中常见的A4纸规格为21cm×29.7cm,A3纸规格为29.7cm×42cm通过计算发现A3,A4纸的长、宽之比约为1.414:1.猜想A3,A4纸的长、宽之比为"我们可以取两张A4纸，记为长方形ABCD和长方形BEFG,请大家按照以下折纸操作验证这一结论.在BC边上，另一张A4纸BEFG的长边恰好与BE重合.等腰直角三角形斜边与直角边之比为 活动2如图，长方形纸片ABCD的长与宽的比值为√2.(1)如图3,若E,F分别为长边AD,BC的中点，将纸片ABCD沿直线EF对折，得到的长(2)若按如图4所示方式折叠纸片ABCD,长方形GHID是否仍为“长与宽的比值为√2的长方形”?为什么?综合与实践分母有理化与整体求值1.阅读材料并解答下列问题.二次根式的除法可以这样解：.像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫分母有理化.任务1(2)计算：(3)化简；类型二整体求值2.(教材P₂₀T,改编)阅读材料并解答下列问题.阅读a-1=√3,两边平方，得(a-1)²=(√3)°,所以a²-2a+1=3,即得到整系数方程为a²-2a-2=0.任务1(1)当时，得到的整系数方程为_;并求4a²+4a-2026的值.(2)当时，求a³-2a+2024的值.高频考点一三个概念概念1二次根式的概念2.x取何值时，下列各式有意义?概念2代数式3.下列式子中：①0;②a;③x+y=2;④x-5;⑤2a;⑥√a²+1;⑦a≠1;⑧x≤3.属于代数式的有()A.4个B.5个概念3最简二次根式4.二次根式(其中a,b均大于或等于0)中，最简二次根式有()高频考点二五个性质的运用性质2√a²=a|的运用 性质3双重非负性[√a≥0(a≥0)]性质4积的算术平方根的运用性质5商的算术平方根的运用 高频考点三二次根式的化简10.化简：①*②*11.计算：高频考点四实际应用12.现有一块长为7.5dm,宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm²和18dm²的正方形木板?高频考点五两种数学思想思想1整体思想思想2数形结合20.1勾股定理及其应用一个直角三角形的两边长为3和4,则第三边的长为【点睛】边长4可能是直角边，也可能是斜边，A基础题夯实知识点1认识勾股定理∠B=90°,则a²+c²=b²;③若∠A=90°,则b²+c²=a²;④总有a²+b²=c². 2.(2025福州)如图，正方形B的面积是,正方形B的边长是 ' _知识点2运用勾股定理3.根据所给条件直接写出下列直角三角形中未知边的长.BBHH4.在平面直角坐标系中，点A(0,6),B(-8,0)之间的距离为·5.(教材P₂₅T,改编)设直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.(1)若a=7,b=24,则c=;(2)若a=2(1)求CD的长；(2)求AB的长.B中档题运用正方形.已知正方形G的面积为12,则正方形A,B,C,D,E,F的面积和8.直角三角形的一条直角边的长为4,另两边的长分别为x和x+2,则x的值为·10.在平面直角坐标系中有两点A(-1,-1),B(3,2),则AB的长为·C综合题探究延长ED交AC于点F.CC如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端B距离墙ON有3米.若梯子顶端A下滑1米到C点，则梯子的底端B向右滑动的距离BD为米.A基础题夯实知识点勾股定理的应用1.(2025连云港中考)如图，长为3m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m,则梯子顶端的高度h为_m.第1题图第2题图第3题图第4题图2.(2025天门)如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圆内走出了一条“路”(如图中的实线).其实他们仅仅少走了3.(教材P₂₇T₃改编)如图，为了加固一个高2m,宽3m的大门，需在相对角的顶点间加一根木4.如图，离水面点A高度为8m的岸上点C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m,当船移动到点D的位置时，绳子DC的长为10m,则船向岸边移动了m.5.(教材P₄ST₃改编)如图，过圆锥的顶点P和底面圆的直径AB的平面截得截面△PAB,其中点0是圆锥底面圆的圆心.已知PA=26,AB=20,求圆锥的高.一条与AB长度相同的拉线A₁B,在地面上的固定点B₁到杆底C的距离B₁C=2.4m.求电线杆上两固定点A和A,之间的距离.7.(2025莆田)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问；水深几何?”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,第8题图第7题图第8题图第9题图8.如图，一段楼梯高BC是6m,斜边AC长10m,在楼梯上铺地毯，地毯至少长m.9.如图，一支长为18cm铅笔放在内部底面直径是9cm,内壁高12cm的圆柱体笔筒中，则这支铅笔露在笔筒外面的部分至少为cm.10.如图，一架长25m的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为7m.(1)求这架云梯的顶端A处的高度；(2)当这架云梯的顶端下滑4m时，底端也沿OB的向外移动4m吗?C综合题探究11.(2025江岸区)如图，A,B两个村在河CD的同侧，A,B两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,CD=3km,现要在河边CD上建一水厂分别向A,B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需6000元.