数学（四）-2024年中考考前20天终极冲刺攻略

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（四）

多边形与四边形命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题01

圆命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题66

视图与投影命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题139

尺规作图命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题168

中考临考押题模拟卷（通用）……………………216

多边形与四边形

关于多边形与四边形在中考数学中的命题预测，可能会涉及以下几个方面的考点：

多边形与四边形的定义及性质：这是基础考点，会涉及多边形的定义、内角和公式、外角和定理等。

四边形作为多边形的一种特殊情况，其性质如平行四边形的对边平行且相等、对角线互相平分等也会是考

查的重点。

多边形与四边形的判定：比如给定一些条件，要求判断一个图形是否是多边形或某种特定的四边形（如

平行四边形、矩形、菱形、正方形等）。这需要考生熟练掌握各种图形的判定条件。

多边形与四边形的计算：这包括利用公式计算多边形的内角和、外角和，以及四边形的面积、周长等。

同时，也会涉及利用多边形的性质解决一些线段和角的问题。

多边形与四边形的综合应用：这类题目可能会结合其他知识点（如方程、函数、不等式等）进行综合

考查，需要考生具备较强的综合运用能力。

此外，考虑到中考数学的命题趋势，多边形与四边形的考点可能会更加注重对考生思维能力和解题能

力的考查。因此，考生在备考时应注重理解基本概念和性质，掌握各种图形的判定条件，提高解题技巧和

速度，同时也要注意培养自己的思维能力和解题能力。

Ⅰ、多边形的内角和与外角和

一、多边形的内角和公式

1.n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)；

通过多边形的内角和公式可以通过边数求内角和，或通过内角和求多边形的边数.

2.多边形的内角和公式推导：

如图所示，从n边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把n边形分成（n－

2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和是(n-2)·180°.

3.正多边形：各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形.正n边形的每个内角都为.

二、多边形的外角和

1.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.

2.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处分别取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和，多边

形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.

如图所示：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5就是五边形ABCDE的外角和，为360°.

3.正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于.

4.多边形的外角和的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于180°，所以n边形的外角和等

于n个180°的平角减去多边形的内角和，即.

Ⅱ、平行四边形

一、平行四边形的定义

1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“ABCD”，

读作“平行四边形ABCD”.

2.平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相

邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.

二、平行四边形的性质

1.平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.

2.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.

3．平行四边形边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

4．平行四边形角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

5．平行四边形对角线性质：平行四边形的对角线互相平分.

6.平行四边形常见的结论：

（1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形；

（2）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；

（3）平行四边形被对角线分成的四个小三角形的面积相等，都等于平行四边形面积的.

三、平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

PS：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；

（2）满足两组邻边分别相等或两组邻角分别相等不能判定四边形是平行四边形.

Ⅲ、矩形、菱形、正方形

一、矩形

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

矩形一定是平行四边形，但是平行四边形不一定是矩形.

2.矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等.

（1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；

（2）矩形是中心对称图形，过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分；

（3）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即

对称中心）；

（4）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题.

3.矩形的判定定理

（1）三个角是直角的四边形是矩形；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形.

4.判定矩形的思路：

有三个角是直角矩形

四边形对角线相等矩形

平行四边形

有一个角是直角矩形

二、菱形

1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

一组邻边相等的四边形不一定是菱形.

2.菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.

（1）菱形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；

（2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，菱形的边长的平方等于两

条对角线一半的平方和.

（3）菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半.

3.菱形的判定定理：

（1）四边相等的四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

四条边相等菱形

四边形对角线互相垂直矩形

平行四边形

一组邻边相等矩形

三、正方形

1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

2.正方形的性质：正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有矩形、菱形的一切性质.

（1）正方形是有一组邻边相等的矩形；

（2）正方形是有一个角是直角的菱形.

3.正方形的判定定理：

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（2）有一个角是直角的菱形是正方形；

（3）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

4.几个特殊的四边形间的关系：

Ⅳ、三角形的中位线

一、三角形的中位线的概念及定理

1.概念：连接三角形两边中点的线段叫作三角形中位线.

