2020-2021学年福建省莆田市第十五中学高三二模数学(文)试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页福建省莆田市第十五中学2020-2021学年高三二模数学（文）试题一、单选题1．集合，则（

）A． B． C． D．2．复数，,其中为虚数单位，则的虚部为A． B． C． D．3．已知，是两个命题，那么“是真命题”是“是假命题”的A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件4．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（

）A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加5．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（）A．120 B．84 C．56 D．286．阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．7．如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则A． B．C． D．8．已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于A．5 B．3 C． D．9．一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点在正视图上的对应点为，点在俯视图上的对应点为，则与所成角的余弦值为A． B． C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟11．定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是A． B． C． D．12．已知四点均在以点为球心的球面上，且，.若球在内且与平面相切，则球直径的最大值为A．1 B．2 C．4 D．8二、填空题13．若函数的零点为，则.14．若满足约束条件，则的最小值为15．已知双曲线的右焦点为，左顶点为.以为圆心，为半径的圆交的右支于两点，的一个内角为，则的离心率为.16．在平面边形中，，则的最小值为.三、解答题17．已知数列为等差数列，，且，，依次成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若，求的值.18．如图1所示，在等腰梯形中，，点为的中点.将沿折起，使点到达的位置，得到如图2所示的四棱锥，点为棱的中点.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.19．已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称.（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.20．某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量，（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为元.（1）求商店日利润关于需求量的函数表达式；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间内的概率.21．已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，，求的取值范围.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；（2）设直线过点与曲线交于不同两点，，的中点为，与的交点为，求．23．若关于的不等式在实数范围内有解.（1）求实数的取值范围；（2）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.