请你在河岸CD上画出水厂的位置O,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元).如图，数轴上点A.B表示的数分别为-1.2.BC⊥AB,BC=2,以点A为圆心.AC为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点P.下列两个判断：①AC的长为/13;②点P表示的数为√13.其中正确的是·【点睛】先利用勾股定理求长度，再根据位置与距离确定点对应的数.知识点1勾股定理与全等A基础题夯实BB知识点2勾股定理与无理数2.如图，由4个直角三角形拼成的图案中，OA=AB=BC=CD=DE=1, 线段是 __第4题图第3题图第2题图第4题图第3题图则图中长为无理数的第5题图3.(2025仙桃)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，则△ABC的周长为·4.把一个边长为2的正方形按如图所示的方式放置在数轴上，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点P,则点P对应的实数为5.如图，数轴上点A,B对应的实数分别是一1和1,过点B作射线l⊥AB,以点B为圆心，OB的长为半径画弧，交l于点C;以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P,则AC的长为,点P表示的实数为6.在数轴上作出表示±√10的点.B中档题运用CC第7题图第8题图第9题图11.(2025南平)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按下列要求完成画图：(3)在图3中，画一个三条边长都为无理数，且面ccC综合题探究(1)直接写出OA的长为;(2)P是坐标轴上的一点，PA=PO,画出点P,并求点20.2勾股定理的逆定理及其应用第1课时勾股定理的逆定理A基础题夯实知识点1勾股定理的逆定理1.(2025大连)已知三角形的三条边长依次A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.(2025白云区)如图是由小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点5.判断由线段a,b,c组成的△ABC是不是直角三角形：(1)a=2,b=3,c=4;(2)a=1.5,b=2,c=2.5.6.如图，在一个边长为15的正方形纸板ABCD中裁剪出一个△ABE,若AE=12,BE=9,求剩余部分的面积.知识点2勾股数A.4.5.6B.5,12,13C.1,√29.以n²-1,2n,n²+1(n>1)为边的三角形是三角形.610.(2025黄石)如图，以△ABC的三边为直径的半圆的面积分别为12π,16π和28π,则△ABC的面积为611.已知三条线段的长分别为12,16,x,以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则x的值为·13.如图，在钝角△ABC中，∠A为钝角，边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,且(1)求∠BAC的度数；C综合题探究(1)求∠ADC的度数；(2)连接BD,求BD的长.有5根长度分别为7dm,10dm,24dm,25dm,26dm的钢条，选3根焊接成一个直角三角形钢架，则能焊接成种不同的直角三角形钢架.【点睛】根据勾股定理的逆定理判定直角三角形.A基础题夯实知识点1勾股定理的逆定理的应用1.(教材P₃T₁改编)如图.A,B,CC的方向.第1题图三地的两两距离如图所示，C地在B地的正西方向，则A地在CC第2题图第3题图第2题图2.小明用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，然后同时握住绳子的第1个结和第13个结，小华分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，则这个三角形是三角形.3.(教材PT,改编)如图，利用细铁丝围成△ABC,D是BC的中点，测得AB=20,BC=32,AD=12.则这段细铁丝的长为·4.如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A点处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿某一方向走100m回到家.问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的?并说明理由.知识点2综合运用勾股定理及其逆定理ABCD的面积.AAB中档题运用A.90°B.60°C.45°第6题图第7题图第8题图C综合题探究基础夯实勾股定理及其逆定理类型二作垂线，用勾股类型三先勾股，再勾逆边形ABCD的面积.类型四聚线段，证直角重点强化特殊角的利用(一)锐角类型一含特殊角的等腰三角形BBcc类型二形内作高CC类型三隐特殊角CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,求CD的长.重点强化特殊角的利用(二)钝角类型一两角一边类型二两边一角CC类型三延长补形类型一折叠三角形AD的长.类型二折叠长方形分别交于点F,E,求折痕EF的长.思想方法(一)双勾列方程d²=x²+b²=(a+x)²-c².AD²=AB²-BD²=AC²-CD².