如图所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE是△ABC的一条中位线.

PS：三角形的中位线是一条线段，不是直线或射线.

2.三角形的中位线与三角形的中线是不一样的，三角形中位线是两条边中点的连线，而三角形中线是顶

点与对边中点的连线.

3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长

的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.

二、中点四边形

1.中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形.

2.常见的中点四边形

（1）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；

（2）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；

（3）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；

（4）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；

（5）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

3.中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置关系和数量关系.

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形；

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形；

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

1．（2023•兰州）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF

长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（）

A．2B．2.5C．3D．3.5

【分析】先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得BF＝EF＝CF＝5，然后在Rt△ABG中利用勾

股定理即可求出AG的长．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ABC＝∠BAD＝90°，

在Rt△BCE中，点F为斜边CE的中点，

∴，

∴BG＝BF＝5，

在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5，

由勾股定理得：．

故选：C．

【点评】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，圆的概念，勾股定理等，解答此题的关键是

理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；同圆的半径相等．

2．（2023•绵阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于

点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（）

A．B．C．D．

【分析】由正方形ABCD的边长为4及BG＝3CG，可求出BG的长，进而求出AG的长，证△ADE∽△

GAB，利用相似三角形对应边成比例可求得AE、DE的长，证△ABF≌△DAE，

得AF＝DE，根据线段的和差求得EF的长即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，

∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AGB，

∵BG＝3CG，

∴BG＝3，

∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，

∴AG，

∵DE⊥AG，

∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，

∴△ADE∽△GAB，

∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB，

∴4：5＝AE：3＝DE：4，

∴AE，DE，

又∵BF∥DE，

∴∠AFB＝∠DEF＝90°，

又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等），

∴△ABF≌△DAE，

∴AF＝DE，

∴EF＝AF﹣AE，

∴tan∠EDF，

故选：A．

【点评】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，

正切的定义等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质求出线段的长是解答本题的关键．

3．（2023•呼和浩特）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若

AM＝1，BN＝2，则BD的长为（）

A．B．3C．D．

【分析】依据题意，连接BM，记BD与MN交于点O，先证△DMO≌△BNO，从而得DM＝BN＝2，再

由线段MN垂直平分BD从而BM＝DM＝2，又在Rt△BAM中可得AM的值，从而再在Rt△BAD中可求

得BD．

【解答】解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O．

∵线段MN垂直平分BD，

∴BO＝DO，BM＝DM．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

∴∠MDO＝∠NBO．

又∠DOM＝∠BON，

∴△DMO≌△BNO（ASA）．

∴DM＝BN＝BM＝2．

在Rt△BAM中，

∴AB．

∴在Rt△BAD中可得，BD2．

故选：A．

【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质，解题时要熟

练掌握并理解是关键．

4．（2023•台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF

⊥BE，垂足为点F，则BF的长为．

【分析】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全

等，得出FC＝AB＝4，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF

的长．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝90°，

∴∠AEB＝∠FBC，

∵CF⊥BE，

∴∠CFB＝90°，

∴∠CFB＝∠A，

在△ABE和△FCB中，

，

∴△ABE≌△FCB（AAS），

∴FC＝AB＝4，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝6，

在Rt△FCB中，由勾股定理得，

故答案为：．

【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，

四个角都是直角．

5．（2023•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边

AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的

长为．

【分析】过点P分别作PF⊥DC，PG⊥BC，PH⊥AB，由题意知PG＝PF，再说明PM与PH重合，PN

与PG重合，得出四边形MPNB为正方形，即可求出PC＝2．

【解答】解：如图，过点P分别作PF⊥DC，PG⊥BC，PH⊥AB，