参考答案1．【答案】D【分析】根据题意先求出集合和集合，再求【详解】解：由得到，即，由得到，即，则故选：．2．【答案】A【分析】先求出，再根据复数的运算法则进行计算即可.【详解】，，所以的虚部为.故选：A.3．【答案】C【分析】由充分必要条件及命题的真假可得：“是真命题”是“是假命题”的充分不必要条件，得解.【详解】解：因为“是真命题”则命题，均为真命题，所以是假命题，由“是假命题”，可得为真命题，但不能推出“是真命题”，即“是真命题”是“是假命题”的充分不必要条件，故选：．4．【答案】D【分析】设2015年该校参加高考的人数为S,则2018年该校参加高考的人数为1.5S，观察柱状统计图,找出各数据,再利用各数量间的关系列式计算得到【详解】设2015年该校参加高考的人数为S，则2018年该校参加高考的人数为1.5S.对于选项A：2015年一本达线人数为0.28S，2018年一本达线人数为0.24×1.5S=0.36S，可见一本达线人数增加了，故A错误；对于选项B：2015年二本达线人数为0.32S，2018年二本达线人数为0.4×1.5S=0.6S，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍,故B错误；对于选项C：2015年和2018年艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故C错误；对于选项D：2015年不上线人数为0.32S，2018年不上线人数为0.28×1.5S=0.42S，不达线人数有所增加，故D正确.故选：D5．【答案】B【分析】按照框图中程序，逐步执行循环，即可求得答案.【详解】第一次循环：，，第二次循环：，，第三次循环：，，第四次循环：，，第五次循环：，，第六次循环：，，第七次循环：，，退出循环，输出.故选：B6．【答案】A【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a、b的方程组，求解方程组即可得答案．【详解】解：由题意，设椭圆C的方程为，因为椭圆的离心率为，面积为，所以，解得，所以椭圆C的方程为，故选：A.7．【答案】B【详解】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，．故选B．8．【答案】D【分析】分别求得和的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入求得的值.【详解】，令，解得，这就是切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标为，将代入得.故选D.9．【答案】B【详解】由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线PA与BC所成的角，再计算所成角的余弦值．【详解】由三视图知，该几何体是直四棱锥P﹣ABCD，且PD⊥平面ABCD，如图所示；取CD的中点M，连接AM、PM，则AM∥BC，∴∠PAM或其补角是异面直线PA与BC所成的角，△PAM中，PA＝2，AM＝PM，∴cos∠PAM，又异面直线所成角为锐角即PA与BC所成角的余弦值为．故选B．10．【答案】A【详解】分析：由题意可得：yN=，yM=，计算yM﹣yN=sin，即可得出．详解：由题意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin，令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，3．∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间=3×12+=37.5（分钟）．故选A．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.11．【答案】B【分析】结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.【详解】结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故可以转换为对应于恒成立,即即对恒成立即对恒成立令,则上递增,在上递减,所以令,在上递减所以.故,故选B.12．【答案】D【详解】如图所示:取CD的中点O,连接AO,BO,如图，因为BC=BD=，,所以因为，所以AO⊥CD,且AO=2，又因为OD=4，BO=4，所以故AO⊥OB，又BO∩CD=O,所以AO⊥平面BCD,所以在AO上，连接,设则即解之得R=5，球的直径最大时，球与平面BCD相切且与球内切，A,O,四点共线，此时球的直径为R+=8.故选D.点睛：本题是一个难题，只有通过计算，认清以A,B,C,D为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心的位置，借助方程求出球的半径，直观判断球心的位置，才能迎刃而解.13．【答案】3【分析】根据题意，由函数零点的定义可得f（﹣2）＝log2（a﹣2）＝0，解可得a的值，即可得答案．【详解】根据题意，若函数f（x）＝log2（x+a）的零点为﹣2，则f（﹣2）＝log2（a﹣2）＝0，即a﹣2＝1，解可得a＝3，故答案为314．【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图阴影所示，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时直线在y轴上的截距最小，z最小，联立得A（2,2），故z的最小值为6故答案为615．【答案】【分析】由题意可得PA⊥PB，又△APQ的一个内角为60°，即有△PFB为等腰三角形，PF＝PA＝a+c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求．【详解】如图，设左焦点为F1，圆于x轴的另一个交点为B，∵△APQ的一个内角为60°∴∠PAF＝30°，∠PBF＝60°⇒PF＝AF＝a+c，⇒PF1＝3a+c，在△PFF1中，由余弦定理可得．⇒3c2﹣ac﹣4a2＝0⇒3e2﹣e﹣4＝0⇒，故答案为．16．【答案】【详解】分析：作出图形，以为变量，在和中，分别利用余弦定理和正弦定理将表示为关于的函数，再利用三角恒等变换和三角函数的最值进行求解．详解：设，在中，由正弦定理，得，即，即，由余弦定理，得；在中，由余弦定理，得，，其中，则，即的最小值为．点睛：（1）解决本题的关键是合理选择为自变量，再在和中，利用正弦定理、余弦定理进行求解；（2）利用三角恒等变换和三角函数的性质求最值时，往往用到如下辅助角公式：，其中．17．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由求得公差，再由，，依次成等比数列.可求得，从而得通项公式；（2）用裂项相消法法求得和后，易得．【详解】解：（1）设数列为公差为的等差数列，，即，即，，，依次成等比数列，可得，即，解得，则.（2），即有前项和为，由，可得，解得.18．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，交于点，连接，易知底面是平行四边形，则为中点，又是中点，可知，则结论可证.（2）先证明是等腰直角三角形，由条件中的面面垂直可得平面，则由（1）可知平面，则为三棱锥的高，底面的面积容易求得，根据公式求三棱锥的体积.【详解】（1）在平面图中，因为且，所以四边形是平行四边形；在立体图中，连接，交于点，连接，所以点是的中点，又因为点为棱的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）在平面图中，因为是平行四边形，所以，因为四边形是等腰梯形，所以，所以，因为，所以；在立体图中，，又平面平面，且平面平面，平面所以平面，由（1）知，所以平面，在等腰直角三角形中，因为，所以，所以，又，所以.19．【答案】（1）,；（2）证明见解析.【详解】分析：（1）设的标准方程为，由题意可设．结合中点坐标公式计算可得的标准方程为．半径，则的标准方程为．（2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得．联立直线与抛物线的方程有．设，利用韦达定理结合弦长公式可得．则．即．详解：（1）设的标准方程为，则．已知在直线上，故可设．因为关于对称，所以解得

所以的标准方程为．因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．（2）设的斜率为，那么其方程为，则到的距离，所以．由消去并整理得：．设，则，那么．所以．所以，即．点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．20．【答案】(1)(2)①698.8元②0.54【分析】（1）根据不同的需求量，整理出函数解析式；（2）①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.【详解】（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：化简得：（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；这50天商店销售该海鲜日利润的平均数为：（元）②由于时，显然在区间上单调递增，，得；，得；日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：21．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）求导之后，通过对分子的二次函数的图像进行讨论，依次得到在不同范围中时，导函数的符号，从而求得单调区间；（2）根据（1）中所求在不同范围时的单调区间，得到的图像，通过图像找到恒成立所需条件，从而求得的取值范围.【详解】（1）①当时，令，解得，，