四川绵阳中学2023级高考适应性考试（一）数学+答案

秘密⭐启用前绵阳中学2023级高考适应性考试（一）数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。2B2C2D3．若直线l的一个方向向量为(3,·3)，则它的倾斜角为()525．已知函数f(x的值域为R，则实数a的取值范围是().16．已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f,(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()ABCD8．已知关于x的不等式elnmx_x+2>x+2有且仅有3个整数解，则实数m的取值范围为()xe二．多选题（本题共3题，每题6分，共18分.全对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P，则()A．A，B是相互独立事件B．事件A，B互斥A．曲线C可能是圆，不可能是直线B．曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆C．当曲线C表示椭圆时，则α越大，椭圆越圆D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为211．已知定点A，B，C∈平面α,△ABC是边长为43的等边三角形，若动点P到平面α的距离是1，则下列说法正确的是()A．三棱锥A_BCP的体积为定值B．点C到平面PAB的距离的最大值是6C．当点Q（异于点P)到平面α的距离是1时，PQ//αD．若A，B，C，P在一个半径为5的球O的球面上，则P的轨迹长度是三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示则原平面图形的周长为．13．已知函数f(x)=ax2_lnx在区间[1，2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是．14．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若aco若I为ΔABC的内心，且则λ=．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15本小题满分13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，LBAC=120O，AD为LBAC的角平（2）设M为BC中点，连接AM，△ABC面积取得最小值时，求线段AM的长度．16本小题满分15分）已知f(x)=xsinx+acosx，x=π是函数g(x)=f,(x)的极小值点．（1）求实数a的值；（2）讨论函数f(x)在区间(_2π,2π)内的零点个数．17本小题满分15分）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占80%.(1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数；(2)根据样本数据完成下方2x2列联表，依据小概率值a=0.001的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关.认真完成作业不认真完成作业成绩优秀成绩不优秀2n(ad0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818本小题满分17分）点D，B在直线AC异侧．将△DAC绕直线AC向上旋转至△SAC，点F为BC的中点．（2）若SB=213，点G在三棱锥的表面上恒有BG丄AC，试求G的轨迹长度；（3）在△DAC绕直线AC旋转至SB=213的过程中，K为SB的中点，试求平面AKC与平面SEB所成角的余弦值的取值范围．19.（本小题满分17分）已知一簇双曲线En:x2-y2=n(n∈N*)当n=1时，双曲线E1右顶点为A1(x1，0)，现按照如下规则依次构造点An(n∈N*，n开2)：过点An-1作x轴的垂线交第一象限的渐近线于点Qn，再过点Qn作x轴的平行线与曲线En的右支交于点An，记点An坐标为(xn,yn)(n∈N*)．（1）求点A2的坐标；（2）双曲线En的左焦点为Fn，右焦点为Gn，记.=an，求的值；（3）设“n为射线OAn与x轴正半轴的夹角，已知θ>0，存在实数φ,使得对任意m∈N*，不等式cossin(n∈N*,n≥2)均成立，求θ的最小值．绵阳中学2023级高考适应性考试（一）数学答案一、单选题题号12345678答案ACABBADD二、多选题题号9答案ACBDABD三、填空题四、解答题15．解1）根据sinB=2sinC，由正弦定理得b=2c，因为LBAC=120O，LBAC的角平分线交BC于点D，所以LBAD=LCAD=60O，由SABC=SADB+SCDA，可得1bcsinLBAC=1c.ADsinLBAD+1b.ADsinLCAD（2）由SABC=SADB+SCDA，得bcsinLBACc.ADsinLBADb.ADsinLCAD，当且仅当b=c=4时等号成立，当bc取得最小值时，△ABC的面积取得最小值，此时△ABC为等腰三角形，M为BC中点，即AM既是中线也是角平分线，可得D、M重合，故AM=AD=2．16．解1）由已知得：g(x)=f,(x)=sinx+xcosx_asinx，所以g,(x)=2cosx_xsinx_acosx，（2）因为f(x)=xsinx+2cosx为偶函数，故只需研究x∈[0，2π)的情形，由（1）知g(x)=xcosx_sinx，g,(x)=_xsinx，g,(x)<0→x∈(0，π)，f,(x)单调递减；f,(x)单调递增，因为f,(0)=0，f,(π)=_π,f,(2π)=2π,π,2π)，使得f,(x1)=0；)时，f,(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x1，2π)时，f,(x)>0，f(x)单调递增；因为f(0)=2，f(π)<0，f(2π)>0，故存在x2∈(0,π)，x3∈(π,2π)，使得f由对称性可知，函数f(x)在区间(_2π,2π)内的零点个数为4．17．解1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为1，组距为10，因此：10x(0.005+0.005+0.010+0.020+0.020+a+0.010+0.005)=1，解得：u=0.025下四分位数即第25百分位数，计算累计频率[70,80)频率0.05，累计0.05；[80,90)频率0.05，累计0.1；0.25e(0.2,0.4)，因此第25百分位数在区间[100,110)内，计算得：下四分位数（2）零假设H,：认真完成作业与成绩无关认真完成作业不认真完成作业成绩优秀成绩不优秀,因为24>10.828=xao，依据小概率值a=0.001的独立性检验，零假设H,不成立，即认真完成作业与成绩有关，该判断出错概率不超过0.001，18．解1）证明：取AC的中点O，连接OB，EF，因为△ABC为等腰直角三角形，则E为OC的中点，又F为BC的中点，所以EF//OB，EF丄AC，又DE丄AC，则SE丄AC，使得，连接OM，BM，因为AOAE，则OM//SE，因为OMC/平面SEF，SEC平面SEF，所以OM//平面SEF，又EF//OB，EFC平面SEF，OBC/平面SEF，所以OB//平面SEF，因为OMOB，OM，OBC平面MOB，所以平面MOB//平面SEF，因此点G的轨迹为线段OB，OM，MB（不包括点B)组成，2丄BC，而OBAC=4,MOSE以O为原点，以OB，OC所在直线为x，y轴，以垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，-4，0)，C(0，4，0)，其中θ为平面DAC绕直线AC向上旋转至平面SAC的旋转角，所以=(-2,6,23)，则所以（3）由（2）及题意知，S(-4cosθ,2，4sinθ)，且平面DAC绕直线AC向上旋转至平面SAC时设平面AKC的一个法向量为=(x,y,z)，ttAKC与平面SEB所成角的余弦值的取值范围为．19.解当n=1时，双曲线E1:x2_y2=1的右顶点为A1(1,0)，过点A1作x轴的垂线，交渐近线y=x于点Q2，故Q2(1,1)，再过点Q2作x轴的平行线，与双曲线E2:x2_y2=2的右支交于点A2；故点A2的纵坐标为y2=1，代入双曲线方程，得x_1=2，所以x=3，（2）由构造知，过点An_1(xn_1，yn_1)作x轴的垂线，与渐近线y=x交于点Qn，所以Qn(xn_1，xn_1)，再过点Qn作x轴的平行线与双曲线En的右支交于点An，故yn=xn_1，又因为点An在双曲线En:x2_y2=n上，所以x_y=n，代入yn=xn_1，得x_x_1=n，于是x=x_1+n，=1，递推可得x+n所以xn所以左、右焦点分别为Fn(_