∵DE＝CD＝3，∠D＝90°，

∴∠ECD＝45°，

∴∠ECB＝45°，

∴PG＝PF，

∵PM≥PH，PN≥PG，

∴PM+PN≥PH+PG＝4，

∵PM+PN＝4，

∴PM与PH重合，PN与PG重合，

∴四边形PHBG为正方形，

∴PH＝PG＝2，

∴PC＝2．

故答案为：2．

【点评】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键．

6．（2023•枣庄）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F

为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为．

【分析】在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，可知O是中点，∠BCD＝90°，F为DE

的中点，则CF＝EF＝DF，△CEF的周长为32，CE＝7，则CF+EF＝25，即DE＝25，根据勾股定理可

得CD＝24＝BC，从而求得BE，再根据中位线的性质即可解答．

【解答】解：在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，

∴∠BCD＝90°，O是中点，

∵F为DE的中点，

∴CF＝EF＝DF，

∵△CEF的周长为32，CE＝7，

∴CF+EF＝25，即DE＝25，

在Rt△CDE中，根据勾股定理可得CD＝24＝BC，

∴BE＝24﹣7＝17，

根据三角形的中位线可得OFBE．

故答案为：．

【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟悉性质是解题关键．

7．（2023•云南）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在

边BC、AD上，AE＝AF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于，求平行线AB与DC间的距离．

【分析】（1）根据平行四边形对角相等得到∠BAD＝∠BCD，再根据AE、CF分别是∠BAD、∠BCD

的平分线，可得到∠DAE＝∠BCF，再根据平行四边形对边平行得到∠DAE＝∠AEB，于是有∠BCF＝∠

AEB，得出AE∥FC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形AECF是平行四边形，

最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；

（2）连接AC，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证得AB＝EB，结合已知∠ABC＝60°得到△

ABE是等边三角形，从而求出AB＝AE＝EB＝EC＝4，∠BAE＝60°，再证得∠EAC＝30°，即可得到∠

BAC＝90°，根据勾股定理求出AC的长，从而得出平行线AB与DC间的距离．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，

∵AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，

∴，，

∴∠DAE＝∠BCF，

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∴∠BCF＝∠AEB，

∴AE∥FC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AE＝AF，

∴四边形AECF是菱形；

（2）解：连接AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝EB，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，

∵△ABE的面积等于，

∴，

∴AB＝4，

即AB＝AE＝EB＝4，

由（1）知四边形AECF是菱形，

∴AE＝CE＝4，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵∠AEB是△AEC的一个外角，

∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，

∴∠EAC＝∠ECA＝30°，

∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，

即AC⊥AB，

由勾股定理得，

即平行线AB与DC间的距离是．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形是此题的关键，理解平

行线间的距离的定义，等边三角形的性质与判定．

8．（2023•北京）如图，在ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．

（1）求证：四边形AECF▱是矩形；

（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB，求BC的长．

【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；

（2）由矩形的性质得∠AEC＝∠AEB＝90°，再证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝BE，然后由

锐角三角函数定义得EC＝2AE＝2，即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵BE＝DF，

∴AD﹣DF＝BC﹣BE，

即AF＝EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC＝EF，

∴平行四边形AECF是矩形；

（2）解：∵四边形AECF是矩形，

∴∠AEC＝∠AEB＝90°，

∵AE＝BE，AB＝2，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE＝BEAB，

∵tan∠ACB，

∴EC＝2AE＝2，

∴BC＝BE+EC23，

即BC的长为3．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及

锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．

1．（2023•武山县一模）若四边形的对角线互相垂直且相等，则它一定是（）

A．菱形B．正方形

C．等腰梯形D．以上说法均不正确

2．（2023•潮阳区一模）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交

BC于点F．已知DE，则CF的长为（）

A．B．2C．D．2

3．（2023•唐河县模拟）如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠

CEB＝（）

A．59°B．62°C．69°D．72°

4．（2023•合阳县二模）如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠BFC

＝°．

5．（2023•龙岩模拟）如图，在矩形ABCD中，，点E在线段BC上运动（不含B．C两

点），连接AE，以AE为一边在AE的右上方作等边三角形AEF，连接DF，则线段DF长度的最小值

为．

6．（2023•庐江县二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE

交BD于M点，AF交BD于N点．

（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是．

（2）若，则AM＝．

7．（2023•沈阳模拟）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，过点E作FG⊥AD，分别交AD、

