2020-2021学年广东省深圳市高一下期末数学试卷

广东省深圳市2021年普通高中高一下学期数学调研考试试卷一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知A={3，4，5，6}，B={2≤x<6}，则A∩B=(

)A.

{2，3，4}

B.

{3，4，5}

C.

{2，3，4，5}

D.

{3，4，5，6}2.复数z的共轭复数是1+3i(其中i为虚数单位)，则z的虛部是(

)A.

3i

B.

3

C.

-3i

D.

-33.已知向量a→=(-3，1)，b→=(1，-2)，则向量a→A.

30°

B.

45°

C.

60°

D.

135°4.己知一组数据如下：1，2，5，6，11，则该组数据的方差为(

)A.

12.4

B.

12.3

C.

12.2

D.

12.15.己知sin2α=cos(π2+α)，α∈(πA.

-3

B.

-1

C.

−33

D.

-26.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的(

)A.

18倍

B.

24倍

C.

36倍

D.

48倍7.已知函数f(x)=sinx+3cosx，则“x0=π6"是“f(x)在x=x0A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件8.己知实数a，b，c满足a>b>0>c，则下列不等式中成立的是(

)A.

a+1b<b+1a

B.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策．下图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况，则下列说法正确的是（

）A.

年均增长率逐次减小

B.

第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是1.56%

C.

这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小

D.

第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大10.把函数f(x)=cosx的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的12A.

函数g(x)的最小正周期为π

B.

直线x=π是函数g(x)图象的对称轴

C.

函数8(x)在区间[-12，32]上的最小值为-1

D.

点(π4，111.已知实数x，y，z满足2x=log2y=1zA.

y=z>x

B.

z=x>y

C.

y>z>x

D.

z>y>x12.如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AC=AD=BC=BD=5，若用一个与AB，CD都平行的平面α截该四面体，下列说法中正确的是(

)A.

异面直线AB与CD所成的角为90°

B.

平面α截四面体ABCD所得截面周长不变

C.

平面α截四面体ABCD所得截面不可能为正方形

D.

该四面体的外接球表面积为6π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.求值：(49)−114.甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为________15.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为AD，AB的中点，则直线EF与平面BCD1所成角的大小为________16.已知函数f(x)=ln(x2+1)，g(x)=4(m-1)sin(2x+π6)-m2，若x1∀∈[-1，3]，∀x2∈[0，π2]，f(x1)≥g(x四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.己知z，z1，z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为(3，4)，z2对应的向量坐标为(0，1)，且zz1=-1+7i(其中i为虚数单位)。（1）求z；（2）求|(z+i)z2|18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC。（1）求B；（2）若b=1，△ABC的面积为3419.某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间(单位：小时)数据分成6组：[0，1)，[，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5)，[5，6]，(时间均在[0，6]内)，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5（1）求m，n的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率。20.如图，在△ABC中，AD=25AB，点E为AC中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，设CB=a，（1）用a，b表示EF，CD；（2）如果∠ACB=60°，AC=2，且CD⊥EF，求|CD|。21.如图1所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=62，点E为线段AB上一点，AE=1，现将△BCE沿CE折起，将点B折到点B'位置，使得点B'在平面AECD上的射影在线段AD上，得到如图2所示的四棱锥B'-AECD（1）在图2中，线段B'C上是否存在点F，使得EF∥平面B'AD？若存在，求B'FB'C（2）在图2中求二面角B'-EC-D的大小。22.已知函数f(x)=|ex-1|（1）试判断函数f(x)的单调性，并画出函数f(x)图象的草图；（2）若关于x的方程2f2(x)-4mf(x)+5m-2=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。

答案解析部分一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知A={3，4，5，6}，B={2≤x<6}，则A∩B=(

)A.

{2，3，4}

B.

{3，4，5}

C.

{2，3，4，5}

D.

{3，4，5，6}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：根据交集的定义得A∩B={3,4,5}，

故答案为：B【分析】根据交集的定义求解即可.2.复数z的共轭复数是1+3i(其中i为虚数单位)，则z的虛部是(

)A.

3i

B.

3

C.

-3i

D.

-3【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】【解答】解：由题意得z=1−3i，故z的虛部是−3【分析】根据复数的概念求解即可.3.已知向量a→=(-3，1)，b→=(1，-2)，则向量a→A.

30°

B.

45°

C.

60°

D.

135°【答案】D【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】解：由题意得cos<a→,b→>=a→【分析】根据向量的夹角公式，结合向量的数量积与向量的求模公式直接求解即可.4.己知一组数据如下：1，2，5，6，11，则该组数据的方差为(

)A.

12.4

B.

12.3

C.

12.2

D.

12.1【答案】A【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差【解析】【解答】解：由题意得平均值=1+2+5+6+115=5，则方差【分析】根据平均值及方差的定义直接求解即可.5.己知sin2α=cos(π2+α)，α∈(πA.

-3

B.

-1

C.

−33

D.

