《第二十七章相似章末复习》课件

章末复习R·九年级下册状元成才路状元成才路复习目标（1）疏通本章知识，弄清知识脉络.（2）进一步熟悉相似三角形的判定及其性质，并能运用这些判定和性质解决一些相应的问题.（3）知道什么是位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，知道位似变换的点的坐标变化规律.复习重点重点：相似三角形的判定和性质、位似图形的性质.

相似三角形的判定和性质的应用.状元成才路状元成才路重点回顾回顾一相似多边形定义：性质：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应角相等,对应边的长度成比例．状元成才路状元成才路对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似.两角分别对应相等的两个三角形相似.两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似.三组对应边的比相等的两个三角形相似.对应角相等，对应边的比相等.对应高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比.周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.性质：定义：判定：回顾二相似三角形状元成才路状元成才路①在测量河宽、物高及零件的内径等方面都有重要的应用.②同一时刻的物体的高度和它的影长成正比例.回顾三相似三角形的应用状元成才路状元成才路①定义及性质.②作图：确定位似中心，找关键点，作关键点的对应点，连线.③平面直角坐标系中的位似变换及点的坐标变化规律.回顾四位似状元成才路状元成才路1.如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论错误的是（

）CA.B.C.D.巩固训练状元成才路状元成才路2.如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有() A.1个 B.2个 C.3个D.4个B状元成才路状元成才路3.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④C状元成才路状元成才路4.如图,小李打网球时,球恰好打过网,且落在离网4m的位置上,则球拍击球的高度h为()A.0.6m B.1.2m C.1.3m D.1.4mD状元成才路状元成才路5.在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为(2，3)，若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比等于2∶1，则点A′的坐标为

.状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路6.如图，AC⊥BC,∠ADC=90°，∠1=∠B,若AC=5，AB=6，求AD的长.解：∵AC⊥BC,∴∠ADC=∠ACB=90°,又∵∠1=∠B,∴△ADC∽△ACB.∴,即,解得AD=.7.如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，求证：AD·AE=AB·AC.证：∵AE是直径,AD⊥BC,∴∠ABE=∠ADC=90°,又∵∠E=∠C,∴△ADC∽△ABE.∴,即AD·AE=AB·AC.状元成才路状元成才路课堂小结状元成才路状元成才路1.如图，四边形EFGH相似于四边形KLMN，求∠E，∠G，∠N的度数以及x，y，z的值.教材习题27复习巩固状元成才路状元成才路解：∠E=∠K=67°，∠G=∠M=107°，∠L=∠H=143°，∠N=360°-（67°+107°+143°）=43°.∵∴x=14,y=15,z=25.状元成才路状元成才路2.△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，求△DEF的其他两条边长和周长.解：∵，∴12×3=36,13×3=39,15+36+39=90.即其他两边的长为36和39.周长为90.状元成才路状元成才路3.根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值.状元成才路状元成才路解：相似.图（1）由勾股定理求得x=4,y=10,∴且∠1=∠2，∴△FGH∽△JIH.图(2)中，∵∠KHG+∠KHJ=90°,∠KHG+∠GHF=90°,∴∠KHJ=∠GHF.又，∴△KJH∽△GFH，∴∠K＝x°=∠G=124°，∴x＝124，y=33.状元成才路状元成才路4.李华要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付180元的广告费.如果他要把版面的边长扩大为原来的3倍，要付多少广告费（假设每平方厘米版面的广告费相同）？解：扩大版面后的长方形与原版面相似，相似比为3∶1，面积的比为，付广告费180×9=1620（元）.状元成才路状元成才路5.将如图所示的图形缩小，使得缩小前后对应线段的比为2∶1.状元成才路状元成才路6.某同学的座位到黑板的距离是6m，老师在黑板上要写多大的字，才能使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm的教科书上的字的感觉相同（教科书上的小四号字大小约为0.42cm×0.42cm）?解：设黑板上的字的大小为xcm×xcm，则，x=8.4.∴黑板上的字应为8.4cm×8.4cm大.综合运用状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路7.如图，已知零件的外径为a，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC=OB∶OD=n，且量得CD=b，求AB以及零件厚度x.解：∵OA∶OC=OB∶OD且∠AOB=∠COD；∴△AOB∽△COD,∴AB∶CD=OA∶OC=OB∶OD=n.∴AB=n·CD=nb.厚度x=8.如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证PC2=PA·PB.证明：连接AC、BC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又CD⊥AB，∴∠APC=∠CPB=90°，∵∠PAC+∠ACP=90°,∠ACP+∠BCP=90°,∴∠PAC=∠BCP.∴△APC∽△CPB.∴.即PC2=PA·PB.状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路9.如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED.你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？解：∵∠ADC=∠BEC=90°，∠C=∠C，∴△BEC∽△ADC.（答案不唯一）状元成才路状元成才路10.如图，△ABC的三条边与△A′B′C′的三条边满足A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，且OB=3OB′.△ABC的面积与△A′B′C′的面积之间有什么关系？解：由题可知△ABC与△A′B′C′位似，所以对应边及其对应高的比例均为3∶1，所以面积比为9∶1.11.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？拓广探索状元成才路状元成才路解：设正方形零件边长为xmm，AD与EF交于K，∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC，∴