BC于点F、G，∠CBD＝∠C▱EG．

（1）求证：ABCD是菱形；

（2）若CG＝▱3，FG＝8，则ABCD的面积为．

▱

8．（2024•滨湖区一模）如图，在菱形ABCD中，，M、N分别在边AD、BC上，将四边形AMNB

沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D．

（1）若DE＝DM时，求的值；

（2）若△DEM是直角三角形，求的值．

1．（2024•莱芜区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，

F为AB的中点，连接DF，EF，若∠EFD＝90°，则AE的长是（）

A．6B．8C．D．

2．（2024•广东模拟）如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在线段OD

上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则：

①EF＝EC；

②CF2＝CG•CA；

③CO•CG＝EH•EB；

④若DE＝1，则BF＝4．

正确的是（）

A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④

3．（2023•松阳县二模）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于点E，点F在CD上，连接BF分别交

DE，AC于点G，H．若BG＝GF＝DF，则sin∠FBC的值是（）

A．B．C．D．

4．（2024•青岛一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，连接AE，

BF，点G，H分别是AE，BF的中点，连接GH，则GH的长为．

5．（2024•灞桥区校级二模）如图，菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点E为AB的中点，点F为BC

上一点，连接EF，作∠GEF＝60°且△GEF面积为，则DG的最小值为．

6．（2024•秦都区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点

M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩

形ABCD的面积，且DF＝1，则GH的长为．

7．（2024•双流区模拟）如图，在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE，∠BEC＝∠ADC，

EF平分∠BEC交BC于点F，点G在线段BD上，且BG＝CG，延长CG交AB于点H，连接FG，EH．

（1）求证：CE＝BG；

（2）当BH＝DE时，试判断△BCH的形状，并说明理由；

（3）若，求∠BEH的正切值．

8．（2024•河北一模）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别在边AB，BC上，且CE⊥DF于点O．

（1）试猜想线段CE与DF的数量关系为；

（2）数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究：

①如图2，在正方形ABCD中，若点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH于点O，

求证：EG＝FH；

②如图3，将①中的条件“在正方形ABCD中”改为“在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a”，其他条

件不变，试推理线段EG与FH的数量关系；

③如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，AB＝BC＝CD＝6，点M为AB的三等分

点，连接CM，过点D作DN⊥CM，垂足为点O，直接写出线段DN的长．

1．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（）

A．24B．18C．12D．9

2．如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE．若∠ABC＝50°，

∠BAC＝8▱0°，则∠1的度数为（）

A．60°B．50°C．40°D．25°

3．如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点

上，则tan∠ACB的值为（）

A．B．C．D．

4．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点E是BC边上一点，ED⊥BC交AB于点D，DF⊥AC

于点F，则线段EF的最小值为．

5．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点，

若，则正方形ABCD的边长为．

6．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN

的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当时，四边形ACBD为矩

形．

7．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，点P从A出发在线段AD上以1个单位/秒向点D运动，

点Q同时从点C出发，以1个单位/秒的速度向点A运动，当点P到达点D时，点Q也随之停止运动．

（1）设△APQ的面积为S，点P的运行时间为t，求S与t的函数关系式；

（2）t取几时S的值最大，最大值是多少？

（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？

8．【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，DE、CF交于点G．

（1）易证△ADE≌△DCF，可知DE、CF的关系为；（直接填写结果）

（2）连接BG，若AB＝6，求BG的长．

【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，FG⊥DE分别交AD、BC于F、G，垂

足为O．求证：FG＝DE．

【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，

点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长．

1．（2023•武山县一模）若四边形的对角线互相垂直且相等，则它一定是（）

A．菱形B．正方形

C．等腰梯形D．以上说法均不正确

【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定可求．注意：这三种四边形的对角线都互相平分，这个条件不