类型一共(等)高型CC类型二共(等)边型3.如图，在笔直的铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄，DA=10km,CB=15km,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,现要在AB上建一个中转站E,使得C,D两村到E站的距离相等.求E站应建在距点A多远处?4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=思想方法(二)分类讨论类型一直角不明类型二动点位置不明合),且∠ABP=30°,则CP的长为·类型三等腰三角形的腰不明3.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为20m,15m,现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以20m为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形绿地的周长为 类型四三角形形状不明1.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求画出符合条件的线段.(1)在图1中，画线段AB=√5,AC=√26;(2)在图2中，画线段PM=2√10,PN=3√5;(3)在图3中，画线段2.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点.按下列要求画三角形，且三角形的顶点都在格点上.(1)在图1中，画一个三边长为勾股数的三角形；(3)在图3中，画一个斜边为5,一条直角边为√5的直角三角形；(4)在图4中，A,B,C,D都是格点，在BC上画点E,使得△AED是直角三角形；(5)在图5中，A,B是格点，以AB为底边，画面积为6的等腰三角形；(6)在图6中，画一个面积为6.5的等腰直角三角形.Dc3.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点.A,B,C,D都是格点，在AB上画点E,使得△CDE的周长最小，并直接写出△CDE的周长的最小值为类型一利用勾股定理求最值△PBQ周长的最小值为类型二立体图形与勾股2.如图，某圆柱形易拉罐的底面半径为4cm,高为15cm,将一根软管插人易拉罐中，若软管露在外面的部分总不少于5cm,则该软管的长至少为cm.3.如图，一根长17dm的木棒，放在长AB=4dm,宽BC=3dm,高CD=12dm中，则木箱外面的木棒的长最少为dm,最多为dm.的长方体木箱DD4.如图，有一个圆柱，它的高为12,底面周长为18,在圆柱的底面点A有一只蚂蚊，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是5.如图，长方体的长为3cm,宽为2cm,高为4cm,一只蚂蚁沿着长方体的表面从顶点A爬到顶点B,则爬行的最短路程是cm.图形研究勾股定理与全等构造(一)三垂直Bb²+(b+x)²=a².2.如图，直线l₁//L₂//L₃,且l₁,l₂之间的距离为2,l₂,l₃之间的距离为1,点A,B,C分别在直线的长.图形研究勾股定理与全等构造(二)中点构造图形1倍长中线a²=b²+(2x)².图形2作双垂a²-(n+2x)²=b²-n².图形3倍长类中线k²=n²+m².类型一倍长中线类型二倍长类中线类型三作双垂图形研究勾股定理与全等构造(三)手拉手图形1构双等腰直角三角形型手拉手已知等腰Rt△ABC构等腰Rt△CDEA图形2构双等边三角形型手拉手已知等边△ABC类型一用手拉手CE=CP,连接AE.(2)若PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数.类型二构手拉手CC图形研究勾股定理与全等构造(四)夹半角图形190°夹45°条件：CA=CB,方法：作CF⊥CD,且CF=CD.结论；c²=a²+b².图形2120°夹60°条件：CA=CB,方法：作CF=CD,∠DCF=120°结论：∠EBF=60°,类型二120°夹60°数学活动利用勾股定理绘制图案活动1勾股定理与“勾股树”图案.EE(1)如图1,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形，这三个正方形的面积分别记为S₁,(2)如图2,以Rt△ABC的三边为边分别向外作等边三角形，这三个等(3)如图3,在图1的基础上继续画直角三角形和正下方的正方形的面积为S,则图中所有活动2勾股定理与无理数2.如图1,在等腰Rt△ABC中，AB=BC=1,以AC,CD为直角边作Rt△ACD,再以AD,DE为直角边作Rt△ADE,……,CD=DE=EF=FG=1.(1)直接写出AG的长为;综合与实践探究“勾股树”问题背景数学兴趣小组对“勾股树”展开了研究.毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”,是由毕达个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形毕达哥拉斯树.1.画出不同类型三角形形成的“树形图”;2.所画的基础三角形周长均为7cm,其中一条边长固定为2cm.小明、小金和小山三名同学分别画出了不同类型的“树形图”并进行探究.图示小明小金小山任务1小明画出的△ABC中，AB=AC,BC=2cm,则S₂-_m².任务2小金画出的Rt△DEF中，∠DFE=90°,EF=2cm,求S₂.任务3小山画出的△GHI中，∠GIH=120°,HI=2cm,求S₂.高频考点一两个定理定理1勾股定理1.