-2【答案】A【考点】二倍角的正弦公式，任意角三角函数的定义，运用诱导公式化简求值【解析】【解答】解：由sin2α=cos(

π2+α)得2sinαcosα=-sinα，

∵α∈(

π2，π)∴sinα≠0∴2cosα=-1∴cosα=−【分析】根据二倍角公式，诱导公式，以及三角函数的定义求解即可.6.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的(

)A.

18倍

B.

24倍

C.

36倍

D.

48倍【答案】C【考点】有理数指数幂的运算性质【解析】【解答】解：由题意得(1+6.25%)30=6，则(1+6.25%)60=[(1+6.25%)30]2=62=36

故答案为：C【分析】根据指数运算法则求解即可.7.已知函数f(x)=sinx+3cosx，则“x0=π6"是“f(x)在x=x0A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，三角函数的最值【解析】【解答】解：由题意得fx=sinx+3cosx=2sinx+π3

当x0=π6【分析】根据充分必要条件的判断，结合三角函数的性质求解即可.8.己知实数a，b，c满足a>b>0>c，则下列不等式中成立的是(

)A.

a+1b<b+1a

B.

【答案】B【考点】不等关系与不等式，不等式比较大小【解析】【解答】解：对于A，∵a>b>0>c∴1b>1a，

∴a+1b>b+1a，

故A不成立；对于B，∵a>b>0>c

∴0<2a+b<3a，a+2b>3b>0∴0<1a+2b<13b∴2a+ba+2b<3a3b=ab

故B成立；

对于C，∵c<0∴-c>0又∵a>b>0

∴a-c>b【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策．下图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况，则下列说法正确的是（

）A.

年均增长率逐次减小

B.

第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是1.56%

C.

这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小

D.

第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大【答案】B,D【考点】频率分布折线图、密度曲线，极差、方差与标准差【解析】【解答】解：对于A选项，由图可知第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故A错;

对于B选项，极差为2.09%-0.53%=1.56%，故B对;

对于C选项，第七次增幅最小，故C错;

对于D选项，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故D对.

故答案为：BD.【分析】增幅其实就是增长率，不是增长量,增长率为正的时候，总人口都是增加的；增长率为负的时候，总人口才减少；看图排除错误选项即可.10.把函数f(x)=cosx的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的12A.

函数g(x)的最小正周期为π

B.

直线x=π是函数g(x)图象的对称轴

C.

函数8(x)在区间[-12，32]上的最小值为-1

D.

点(π4，1【答案】A,C,D【考点】函数的图象与图象变化，余弦函数的图象，余弦函数的奇偶性与对称性，余弦函数的零点与最值【解析】【解答】解：把函数f(x)=cosx的图象向左平移1个单位长度得到y=cos(x+1)的图象，再把所得图象横坐标变为原来的12得到函数y=cos(2x+1)的图象，即g(x)=cos(2x+1).

对于A，函数g(x)的最小正周期为T=2π2=π，故A正确；

对于B，令2x+1=kπ，k∈Z，得x=−12+kπ2，k∈Z，即函数g(x)图象的对称轴为x=−12+k【分析】根据图象的平移变换，结合余弦函数的图象与性质求解即可.11.已知实数x，y，z满足2x=log2y=1zA.

y=z>x

B.

z=x>y

C.

y>z>x

D.

z>y>x【答案】A,C,D【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质，幂函数的图象，幂函数的性质【解析】【解答】解：实数x,y,z满足2x=log2y=1z，作出函数y=2x,y=log2x,y=1x的图象,

由最上面的直线与函数图象交点可得:y>x>z,

由第二条直线与函数图象交点可得:y>x=z,

由最中间的直线与函数图象交点可得:y>z>x,

由第四条直线与函数图象交点可得:y=z>x,

由第五条直线与函数图象交点可得:z>y>X.

综上所述，故选ACD.

【分析】根据指数函数，对数函数，反比例函数的图象与性质，运用数形结合的思想求解即可.12.如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AC=AD=BC=BD=5，若用一个与AB，CD都平行的平面α截该四面体，下列说法中正确的是(

)A.

异面直线AB与CD所成的角为90°

B.

平面α截四面体ABCD所得截面周长不变

C.

平面α截四面体ABCD所得截面不可能为正方形

D.

该四面体的外接球表面积为6π【答案】A,B,D【考点】球的体积和表面积，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的性质【解析】【解答】A．取CD中点M，△ABC为等腰三角形，那么CD⊥AM，同理，CD⊥BM，且AM∩BM=M，那么CD⊥平面ABM，而AB⊂平面ABM，所以CD⊥AB，A正确；B．如图，设平面a与四面体ABCD的各棱的交点分别为E，F，G，H，由AB∥平面a，且AB⊂平面ABD，两个平面的交线为HG，则AB∥HG，同理，FG∥CD，HGAB=HD①+②得：HG+HE=2，∴周长为22，B正确；C．E，F，G，H为棱中点时，截面为正方形，C错误；D．如图，四面体的外接球为正方体的外接球，r=62

故答案为：ABD.【分析】根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理，结合异面直线所成角的定义可判断A；