能缺．

【解答】解：对角线互相垂直且相等平行四边形是正方形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互

相垂直的平行四边形是菱形；所以无法确定其形状．

故选：D．

【点评】本题考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．

2．（2023•潮阳区一模）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交

BC于点F．已知DE，则CF的长为（）

A．B．2C．D．2

【分析】过点E作EH⊥BC，交AD于G，证明△DGE是等腰直角三角形，由DE，可得DG＝EG

＝1．易证△AGE≌△EHF，则EG＝HF＝1，进而得出结论．

【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC交BC于点H，交AD于G，

在正方形ABCD中，AD∥BC，∠EBH＝∠ADB＝45°，

∴四边形AGHB和四边形DGHC是长方形，△DGE是等腰直角三角形，

∴AG＝BH＝EH，DG＝EG＝1，

∴CH＝DG＝1，

∵AG⊥GH，AE⊥EF，

∴∠AGE＝∠AEF＝∠FHE＝90°，

∴∠GAE+∠AEG＝∠FEH+∠AEG＝90°，

∴∠GAE＝∠FEH，

∴△AGE≌△EHF（ASA），

∴GE＝FH＝1；

∴CF＝CH+FH＝2．

故选：B．

【点评】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形等知识，解决问

题的关键是添加正确的辅助线，得出全等．

3．（2023•唐河县模拟）如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠

CEB＝（）

A．59°B．62°C．69°D．72°

【分析】根据菱形的性质得：AB＝AD，∠ABD＝∠CBE，根据等腰三角形的性质可得∠ABD＝31°，由

菱形的对角线平分线组对角可得∠CBE＝31°，最后由直角三角形的两个锐角互余可得结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBE，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵∠BAD＝118°，