如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为()A.12cm²第1题图第2题图第5题图2.如图，带阴影的长方形的面积是cm².定理2勾股定理的逆定理3.已知△ABC的三边长分别为6,8,10,则△ABC的面积为()4.三角形的三边长a,b,c满足(a+b)²=c²+2ab,则这个三角形是()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形5.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的三条线段是()A.CD,EF,GHB.AB,EF,GHC.AB,CD,GHD.AB,CD,EF高频考点二两种应用应用1勾股定理的应用(1)长度计算6.如图，一个长为2.5m的梯子，一端放在离墙角1.5m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙角 第6题图第7题图第8题图第9题图7.如图，△AOB是等腰三角形，OA=OB,点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是(1,1),则点B的坐标是(2)折叠问题8.如图，把长方形纸片ABCD沿EF,GH同时折叠，B,C两点恰好落在AD边的点P处，已知∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则长方形ABCD的边BC的长为"9.如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE,则△ABE的周长为(3)网格与作图10.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,请在图中画出一个三角形，使其周长为√10+√5+√17,所画图形各顶点必须与网格中的小正方形顶点重合.应用2勾股定理的逆定理的应用11.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船以30海里/时的速度航行，半小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C,B两岛相距17海里，求乙船的航行方向.南高频考点三勾股数12.下列各组3个整数是勾股数的是()A.4,5,6B.6,8,9C.13,14,15D13.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;….请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为高频考点四两种数学思想思想1分类讨论14.在△ABC中，AB=20,AC=15,CB边上的高AD=12,求BC的长.思想2方程思想15.如图，某学校(点A)到公路(直线L)的距离为300m,到公交站(点D)的距离为500m,现要在公路边上建一个商店(点C),使之到学校A及到车站D的距离相等，求商店C与车站D之间的距离.21.1四边形及多边形21.1.1四边形及其内角和【点睛】四边形的外角和为360°.A基础题夯实知识点1四边形的有关概念1.四边形ABCD有条对角线，它们分别是,每条对角线都将四边形AB-CD分成个三角形.知识点2四边形的内角和A.互余B.互补C.相等D.无法确定3.四边形的四个内角可以都是()4.(教材P₄T,改编)直接写出下列图形中x的值：5.(教材P₅T,改编)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D.求证：AB//CD,知识点3四边形的外角和6.(2025黄石)图中α的度数为7.已知一个四边形的四个外角的度数比为1:2:3:4,求这个四边形的最大内角的度数.知识点4四边形的不稳定性B中档题运用CCDC综合题探究12.【问题探究】(1)如图1,求证：∠1+∠2=∠3+∠4;【变式运用】(2)如图2,若∠3=60°,∠4=40°,则∠1+∠2的度数为;【拓展创新】(3)如图3,AE,DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD,∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°,求∠E的度数.21.1.2多边形及其内角和判断：在n边形的n个内角中，最多有3个锐角.()【点睛】多边形的外角和为360°,所以n边形的外角中最多只能有3个钝角，A基础题夯实知识点1多边形的有关概念1.从八边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将八边形分为个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将n边形分为个三角形.2.下列说法：①正多边形的各边都相等；②各边都相等的多边形是正多边形；③各个内角都相等的多边形是正多边形；④正多边形的各个内角都相等.其中结论正确的有.(填序号)知识点2多边形的内角和(1)六边形的内角和为;(2)若n边形的内角和等于900°,则n的值为;(3)正八边形的内角和为,每一个内角的度数为·4.(教材P₃₂T,改编)直接写出下列图形中x的值：知识点3多边形的外角和(1)若正n边形的一个外角为40°,则n的值为;(2)若正n边形的每一个内角为144°,则每一个外角的度数为,n的值为_·6.如图，从冰裂纹窗格图案中提取一个五边形，已知∠3+∠4=180°,∠2=61°,∠5=52°.则∠1的度数为.第6题图第7题图7.