2024-2025学年北京理工大学附中八年级(下)期中数学试题及答案

数学2024-2025学年北京理工大学附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1.(3分)下列二次根式中是最简二次根式的是（）A.12B.4C.2D.212.(3分)分别以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（）A.a:b:c=2:3:4B.a=5，b=3C.a=8，b=15，c=17D.a=b=5，c=53.(3分)下列计算中，正确的是（）A.5B.2+C.3D.154.(3分)如图所示，校园内有一块等边三角形的空地ABC，已知M，N分别是边AB，AC的中点，量得MN=4米，若想把四边形BCNM用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是（）A.12米B.16米C.20米D.24米5.(3分)如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC=35∘，∠ACB=85A.85B.100C.110D.1206.(3分)如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，若BE=4，AB=6，则▱ABCD的周长是（）A.28B.30C.32D.347.(3分)下列情景中，可以表示y是x的函数的是（）①某天的气温y(∘C)②正方形的面积y(cm2)③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系.A.①②B.①③C.②③D.①②③8.(3分)如图，已知等腰直角△ABF，∠BAF=90∘，AB=AF.射线AE在∠BAF内部(0∘<∠BAE<90∘)，BC⊥AE，FD⊥AE①a2②a+b⩽c；③2(a+b)>c④|a−b|<cA.①②③B.②③④C.②④D.③④二、填空题（每题2分，共16分）9.(2分)函数y=x−2中，自变量x的取值范围是10.(2分)在直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，AB=5，BC=4，则AC=11.(2分)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于点D，点E为边CB中点，若∠A=52∘，则∠EDB=12.(2分)《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为.13.(2分)在菱形ABCD中，∠ABC=120∘，AB=5，菱形ABCD的面积是14.(2分)植物的光合作用受多种因素的影响，王同学在研究某绿色植物光合作用的氧气释放速度v(单位：毫克/小时）与光照强度L(单位：千勒克斯)之间的关系时，设计了如图1的实验装置.根据实验结果，绘制了16∘C和26∘C时氧气释放速度v与光照强度L之间的关系图象（如图①光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越慢.②当0<L<6时，16∘C环境下的该绿色植物氧气释放速度比③当L=4时，26∘C环境下的该绿色植物比16∘C环境下④当L=6时，16∘C与15.(2分)如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=2，则四边形AEPH的面积是16.(2分)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、DC上的动点，且BM=CN，连接BN，DM，则BN+DM的最小值为.三、解答题（第17题8分，第18题4分，第20、22题每题5分，第19、21、23、24题每题6分，第25、26题每题7分，共60分）17.(8分)计算：(1)27+|1−(2)(3218.(4分)已知x=2+1，求代数式19.(6分)已知：如图1，线段AB，尺规作图找到线段AB的中点M.小明同学设计了如下作法.作法：①在线段AB的下方任取点C，连接AC、BC，分别以点A、B为圆心，BC、AC长为半径画弧，两弧相交于点D(点C与点D位于AB两侧）；②连接CD，则AB与CD的交点M即为所求.(1)根据题意，在图2中补全图形（尺规作图，保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明.证明：连接AD，BD.∵AC=BD，AD=BC，∴四边形ACBD为平行四边形.(______)(填推理的依据)∴M是AB的中点.(______)(填推理的依据)20.(5分)已知，如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F，求证：BF=DE.21.