2020-2021学年广东省深圳市龙岗区高二上期末数学试卷

2020-2021学年广东省深圳市龙岗区高二上期末数学试卷（2021·深圳市龙岗区·期末）命题“∀x∈R，x+x A．∀x∈R，x+x2<0 C．∃x0∈R，x0+x（2021·深圳市龙岗区·期末）复数z满足1+i⋅z=−1+i，其中i为复数单位，则复数z= A．1+i B．1−i C．i D．（2021·深圳市龙岗区·期末）已知1，a1，a2，3成等差数列，1，b1，b2，b3，4 A．2 B．−2 C．±2 D．54（2021·深圳市龙岗区·期末）设实数x，y满足y≤x,x+y≤4,y≥−2,则z=2x+y的最小值为 A．−8 B．−6 C．6 D．10（2021·深圳市龙岗区·期末）已知双曲线x2a2−y2b2=1（ A．x24−y25=1 B．（2021·深圳市龙岗区·期末）已知函数fx=12x3+ax+4，则“a>0 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（2021·深圳市龙岗区·期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律．其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”．现恰有30人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂（即1520），其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为   A．32 B．33 C．34 D．35（2021·深圳市龙岗区·期末）双曲线x2a2−y2b2=1 A．52 B．5 C．3 D．3（2021·深圳市龙岗区·期末）下列选项中正确的是   A．不等式a+b≥2ab B．存在实数a，使得不等式a+1 C．若a，b为正实数，则ba D．若正实数x，y满足x+2y=1，则2x（2021·深圳市龙岗区·期末）如图，正方体ABCD−A1B1C A．直线BC与平面ABC1D B．C到面ABC1D C．两条异面直线CD1和BC D．三棱锥D1（2021·深圳市龙岗区·期末）已知数列ann+2n是首项为1，公差为 A．a1=3 B．若d=1，则 C．a2可能为6 D．a1，a2（2021·深圳市龙岗区·期末）已知P是左右焦点分别为F1，F2的椭圆x24+ A．PF B．PF1− C．存在点P，使得∠F D．MP的最大值为2+2（2021·深圳市龙岗区·期末）函数fx=x2ln（2021·深圳市龙岗区·期末）复数z=12+4a−a2−8a−16（2021·深圳市龙岗区·期末）数列an中a1=2，an+1=2an，Sn为an（2021·深圳市龙岗区·期末）已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F（2021·深圳市龙岗区·期末）在①S3=12，②2a已知an是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，若，且a1，a(1)求数列an(2)设数列bn是各项均为正数的等比数列，且b2=a1，b4=（2021·深圳市龙岗区·期末）已知抛物线y2=2pxp>0的顶点为O(1)求抛物线方程．(2)若过点D1,1的直线l交抛物线于A，B两点，且D为AB的中点，求直线l(3)过点1,0且斜率为1的直线与抛物线交于P，Q两点，求△OPQ的面积．（2021·深圳市龙岗区·期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=60∘，FC⊥平面ABCD，四边形ACFE为矩形，点M为线段(1)求证：平面BCM⊥(2)求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值．（2021·深圳市龙岗区·期末）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，(1)证明：Sn+1为等比数列，求出a(2)若bn=nan，求bn的前n项和Tn（2021·深圳市龙岗区·期末）已知椭圆C:x2a2+（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（2021·深圳市龙岗区·期末）已知函数fx(1)求实数a的取值范围；(2)记两个极值点为x1，x2，且x1

答案1.【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，x+x2≥0【知识点】全（特）称命题的否定2.【答案】C【解析】因为复数z满足1+i所以z=−1+【知识点】复数的乘除运算3.【答案】A【解析】1，a1，a2，3成等差数列，可得1，b1，b2，b3，41，b2，4同号，所以b所以a1【知识点】等比数列的基本概念与性质、等差数列的基本概念与性质4.【答案】B【解析】由线性规划可得图象：因为z=2x+y，所以y=−2x+z，当y=−2x+z过点−2,−2时，z有最小值，所以z=2×−2【知识点】线性规划5.【答案】A【解析】易知抛物线y2=8x的焦点为所以双曲线的右顶点是2,0，所以a=2．又双曲线的离心率e=3所以c=3，b2所以双曲线的方程为x2【知识点】双曲线的简单几何性质6.【答案】A【解析】fʹx=32x2+a，当a>0时，fʹx>0，即a>0时，fx在R上单调递增，由fx【知识点】利用导数研究函数的单调性7.【答案】D【解析】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520．设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈90,100则n+n+1则有29n+m=1114，则m=1114−29n，所以90≤1114−29n≤100，解得：34.966≤n≤35.31，因为年龄为整数，所以n=35．【知识点】数列模型的实际应用问题8.