(2025吉林中考)如图，正五边形ABCDE的边AB,DC的延长线交于点F,则∠F的度数为8.(教材P₅₃T₄改编)一个多边形的外角和是内角和的,求这个多边形的边数.B中档题运用9.(2025咸宁)七边形的所有对角线的条数是()A.7B.10C.110.如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得到五边形CDEFG,若DE//CG,FG//CD,根据A.58°B.64°C.66°CC第10题图第11题图第12题图11.(2025眉山中考)如图，直线I与正五边形ABCDE的边AB,DE分别交于点M,N,则∠1+∠2的度数为()A.216°B.180°C.144°12.如图，用边长相等的3种正多边形瓷砖铺设地面，其中两种瓷砖分别为正方形和正六边形，则另一种正多边形瓷砖的边数为13.如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等.(1)求∠A的度数；14.(2025汉阳区)如图，AC,CB是一个正多边形的两条对角线，且ACLBC.(2)求∠D的度数.重点强化正多边形与角度计算类型一正多边形与等腰三角形A.30°B.35°类型二正多边形与折叠类型三正多边形与平行线3.(2025淮安中考改编)如图，过正六边形ABCDEF的顶点A,C分别作直线AG//CH,AG交A.30°B.40°类型四正多边形与组合图形4.把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1=52°,∠2=18°,则∠3的度数类型五正多边形的面积边形EFGHMN,则这个正六边形的边长为,这个正六边形的面积为思想方法多边形与数学思想类型一方程思想1.(教材P₅₃T,改编)解答下列问题：(1)一个n边形的内角和的比它的外角和少150°,求n的值；(2)一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多30°,求它的内角和.类型二整体思想2.(2025长沙中考)如图，在五边形ABCDE中，∠B=120°,∠C=110°,∠D=105°,则∠A+∠E的度数为3.如图，Rt△ABC的两条直角边AC,BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1+∠2的度数为 B类型三转化思想4.根据图形填空：(2)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为5.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.第1课时平行四边形及其性质(一)知识点1平行四边形的有关概念第1题图第3题图第4题图知识点2平行四边形的边、角的性质知识点3平行四边形的对角线互相平分A.AB=BOB.AC=BDC.OA=OCCC第5题图第6题图第7题图 B中档题运用□ABCD的周长为,面积为.DD相交于点O,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,连接CE,若△CDE的周长为8,则口ABCD的周长为(2)如图2,P为BD上任意一点(点P与点B,D不重合),求证：S△ABP=C综合题探究AB=CF,连接DE,DF.第2课时平行四边形及其性质(二)易错点睛在同一平面内，与已知直线l平行且距离等于3cm的直线有条.【点睛】注意考虑直线两侧的情况.A基础题夯实知识点1平行四边形的性质的运用第2题图BE=AD,则∠BCE的度数为知识点2两条平行线之间的距离的长.7.(2025湖北中考改编)如图，□ABCD的对角线交点在原点.若A(-1,2),则点C的坐标是第8题图CCBB点E.若AE=12,DE=5,AB=13,则△CDE的周长为,AC综合题探究(2)直线EF是否将□ABCD的面积二等分?试说明理由；应用：(3)如图2,在AD上取点M,使直线MP平分口ABC(4)如图3,四边形ABCD和四边形CDEF都是平行四边形，作一条直线1,使得直线l平分该图形的面积.第1课时平行四边形的判定(一)知识点1两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形2.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE//AC,CE//BD,若AC=3,BD=5,则四边形OCED的周长为平行四边形.知识点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形4.在四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D=2:3:2:3,那么四边形ABCD是平行四边C.∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°知识点3对角线互相平分的四边形是平行四边形6.在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB//DC,AD//BCB.AC.AB=DC,AD=BCD.OA=OC,OB=ODCC(2)在图2中，在AB的右方作PQ=3;(3)在图3中，先画AC的中点O,再画□ABCD.C综合题探究到点F,使得OF=EO.(2)若AB=4,求四边形DECF的面积；(3)直接写出EF的最小值.第2课时平行四边形的判定(二)四边形ABCD是平行四边形.【点睛】利用“一组对边平行且相等”判断.A基础题夯实知识点一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1.在四边形ABCD中，AB=DC,请添加一个条件,使四边形ABCD成为平行四边形.3.