根据直线与平面平行的判定定理与性质定理，结合平行直线的性质定理可判断B；

根据四面体的几何特征，结合直线与平面平行的性质定理可判断C；

根据四面体与正方体的几何特征，结合外接球的几何特征可判断D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.求值：(49)−1【答案】5【考点】有理数指数幂的运算性质，有理数指数幂的化简求值，对数的运算性质【解析】【解答】解：原式=232【分析】根据指数式，对数式的运算法则，以及对数恒等式求解即可14.甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为________【答案】0.994【考点】互斥事件与对立事件，相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】解：由题意得，甲乙丙三人都不中靶的概率为(1-0.8)(1-0.9)(1-0.7)=0.006，

则甲乙丙三人中至少有一人中靶的概率为P=1-0.006=0.994

故答案为：0.994【分析】根据独立事件与对立事件的概率求法直接求解即可15.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为AD，AB的中点，则直线EF与平面BCD1所成角的大小为________【答案】π【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角【解析】【解答】解：连接BD，DC1,设直线DC1与D1C相交于点0,连接OB,

由正方体性质易知，BC⊥平面DCC1D1，由于DC⊂平面DCC1D1，所以DC1⊥BC,

又DC1⊥D1C,D1C∩BC=C，

所以DC1⊥平面BCD1，则∠DBO即直线DB与平面BCD1所成角,

又正方体边长为2，所以BD=22，DO=2，

sin∠DBO=DOBD=12，则∠DBO=30°,

即直线DB与平面BCD1所成角的大小为π6,

因为E、F分别为AD、AB的中点，

所以EF//DB，

【分析】根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理，结合直线与平面所成角的定义直接求解即可.16.已知函数f(x)=ln(x2+1)，g(x)=4(m-1)sin(2x+π6)-m2，若x1∀∈[-1，3]，∀x2∈[0，π2]，f(x1)≥g(x【答案】(-∞，-1-3]U[-1+3，+∞)【考点】函数恒成立问题，对数函数的值域与最值，正弦函数的零点与最值【解析】【解答】解：记f(x)在区间[-1，3]上的最小值为[f(x)]min，g(x)在区间[0，π2]的最大值为[()]max，由题意可知[f(x)]min≥[g(x)]由x12+1∈[1，10]，可得(f[(x)]由2x2+π6∈(π6,7π6)可得sin(2x2+π由g(x)max≤0，得{−12×4(m−1)−m所以，m的取值范围是(-∞，-1-3]U[-1+3，+∞)．【分析】根据化归思想，将不等式f(x1)≥g(x2)恒成立问题，等价转化为[f(x)]min≥[g(x)]max，再结合对数函数的值域以及y=Asin四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.己知z，z1，z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为(3，4)，z2对应的向量坐标为(0，1)，且zz1=-1+7i(其中i为虚数单位)。（1）求z；（2）求|(z+i)z2|【答案】（1）由题意知z1=3+4i，解zz1=-1+7i，得z=−1+7i所以z=(−1+7i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)

（2）由题意知z2=i，则(z+i)z2=(1+2i)i=-2+i所以|(z+i)z2|=|2+i|=5

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算，复数求模【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义，结合复数的运算法则求解即可；

（2）根据复数的运算法则，结合复数的模求解即可.18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC。（1）求B；（2）若b=1，△ABC的面积为34【答案】（1）将(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC展开得sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC，由正弦定理得a2+c2-b2=ac，由余弦定理得cosB=a因为0<B<π，所以B=π

（2）根据余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac因为△ABC的面积为12acsinB=3因为b=1，所以1=(a+c)2-3，解之，得a+c=2△ABC的周长为a+c+b=3【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理直接求解即可；

（2）根据余弦定理与三角形的面积及周长公式求解即可.19.某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间(单位：小时)数据分成6组：[0，1)，[，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5)，[5，6]，(时间均在[0，6]内)，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5（1）求m，n的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率。【答案】（1）由于0.05+0.15+m+n+0.11+0.04=1，则m+n=0.65；且0.05+0.15+m+(3.5-3)×n=0.7，则m+0.5n=0.5，于是{那么平均值为0.05×12+0.15×32+0.35×52+0.3×72+0.11×

（2）由于第二组和第四组的频率之比为：0.15那么分层抽样抽取的6个人中，来自第二组共有2个人，设为A，A，第四组共有4个人，设为B1，B2，B3，B4则从6个人中任选2人的基本事件有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4共15个，其中2人来自不同组的事件有A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，共8个，故所求概率为P=8【考点】分层抽样方法，频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】（1）根据直方图的性质与百分位数的定义直接求解即可；

（2）根据分层抽样，结合列举法求古典概型直接求解即可.20.如图，在△ABC中，AD=25AB，点E为AC中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，设CB=a，（1）用a，b表示EF，CD；（2）如果∠ACB=60°，AC=2，且CD⊥EF，求|CD|。【答案】（1）EFCD

（2）由(1)可知，CD所以2由|a|=2，可得|b|=3，|CD|=CD2=(【考点】向量的模，向量的线性运算性质及几何意义，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可；

（2）根据向量垂直的充要条件，结合向量的求模公式求解即可.21.如图1所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=62，点E为线段AB上一点，AE=1，现将△BCE沿