(6分)如图，四边形ABCD中，∠ABC=90∘，AB=BC=2，AD=2(1)求∠BAD的度数；(2)直接写出四边形ABCD的面积为______.22.(5分)如图，△ABC中，点D，E，F分别是△ABC各边中点，连接BD、DF、DE、CF，BD=CD.(1)求证：四边形BEDF是矩形；(2)若BD=4，∠A=60∘，求23.(6分)小明家汽车油箱可容纳45L的汽油，如果不再加油，那么油箱中的剩余油量y(单位：L)随行驶路程x(单位km)的增加而减少.为了计算自家汽车的耗油量（平均每千米消耗的油量)。小明记录了这辆车在不同行驶路程时所对应的剩余油量.行驶路程x/km0100200300400500剩余油量y45372921135假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的，尝试根据上述背景信息解决下列问题：(1)在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，并画出函数图象；(2)该车的耗油量为______Lkm，写出一个符合条件的油箱中的剩余油量y关于行驶路程x的函数解析式______，其中自变量x的取值范围是______；(3)已知该汽车在油箱中剩余油量低于3L时，将自动报警.周末，小明的父母把车加满了油，带着小明去往260km外的姥姥家探望老人，如果往返途中不加油，请判断：他们能否在汽车报警前回到家?______.(填“能”或“不能”)24.(6分)小君想到了一种证明等式x·证明过程如下：设x=m，y=n(m⩾0，n⩾0)，则x=m等号左边=mn，等号右边=m∵m⩾0，n⩾0，∴mn⩾0，∴等号右边=mn，∴等号左边=等号右边，∴等式x·(1)小艳利用同样的方法求出方程25−x2+17−x2=4的解.她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解.请你帮助小艳完成她的求解过程.解：设将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下：(2)请直接写出方程x+6−25.(7分)如图，菱形ABCD中，∠ABC=60∘，点E为边AB上一点（不与点A、B重合)，连接CE，点F在线段CE上满足∠BFE=60∘(1)求证：∠CBF=∠ACE；(2)连接DF，点N是线段DF中点，连接CN.依题意补全图形，用等式表示线段BF、CF、CN之间的数量关系，并证明.26.(7分)在平面直角坐标系xOy中，定义：对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N(M，N可以重合）使得PM=2QN，那么称点P为点Q关于图形W的“双倍对称点”.已知点A(−2a,a)，B(2a,a)，C(2a,−a)(1)若a=1.①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最大值是______；②在P1(0,2)，P2(5,0)，P3③若点P(b,−5)，Q(1,3)，点P为点Q关于四边形ABCD的“双倍对称点”，求(2)已知Q点为原点，点E(−2a,ka)，F(2a,ka).若线段EF上存在点P，点P为点Q关于四边形ABCD的“双倍对称点”，则2024-2025学年北京理工大学附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1、【答案】D【知识点】最简二次根式2、【答案】C【知识点】勾股定理的逆定理3、【答案】C【知识点】二次根式的混合运算4、【答案】C【知识点】三角形中位线定理5、【答案】D【知识点】平行四边形的性质6、【答案】C【知识点】平行四边形的性质7、【答案】A【知识点】函数的概念8、【答案】B【知识点】勾股定理的逆定理二、填空题（每题2分，共16分）9、【答案】x⩾2【知识点】函数自变量的取值范围10、【答案】3【知识点】勾股定理11、【答案】38【知识点】直角三角形斜边上的中线12、【答案】x【知识点】勾股定理的应用13、【答案】25【知识点】菱形的性质14、【答案】②④【知识点】频数（率）分布直方图15、【答案】8【知识点】三角形的面积,平行四边形的性质16、【答案】2【知识点】全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质,轴对称-最短路线问题三、解答题（第17题8分，第18题4分，第20、22题每题5分，第19、21、23、24题每题6分，第25、26题每题7分，共60分）17、【解答】解：(1)27=3=−1；(2)(3=3=6−6【知识点】二次根式的混合运算18、【解答】解：∵x=2∴===(=2−4=−2.