(2025大连)在四边形ABCD中，已知AD//BC.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()4.依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是()2CC(2)连接DE.求证：四边形BCDE为平行四边形.B中档题运用向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C出发向点B运动. s后四边形ABQP是平行四边形.10.如图，△ABC与△ADE均为等边三角形，点D,F分别在BC,AC上.且DC'=CF.求证：CCC综合题探究CC21.2.3三角形的中位线A基础题夯实知识点1三角形的中位线定理为()DC第1题图第2题图第3题图第4题图D分别是OA,OB的中点.经测得CD=5.5cm,则该工件内槽宽AB的长为cm.则BE的长为知识点2中点四边形6.如图，已知E,F.G,H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC=8,BD=10.则四边形EFGH的周长为·7.如图，E,F,G,H分别是AB.BD,CD,AC的中点.c(2)若BDLCD,AD=6,BD=4,CD=3,求四边形EFGH的周长.cB中档题运用分别是PA,PQ的中点，当点P在BC上移动时，线段EF的长()A.先变大，后变小B.保持不变C.先变小，后变大D.无法确定CC第8题图第9题图BBDE,连接BF,则BF的长为11.如图，C为线段BD上一点，分别以BC,CD为腰作等腰△ABC和等腰△ECD,AC=BC,C综合题探究12.【用数学的眼光观察】(1)如图1,AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G,连接GD.若∠ANM=60°,试判断△CGD的形状，并进行证明.B基础夯实平行四边形(一)性质与判定类型一平行四边形的性质类型二平行四边形的判定两种不同方法证明).思想方法平行四边形(二)分类讨论图形1平行四边形两邻角的平分线条件；□ABCD,AB=a,AD=b,∠1=∠2,∠3=∠4.图形2高在形内或形外结论：EF=b-2a.结论：EF=2a-b.类型一顶点次序不明1.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(4,0),B(2,3),则第四个顶点C的坐标类型二角平分线的位置不明EF=2,则AB的长为类型三高的位置不明图形研究构中位线(一)取中点图形1四边形对边中点条件：AE=ED,BF=FC.方法：取对角线BD的中点H.类型一构单中位线cc类型二构多中位线CC图形研究构中位线(二)延长法图形1单中点+隐中点条件：D为BC的中点，AH平分∠BAC,AH⊥HC.方法：延长CH交AB于点E.结论：DH//AB,图形2三角形一边上的中线条件：D为AB的中点.方法：延长AE至点C,使EC=AE,连接BC.结论：类型一平行线+中点→构中位线MN的长为"类型二角平分线+垂线→构中位线AC=18,则DM的长为类型三倍长线段→构中位线21.3特殊的平行四边形第1课时矩形及其性质【点睛】应讨论1和3的两种不同情形.知识点1矩形的性质A.∠ABC=90°B.AC=BD2.(2025绥化中考)一个矩形的一条对角线长为10,两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的A.25B.25√3C.25√5(2)当AB=12,DF=13时，求BE的长.知识点2直角三角形斜边上的中线6.(2025福建中考)某房梁如图所示，立柱ADLBC,E,F分别是斜梁AB,AC的中点.若AB=AC=8m,则DE的长为m.∠BFC=90°.若AC=4,BC=8,C综合题探究第2课时矩形的判定易错点睛【点睛】根据矩形的判定定理判断.A基础题夯实知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形BEFD为矩形.形ABCD是矩形.知识点2对角线相等的平行四边形是矩形BF,DF,BE.若BD=EF,判断四边形EBFD的形状，并说明理知识点3有三个角是直角的四边形是矩形B中档题运用8.(经典题)E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点，则四边形EFGH的形状是,当AC与BD满足条件时，四边形EFGH是矩形.9.如图，A,B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A,B为顶点的格点矩形共可以画出()AA(1)尺规作图：以BD,BC为边，作口BDEC(不写①求证：四边形ADCE是矩形；②若BD=3,AE=4,求△ABC的周长.C综合题探究12.(2025经典题改编)如图，已知四边形ABCD为EE(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)若,CD=3,,求AF的长.图形1沿对角线翻折条件：将矩形ABCD沿BD翻折.结论：BE=ED,△ABE≌△C′DE.图形2翻折后顶点落在边上类型一沿对角线翻折1.如图.将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点C′,BC′与AD交于点E.若AD=8cm,AB=4cm,求△BDE的面积.类型二翻折后顶点落在边上点C落在点G处.(2)若AB=4,AE=3.①求△BEF类型三翻折后顶点落在形内图形研究构斜边上的中线(一)双Rt△图形1线段同旁张直角条件：∠ABC=∠ADC=90°.方法：取AC的中点O.