∴∠ABD31°，

∴∠CBE＝31°，

∵CE⊥BC，

∴∠BCE＝90°，

∴∠CEB＝90°﹣31°＝59°．

故选：A．

【点评】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的对角线平分每一组对角．

4．（2023•合阳县二模）如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠BFC

＝54°．

【分析】先利用多边形的内角和公式求出正五边形中每一个角的度数，再根据垂直定义可得∠ABF＝

90°，从而可得∠CBF＝18°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．

【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠C＝∠ABC＝108°，

∵FB⊥AB，

∴∠ABF＝90°，

∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝18°，

∴∠BFC＝180°﹣∠C﹣∠CBF＝54°，

故答案为：54．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．

5．（2023•龙岩模拟）如图，在矩形ABCD中，，点E在线段BC上运动（不含B．C两

点），连接AE，以AE为一边在AE的右上方作等边三角形AEF，连接DF，则线段DF长度的最小值为

．

【分析】在AB的右侧作等边三角形ABG，连接GF，GF与AD交于点H，通过判定ABE≌AGF，即可

得到∠AGF＝∠ABE＝90°，进而得出当点E运动时，点F在过点G且与AG垂直的垂线GH上运动．当

DF⊥GF时，DF最短，此时∠AGH＝∠DFH＝90°；再根据△AGH∽△DFH，即可得到DF的长．

【解答】解：如图所示，在AB的右侧作等边三角形ABG，连接GF，GF与AD交于点H，

又∵△AEF是等边三角形，

∴AB＝AG，∠BAG＝∠EAF，AE＝AF，

∴∠BAE＝∠GAF，

∴△ABE≌AGF（SAS），

∴∠AGF＝∠ABE＝90°，

∴当点E运动时，点F在过点G且与AG垂直的垂线GH上运动，

∴当DF⊥GF时，DF最短，此时∠AGH＝∠DFH＝90°，

∴DF∥AG，

∴△AGH∽△DFH，

∴，

又∵Rt△AGH中，AG＝1，∠GAH＝30°，

∴AH，

∴DH，

∴，即DF，

∴线段DF长度的最小值为．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质的运用，在判定

两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，

寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；

或作辅助线构造相似三角形．

6．（2023•庐江县二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE

交BD于M点，AF交BD于N点．

（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是4．

（2）若，则AM＝．

【分析】（1）过A作GA⊥AE，交CD延长线于G，根据垂直定义可得∠GAE＝90°，根据正方形的性

质可得AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，从而可得∠ADG＝90°，再利用等式

的性质可得∠BAE＝∠DAG，从而利用ASA可证△ABE≌△ADG，进而可得BE＝DG，AG＝AE，然后根

据已知可得∠EAF＝∠GAF＝45°，从而利用SAS可证△EAF≌△GAF，进而可得EF＝GF，最后利用等

量代换可得△CEF的周长＝CD+BC＝4，即可解答；

（2）连接MF，根据正方形的性质可得∠BDC＝∠ADB＝45°，从而可得∠MAN＝∠NDF＝45°，再根

据对顶角相等可得∠ANM＝∠DNF，从而可得△AMN∽△DFN，然后利用相似三角形的性质可得

，再根据对顶角相等可得∠AND＝∠FNM，从而可得△ADN∽△MFN，最后利用相似三角形

的性质可得∠MFN＝∠ADN＝45°，从而利用三角形内角和定理可得∠AMF＝90°，进而可得△AMF为

等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答．

【解答】解：（1）过A作GA⊥AE，交CD延长线于G，

∴∠GAE＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠ADG＝180°﹣∠ADC＝90°，

∴∠ABC＝∠ADG＝90°，

∵∠BAD＝∠EAG＝90°，

∴∠BAD﹣∠DAE＝∠GAE﹣∠DAE，

∴∠BAE＝∠DAG，

∴△ABE≌△ADG（ASA），

∴BE＝DG，AG＝AE，

∵∠EAF＝45°，

∴∠GAF＝∠EAG﹣∠EAF＝45°，

∴∠EAF＝∠GAF＝45°，

∵AF＝AF，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝GF，

∴△CEF的周长＝EF+EC+CF

＝GF+EC+CF

＝DG+DF+EC+CF

＝BE+DF+FC+CE

＝CD+BC

＝2+2

＝4，

故答案为：4；

（2）连接MF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BDC＝∠ADB＝45°，

∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，

∴△AMN∽△DFN，

∴，

∵∠AND＝∠FNM，

∴△ADN∽△MFN，

∴∠MFN＝∠ADN＝45°，

∴∠AMF＝180°﹣∠MAN﹣∠MFN＝90°，

∴△AMF为等腰直角三角形，

∵AF，

∴AM，

故答案为：．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，根据题目的

已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

7．（2023•沈阳模拟）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，过点E作FG⊥AD，分别交AD、

BC于点F、G，∠CBD＝∠C▱EG．

（1）求证：ABCD是菱形；

▱

（2）若CG＝3，FG＝8，则ABCD的面积为．

▱

【分析】（1）由FG⊥AD和平行四边形知识得出FG⊥BC，再根据角的知识得出∠BEG+∠CEG＝90°，

即∠BEC＝90°，得出BD⊥AC，最终得出结论；

（2）先证△AEF≌△CEG得出EF＝EG＝4，再根据勾股定理得出CE＝5，BE2＝42+BG2，根据BE2+EG2

＝BC2列出式子，求出BG的长，进而求出BC，最后根据平行四边形面积公式即可求出．

【解答】（1）证明：∵FG⊥AD，

∴∠DFE＝∠AFE＝90°，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EGB＝∠DFE＝90°，

∴∠BEG+∠CBD＝90°，

∵∠CBD＝∠CEG，

∴∠BEG+∠CEG＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∴BD⊥AC，

∴ABCD是菱形．

（2▱）解：∵ABCD是菱形，

∴OA＝OC，▱

由（1）可知：∠EGB＝90°，∠AFE＝90°，

∴∠EGC＝∠AFE，

∵∠AEF＝∠CEG，

∴△AEF≌△CEG（AAS），

∴FE＝EG，

∵FG＝8，

∴FE＝EG＝4，

在Rt△CEG中：CG2+EG2＝CE2，

∵CG＝3，

∴CE＝5，

在Rt△BEG中：BE2＝EG2+BG2，

∴BE2＝42+BG2，

由（1）可知：∠BEC＝90°，

∴BE2+CE2＝BC2，

∴42+BG2+52＝（3+BG）2，

∴BG，

∴BC＝3，

∴．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了菱形的知识、平行四边形的知识、勾股定理的知识，有一定的难度．求边长BC