，

即解得x=48.因此这个正方形零件的边长是48mm.状元成才路状元成才路12.如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是3丈，D，F两处相隔1000步（1丈=10尺，1步=6尺），并且AB，CD和EF在同一平面内.从标杆CD后退123步的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退127步的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少步？（提示：连接EC并延长交AB于点K，用AK与常数的积表示KC和KE.）状元成才路状元成才路解：连接EC并延长交AB于点K，∵KC∥BG,∴△AKC∽△ABG.∴KE∥BH,∴△AKE∽△ABH.∵KE-KC=DF,∴

,解得AK=7500（尺）.∴AB=7500+30=7530（尺）=1255(步).∵∴BD=KE-DF=190500-6000=184500（尺）=30750(步).因此山峰的高度AB为1255步，BD的长为30750步.状元成才路状元成才路1.平行线分线段成比例【例1】如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,连接CD,则CD=(

)A.3 B.4 C.4.8 D.5分析先根据已知数据判断△ABC的形状,再通过探索DE与BC的位置关系及AD与BD的数量关系,确定CD即为△ABC的中线,最后利用三角形中线的性质计算CD的长即可.解析:∵62+82=102,即BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.∵DE是AC的垂直平分线,∴DE⊥AC,AE=CE,∴DE∥BC,∴AD∶BD=AE∶CE=1,∴AD=BD,∴CD是Rt△ABC斜边上的中线,∴CD=×10=5,故选D.答案:D点拨若已知条件中有平行线,求两条线段的比,常常考虑应用平行线分线段成比例的性质求解.应用该性质时,要看清平行线组,找准对应线段.答案解析解析关闭答案解析关闭2.三角形相似的判定方法【例2】如图,BC⊥AF,FD⊥AB,垂足分别为C,D,则图中共有

对相似三角形.

解析:观察题图,我们可以发现,图中有4个直角三角形,它们是Rt△ABC,Rt△ADF,Rt△EDB,Rt△CFE.这四个直角三角形每两个之间都相似,所以一共有6对三角形相似,分别是:△ABC∽△EBD,△ABC∽△AFD,△ABC∽△EFC,△AFD∽△EBD,△AFD∽△EFC,△EBD∽△EFC.答案:6点拨在复杂图形中辨认相似三角形时,要着重抓住图形的特征,如本题先找相等的角,再判定.跟踪演练2.如图,在下列每个图形中,是否存在相似三角形?如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.解:题图①中,△ADE∽△ABC,根据∠A=∠A,∠ADE=∠ABC=50°即得.题图②中,△ADE∽△ACB,根据∠A=∠A,∠AED=∠ABC=70°即得.题图③中,△CDE∽△CAB,根据∠C=∠C,∠CDE=∠CAB=90°即得.3.相似三角形的性质【例3】如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则S1∶S2∶S3=

.

解析:∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC.又AD=DF=FB,∴AD∶AF∶AB=1∶2∶3.答案:1∶3∶5

答案解析解析关闭答案解析关闭4.相似三角形的实际应用【例4】如图,有一批形状大小相同的不锈钢片,呈直角三角形.已知∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,试设计一种方案,用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片,并求出这种正方形不锈钢片的边长.分析要在三角形内裁出面积最大的正方形,那么这个正方形所有顶点应落在△ABC的边上,先画出不同方案,再把每种方案中的正方形边长求出.解:如图①,设正方形EFGH的