【知识点】二次根式的化简求值19、【解答】(1)解：如图2所示.(2)证明：连接AD，BD.∵AC=BD，AD=BC，∴四边形ACBD为平行四边形.(两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∴M是AB的中点.(平行四边形的对角线互相平分）故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分.【知识点】线段垂直平分线的性质,作图—复杂作图20、【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ADC=∠ABC，又∵∠CDF=12∠ADC∴∠CDF=∠ABE.∵∠CDF=∠AFD，∴∠AFD=∠ABE，∴DF∥BE,∵CD∥AB，∴四边形DFBE是平行四边形，∴BF=DE.【知识点】平行四边形的性质21、【解答】解：(1)∵∠ABC=90∘∴∠BAC=45∘，∵AD=2，CD=10，（∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45(2)===4.故答案为：4.【知识点】平方根,勾股定理22、【解答】(1)证明：∵点D，E，F分别是△ABC各边中点，∴DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∵BD=CD，点E是BC的中点，∴DE⊥BC，∴∠BED=90∴四边形BEDF是矩形；(2)解：由(1)得：四边形BEDF是矩形，∴∠ABC=90∵点D是AC的中点，∴BD=1∴AC=2BD=8，∵∠A=60∴∠ACB=30∴AB=1在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=A∵点F是AB的中点，∴BF=1在Rt△CBF中，由勾股定理得：CF=B【知识点】平方根,三角形中位线定理,矩形的判定与性质23、【解答】解：（1）描点并连线如图所示：(2)该车的耗油量为(45−5)÷500=0.08(L/km)y关于行驶路程x的函数解析式为y=45−0.08x=−0.08x+45，当−0.08x+45=0时，解得x=562.5，∴自变量x的取值范围是0⩽x⩽562.5.故答案为：0.08，y=−0.08x+45，0⩽x⩽562.5.(3)45−260×2×0.08=3.4(L)3.4>3，∴他们能在汽车报警前回到家.故答案为：能.【知识点】一次函数的应用-其他问题24、【解答】解：(1)由题意，∵25−x2∴m+n=4，m2∵m∴m−n=2.∴m=3，n=1.∴25−x2=9故答案为：9；1.(2)由题意，∵x+6∴x+6+3x+2−2(x+6)(3x+2)∴(x+6)(3x+2)∴3x∴10x=−5.∴x=−0.5.经检验：x=−0.5是原方程的解.故答案为：x=−0.5.【知识点】最简二次根式25、【解答】(1)证明：如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠ACB=∠ACD=60∴∠ACE+∠BCF=60∵∠BFE=60∘，且∠BFE是∴∠CBF+∠BCF=∠BFE=60∴∠CBF=∠ACE；(2)依题意补全图形，如图2所示：线段BF、CF、CN之间的数量关系是：BF+CF=2CN，理由如下：延长CN到M，使MN=CN，连接MD，MA，并在AM的延长线上取一点H，使HM=DM，连接DH，如图3所示：∴CM=2CN，∵点N是线段DF中点，∴DN=FN，在△MND和△CNF中，&MN=CN∴△MND≌△CNF(SAS)∴DM=CF，∠DMN=∠CFN，∴DM∥CF，∴∠MDC+∠DCF=180∵∠MDC=∠1+∠ADC=∠1+60∘，∴∠1+60∴∠1+∠ACE=60又∵∠ACE+∠2=∠ACB=60∴∠1=∠2，在△ADM和△ACF中，&DM=CF∴△ADM≌△ACF(SAS)∴∠AMD=∠BFC，AM=BF，∵∠BFC=180∴∠AMD=∠BFC=120∴∠DMH=180又∵HM=DM，∴△MDH是等边三角形，∴∠HDM=60∘，∴∠ADC=∠HDM=60∘∴∠ADC+∠1=∠HDM+∠1，∴∠MDC=∠HDA，在△MDC和△HDA中，&DM=DH∴△MDC≌△HDA(SAS)∴CM=AH，∴CM=BF+CF，∴BF+CF=CM=2CN.【知识点】平方根,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,四边形综合题26、【解答】解：(1)各点坐标如图所示：①根据题意OA=OB=1从图中可知，1⩽d⩽5故答案为：5.②由①可知，1⩽d⩽5，则2⩽2d⩽2设点P1、P2、P3到线段AB上任一点的距离分别为d1、∵PP2B=1P3A=(5−2从图中可知，1⩽d1⩽5