结论：OB=OA=OD=OC,CC图形2线段两旁张直角条件：∠ABC=∠AEC=90°.方法：取AC的中点O.结论；OB=OA=OE=OC,类型一连中点类型二取中点CC图形研究构斜边上的中线(二)单Rt△方法：取AC的中点O,连接OB.条件：∠ACB=90°,DA=DC.结论：∠E=∠DCE,类型一连中点求∠DEA的度数.类型二取中点类型三隐中点图形研究构斜边上的中线(三)联姻中位线条件：AD是△ABC的高，E为BC的中点，∠B=2∠C.方法1:取AB的中点F,连接DF,EF.方法2:取AC的中点P,连接DP,EP.类型一用“双线”类型二构“双线”的长.顺次连接菱形的四条边的中点所组成的图形是()D.无法确定A.平行四边形B.菱形C.矩D.无法确定【点睛】菱形的对角线互相垂直.1.若菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的边长是·(E=3,则菱形的周长为·第2题图第3题图第5题图4.若菱形的一内角为150°,高为2,则菱形的周长为5.(临夏州中考)如图，0是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3,4).则顶点A的坐标为知识点2菱形的面积7.在菱形ABCD中，AB=13,BD=10,则菱形ABCD的面积为9.(2025荆州)如图，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,求AE的长.B中档题运用10.如图，在菱形ABCD中，分别以点C,D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M,N,连接MN.若直线MN恰好过点A且交CD于点E,连接BE,则下列结论错误的是()CDCD11.(2025辽宁中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点OF=1,连接BE,G为BE的中点，连接FG,则FG的长为GGC综合题探究13.(2025江岸区)在菱形ABCD中，∠A=60°,点E,F分别是边AB,BC上的点.【尝试初探】(1)如图1,若∠EDF=60°,求证：DE=DF;【深入探究】(2)如图2,点G,H分别是边CD,AD上的点，连接EG与FHCC相交于点O且CC第2课时菱形的判定顺次连接矩形四边的中点所得的四边形必定是【点睛】矩形的对角线相等.A基础题夯实知识点1利用菱形的定义判定菱形A.AB=CDB.AB=BCFF第1题图第2题图第3题图菱形的是()3.(2025黄浦区)如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,只需添加一个条件即可证明四(2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.知识点2利用对角线的特征判定菱形C.AC⊥BDD.AD²+OA²=OD²知识点3利用边的特征判定菱形的即可)7.已知E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点，当D关于AC所在直线对称，(2)过点D作BC的垂线交BC延长线于点E.若CE=3,AD=5,求线段OC长.9.(2025徐州中考改编)如图，四边形ABCD是平行四边形.(3)若AB=2,AC=2√3,BC=4,判断AB和EF的位置关系，C综合题探究(2)若∠FDC=20°,∠DFC=50°,CHLDF方法技巧菱形(一)性质方法一面积法方法二整体法方法三勾股法(2)若菱形的边长为4,求FC的长.方法四对称法(1)求菱形ABCD的面积；(2)求DP+PQ的最小值.一题练透菱形(二)60°的菱形图形1夹半角条件：菱形ABCD,方法：连接AC.结论：①△ABE≌△ACF;②△AEF为等边三角形；DD图形2一线三等角条件；菱形ABCD,方法：连接AC,作ME//AC.结论；①△AME≌△ECF;②△AEF为等边三角形，△ABE≌△ACF;问题2在问题1中，若AB=4,求四边形AECF的面积；问题4如图3,点E,F分别在边BC,CD上，∠AEF=60°.(武汉中考改编)以正方形ABCD的边CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数为【点睛】分点E在正方形内和正方形外两种情况.知识点利用正方形的性质计算与证明A.对角线平分一组对角B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线互相平分4,则EF的长为·第2题图第3题图第4题图3.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,以点A为圆心，AB的长为半径作∠AFB=70°,则∠DEC的度数为"5.(2025浙江中考)【问题背景】如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上.7.(2025襄阳)如图，已知正方形ABCD,E,F分别为边BC,ABCE=3,则DE的长是4BB第7题图第9题图8.如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分别是F,G,若CG=4,CF=3,则AE的长为·交CD边于点F,若AB=4,则四边形OECF的面积为C综合题探究(2)连接AP与BD交于点H.②直接写出BH,CP,DH之间的数量关系为·A.对角线相等B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分A基础题夯实知识点正方形的判定A.AB=ADB.AB⊥BCC.AC⊥BD 正方形.B中档题运用CCCD