的长是解答（2）的关键．

8．（2024•滨湖区一模）如图，在菱形ABCD中，，M、N分别在边AD、BC上，将四边形AMNB

沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D．

（1）若DE＝DM时，求的值；

（2）若△DEM是直角三角形，求的值．

【分析】（1）过D作DG⊥EM于G，依据等腰三角形的性质以及折叠的性质，即可得到的值；

（2）若△DEM是直角三角形，需要分类讨论．分别依据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质，即

可得到的值．

【解答】解：（1）如图所示，过D作DG⊥EM于G，

∵DE＝DM，DG⊥EM，

∴G是EM的中点，

由折叠可得∠E＝∠A，EM＝AM，

∴tanE，

设DG＝4k，EG＝3k，则DE＝5k＝DM，EM＝6k＝AM，

∴；

（2）分三种情况：

①如图所示，当∠EMD＝90°时，延长AD，NF，交于点H，则∠H＝90°＝∠FNC，

由折叠可得∠E＝∠A，EM＝AM，

∴tanE，

设DM＝4k，EM＝3k，则DE＝5k，AM＝3k，AD＝3k+4k＝7k，

∴EF＝7k，DF＝2k，

∵∠EMD＝∠H，∠EDM＝∠FDH，

∴△DEM∽△DFH，

∴，即，

∴FHk，

又∵菱形ABCD的高NH＝AD×sinAk，

∴FNkkk，

∴BNk，CN＝BC﹣BN＝7kkk，

∴．

②如图所示，当∠MDE＝90°时，延长EF交BC于H，则∠FHN＝90°，

由折叠可得∠E＝∠A，EM＝AM，

∴tanE，

设DM＝4k，ED＝3k，则EM＝5k＝AM，

∴AD＝5k+4k＝9k，

∴EF＝9k，DF＝9k﹣3k＝6k，

又∵菱形ABCD的高DH＝CD×sinC＝9kk，

∴FHk﹣6kk，

∵∠EDM＝∠FHN，∠E＝∠HFN，

∴△DEM∽△HFN，

∴，即，

∴FN＝2k＝BN，

∴CN＝BC﹣BN＝9k﹣2k＝7k，

∴．

③当∠E＝90°时，不合题意．

综上所述，的值为或．

【点评】本题主要考查了折叠变换、等腰三角形的性质、菱形的性质以及相似三角形的性质的综合运用．解

决问题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质以及折叠的性质；解题的难点在于作辅助线构造相似三

角形，利用相似三角形的对应边成比例求得线段的长．

1．（2024•莱芜区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，

F为AB的中点，连接DF，EF，若∠EFD＝90°，则AE的长是（）

A．6B．8C．D．

【分析】延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+5，利用勾股定理构

建方程即可解决问题．

【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DQ∥BC，

∴∠Q＝∠BEF，

∵F为AB的中点，

∴AF＝FB，

∵∠AFQ＝∠BFE，

∴△QFA≌△EFB（AAS），

∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，

∵∠EFD＝90°，

∴DF⊥QE，

∴DQ＝DE＝AD+AQ＝x+5，

∵AE⊥BC，BC∥AD，

∴AE⊥AD，

∴∠AEB＝∠EAD＝90°，

∴AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，

∴（x+5）2﹣52＝（6）2﹣x2，

整理得：x2+5x﹣36＝0，

解得x＝4或﹣9（舍去），

∴BE＝4，

∴AE2，

故选：D．

【点评】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

2．（2024•广东模拟）如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在线段OD

上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则：

①EF＝EC；

②CF2＝CG•CA；

③CO•CG＝EH•EB；

④若DE＝1，则BF＝4．

正确的是（）

A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④

【分析】①由“SAS”可证△ADE≌△CDE，可得AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，由四边形的内角和定理可

证∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，可得AE＝EF＝EC；

②通过证明△FCG∽△ACF，可得CF2＝CG•CA；

③通过证明△BEC∽△CEH，可得BE•EH＝EC2，通过证明△GEC∽△EOC，可得EC2＝OC•CG，可得

BE•EH＝OC•CG；

④由矩形的性质和等腰三角形的性质可得AF＝2AM，由等腰直角三角形的性质可求BF＝4．

【解答】解：如图，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，

又∵DE＝DE，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，

∴∠EAF＝∠BCE，

∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE＝360°，

∴∠BCE+∠EFB＝180°，

又∵∠AFE+∠BFE＝180°，

∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，

∴AE＝EF，

∴EF＝EC，故①正确；

∵EF＝EC，∠FEC＝90°，

∴∠EFC＝∠ECF＝45°，

∴∠FAC＝∠EFC＝45°，

又∵∠ACF＝∠FCG，

∴△FCG∽△ACF，

∴，

∴CF2＝CG•CA，故②正确；

∵∠ECF＝∠DBC＝45°，∠BEC＝∠HEC，

∴△BEC∽△CEH，

∴，

∴BE•EH＝EC2，

∵∠CEO+∠ECO＝90°＝∠CEO+∠GEO，

∴∠GEO＝∠ECO，

又∵∠GEC＝∠EOC＝90°，

∴△GEC∽△EOC，

∴，

∴EC2＝OC•CG，

∴BE•EH＝OC•CG，故③正确；

过点E作EN⊥AD于N，EM⊥AB于M，

则四边形AMEN是矩形，

∴AM＝EN，

∵AE＝EF，EM⊥AB，

∴AF＝2AM，

∵DE＝1，∠ADB＝45°，EN⊥AD，

∴△DEN是等腰直角三角形，

∴NE＝DNAM，

∴AF＝2AM，

∴BF＝4，故④正确；

故选：D．

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

3．（2023•松阳县二模）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于点E，点F在CD上，连接BF分别交

DE，AC于点G，H．若BG＝GF＝DF，则sin∠FBC的值是（）

A．B．C．D．

【分析】连接BD交AC于点O，连接OG，令AC交BF于点H，根据三角形中位线定理、平行线的性

质、对顶角相等和余角的性质可得∠OHG＝∠CHF＝∠ACD＝∠COG，设OG＝x，DF＝2x，则OG＝GH

＝HF＝FC＝x，进而可得sin∠FBC的．

【解答】解：连接BD交AC于点O，连接OG，

∵BG＝GF＝DF，

∴∠FGD＝∠FDG，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB＝OD，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，

∴OG是△BDF的中位线，

∴OG∥DC，DF＝BG＝GF＝2OG，

∴∠ACD＝∠COG，

∵DE⊥AC，

∴∠FGD+∠OHG＝90°，∠ACD+∠FDG＝90°，

∴∠OHG＝∠ACD，

∵∠OHG＝∠CHF，

∴∠OHG＝∠CHF＝∠ACD＝∠COG，

∴OG＝GH，HF＝FC，

设OG＝GH＝x，

则DF＝GF＝2x，

∴HF＝FC＝GF﹣GH＝2x﹣x＝x，CD＝DF+CF＝3x，

∴OG＝GH＝HF＝FC＝x，

∴BF＝4x，

∴sin∠FBC．

故选：A．

【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，对顶

角相等和余角的性质等，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．

4．（2024•青岛一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，连接AE，

BF，点G，H分别是AE，BF的中点，连接GH，则GH的长为．

【分析】连接AH并延长交BC于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠C＝90°，AD∥BC，CD＝BC

＝AD＝4，根据全等三角形的性质得到PB＝AF＝2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结

论．

【解答】解：连接AH并延长交BC于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠C＝90°，AD∥BC，CD＝AD＝BC＝4，

∵E，F分别是边CD，AD的中点，

∴CE＝AF4＝2，

∵AD∥BC，

∴∠BPH＝∠FAH，

在△PBH和△AFH中，

，

∴△PBH≌△AFH（AAS），

∴PB＝AF＝2，

∴CP＝BC﹣PB＝2，

∴PE2，

∵点G，H分别是AE，BF的中点，

∴GHEP．

故答案为：．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等