【答案】B【解析】设双曲线右焦点为c,0，y=−bax与QF所以在△OPF中，∠OPF=90∘，PF=b⋅OP=O又因为P为FQ中点，O为FFʹ中点，所以△PFO∽所以QFʹ=2PO=2a且∠FQFʹ=90由双曲线定义可得：QF−QFʹ=2a，所以QFʹ=4a，所以Rt△QFFʹ中，QF所以2a2所以c=5a，即【知识点】双曲线的简单几何性质9.【答案】B；C；D【解析】不等式a+b≥2ab恒成立的条件是a≥0，b≥0当a为负数时，不等式a+1对于2x当且仅当4yx=xy，即故选：BCD．【知识点】均值不等式的应用10.【答案】A；B；D【解析】A选项：如图所示：连接B1C，交BC因为正方体ABCD−A所以四边形BCC1B又因为AB⊥平面BCC所以AB⊥CO，AB⊥CO,CO⊥B所以∠CBO为直线BC与平面ABC又因为∠CBO=πB选项：由上知：CO⊥平面所以CO为点C到面ABC又因为正方体边长为1，所以CO=2C选项：如图所示：连接D1C，A1因为D1所以∠A1BC1又因为A1所以∠AD选项：因为三棱柱AA1D设外接球半径为R，R=1S=4π【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）11.【答案】A；C；D【解析】A选项：因为数列ann+2所以a1所以a1B选项：当d=1时，an所以anC选项：an所以a2所以a2当d=0时，a2D选项：a3所以a3所以d=a所以d=a所以3+6d=5+16d，即d=−2所以a1，a2，故选ACD．【知识点】等差数列的基本概念与性质12.【答案】A；B；D【解析】A选项：已知a=2，b=c=2所以椭圆定义：PFB选项：由椭圆性质可得：PF因为PF1最大值为所以2PFC选项：当P点为椭圆的上顶点或下顶点时，∠F此时tan∠则∠F1PD选项：设P2MP=所以当sinθ=−1时，MP【知识点】椭圆的几何性质13.【答案】y=x−1【解析】fʹx=2xlnx+x，【知识点】利用导数求函数的切线方程14.【答案】(2,6)【解析】由复数z=a+bi对应点在第四象限时，a>0，b<0，所以12+4a−a所以a∈2,6【知识点】复数的几何意义15.【答案】6【解析】因为在数列an中，a1=2所以数列an是首项为2，公比为2因为Sn=126，所以即2n+1=128，解得【知识点】等比数列的前n项和16.【答案】y=±2【解析】由点A在双曲线上，且AF2⊥x由双曲线的定义可得|AF设Rt△AF1F运用面积相等可得S△A由勾股定理可得|AF解得r=|A⇒c=3a，可得b=2【知识点】双曲线的简单几何性质17.【答案】(1)设数列an的公差为d因为a1，a2，a4故a1+d2因为d≠0，所以a1所以an若选①S3=12，则6d=12，即d=2，则若选②2a2−a1=6，则若选③a8=16，则8d=16，即d=2，则(2)因为数列bn是各项均为正数的等比数列，且b2=设数列bn的公比为q，则q>0由①如，an=2n，故b2所以q2−4，由q>0，得又b2=b所以bn所以Tn【知识点】分组求和法、等差数列的前n项和18.【答案】(1)因为y2=2px的准线所以−p所以y2(2)点差法：设Ax1,y1，B两式相减得k=y又因为D1,1为A，B所以y1+y所以直线方程为y=x．经检验，此时直线与抛物线有两个交点，满足题意．(3)设直线l方程为x=1+y，Px3,x=1+y,y2=2x,所以Δ=12>0,y所以PQ=1+因为d=1所以S△OPQ【知识点】直线与抛物线的位置关系、抛物线中的弦长与面积19.【答案】(1)在梯形ABCD中，因为AB∥DC，∠ABC=60所以∠DAB=60∘，∠ACD=∠CAB，又所以∠DAC=∠ACD，所以∠DAC=∠CAB=30所以∠ACB=90∘，即又FC⊥平面ABCD，所以FC⊥BC，因为AC∩FC=C，AC，FC⊂平面所以BC⊥平面ACFE，即又BC⊂平面BCM，则(2)由（1）知CA，CB，CF两两垂直，所以以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为BC=1，∠ABC=60∘，所以AC=3所以A3,0,0，B0,1,0所以AB=−3设n1=x,y,z由n1⋅AB解得y=3x,z=x,取x=1因为n2=1,0,0设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，所以cosθ=【知识点】平面与平面垂直关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角20.【答案】(1)因为Sn+1所以Sn+1+1=2S所以Sn因为S1+1=2，公比为所以Sn+1=2所以Sn−1=2n−1−1，当n≥2所以an(2)bnTn12TnTn代入Tn⋅2令fx=2x−x−26所以fx=2有f5⋅f4<0，所以不存在正整数【知识点】根据n项和式和n项积式求通项、错位相减法21.【答案】（1）法1：【待定系数法】由题意可得c2又因为点在椭圆上得3a联立解得a2=4，所以椭圆C的方程为x2法2：【定义法】设另一个焦点为F1−3由勾股定理得F1所以2a=PF+P由b2=a所以椭圆C的方程为x2（2）当直线l为非x轴时，可设直线l的方程为x+my−3=0，与椭圆整理得4+m由Δ=2设Ax1,y1，Bx2则由韦达定理可得y1+y直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ，BQ的斜率互为相反数．所以y1即得y1又x1+my得x1=3所以y1整理得3−t从而可得3−t即2m4−所以当t=433，即Q433,0特别地，当直线l为x轴时，Q4综上，存在x轴上的定点Q433,0，满足直线QA与直线【知识点】椭圆的几何性质、椭圆中的动态性质证明22.【答案】(1)方法一：由题意，方程fʹx=0在0,+∞有两个不同根，即方程转化为函数gx=lnx与函数令gx故gx在12a,代入点0,−1有：−1−ln由图象可得：2a∈0,1方法二：转化为函数gx=1+lnxgʹx=−lnxx