全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题80第66讲离散型随机变量的分布列、数字特征

第66讲离散型随机变量的分布列、数字特征【备选理由】例1考查离散型随机变量的均值与方差;例2考查离散型随机变量的分布列及数学期望;例3考查决策问题.例1[配例2使用][2025·山东济南模拟]设x1<x2<x3<x4<x5,随机变量X1取x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量X2取x1+2x23,x2+2x33,x3A.E(X1)>E(X2) B.E(X1)<E(X2)C.D(X1)>D(X2) D.D(X1)<D(X2)[解析]E(X1)=0.2×x1+0.2×x2+0.2×x3+0.2×x4+0.2×x5=15∑i=15xi,E(X2)=0.2×x1+2x23+0.2×x2+2x33+0.2×x3+2x43+0.2×x4+2x53+0.2×x5+2x13=15×3(x1+x2+x3+x4+x5)3=15∑i=15xi,故E(X1)=E(X2),故A,B错误;设E(X1)=E(X2)=m,则D(X1)=0.2×∑i=15(xi同理可得D(X2)=15x1+2x232+x2+2x332+x3+2x432+x4+2x532+x5+2x132-5m2=155x12+5x22+5x32+5x42+5x52+4x1x2+4x2x3+4x3x4+4x4x5+4x5x19-5m2,由x1<x2,得(x1-x2)2=x12+x22-2x1x例2[配例1、例3使用][2024·北京人大附中月考]某口罩加工厂加工口罩由A,B,C三道工序组成,每道工序之间相互独立,且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别,A,B,C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级:A,B,C工序加工质量层次均为高时,口罩过滤等级为100级(表示最低过滤效率为99.97%);C工序的加工质量层次为高,A,B工序至少有一个质量层次为低时,口罩过滤等级为99级(表示最低过滤效率为99%);其余均为95级(表示最低过滤效率为95%).现从A,B,C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测,其中A工序加工质量层次为高的个数为50,B工序加工质量层次为高的个数为75,C工序加工质量层次为高的个数为80,用频率估计概率.加工一个口罩的利润如下表.口罩等级100级99级95级利润/元210.5(1)用样本估计总体,估计该厂生产的口罩过滤等级为100级的概率.(2)用X表示一个口罩的利润,求X的分布列和数学期望.(3)由于工厂中A工序的加工质量层次为高的概率较低,工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中,每个口罩检测成本增加了0.2元,相应的A工序的加工质量层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问:若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高,求b的取值范围.解:(1)设A,B,C三道工序的加工质量层次为高的概率分别为p1,p2,p3,用频率估计概率可得p1=50100=0.5,p2=75100=0.75,p3=80100记“该厂生产的口罩过滤等级为100级”为事件M,所以P(M)=0.5×0.75×0.8=0.3.(2)由题意可知,X的所有可能取值为2,1,0.5,则P(X=2)=P(M)=0.3,P(X=1)=p3(1-p1p2)=0.5,P(X=0.5)=1-P(X=2)-P(X=1)=0.2,所以X的分布列为X210.5P0.30.50.2E(X)=2×0.3+1×0.5+0.5×0.2=1.2.(3)由题意可知,工厂升级方案后A工序的加工质量层次为高的概率为0.5+b,b∈0,设工厂升级方案后一个口罩的利润为Y,由题意可知,Y的所有可能取值为1.8,0.8,0.3,则P(Y=1.8)=(0.5+b)×0.75×0.8=0.6b+0.3,P(Y=0.8)=0.8[1-(0.5+b)×0.75]=0.5-0.6b,P(Y=0.3)=1-P(Y=1.8)-P(Y=0.8)=0.2,所以E(Y)=1.8×(0.6b+0.3)+0.8×(0.5-0.6b)+0.3×0.2=0.6b+1,令E(Y)>E(X),即0.6b+1>1.2,得13<b≤12,故b的取值范围为例3[配例4使用]为更好地发挥高考的育才作用,部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型.教育部考试中心通过科学测量分析,指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面,有利于提高试卷的区分度,也有利于提高学生的得分率.多选题评分规则如下:对于多选题,每个小题给出的四个选项中,有两项或三项是正确的,满分6分.全部选对得6分,有错选或全不选得0分,正确答案为两项时,选对1个得3分;正确答案为三项时,选对1个得2分,选对2个得4分.多选题正确答案是两项的概率为p,正确答案是三项的概率为1-p(其中0<p<1).(1)在一次模拟考试中,学生甲对某个多选题完全不会,决定随机选择一个选项,若p=12,求学生甲该题得2分的概率(2)针对某道多选题,学生甲完全不会,此时他有三种答题方案.Ⅰ:随机选一个选项;Ⅱ:随机选两个选项;Ⅲ:随机选三个选项.(i)若p=13,且学生甲选择方案Ⅰ,求本题得分的数学期望(ii)以本题得分的数学期望为决策依据,p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好?解:(1)记事件A=“该多选题的正确答案是两项”,事件B=“学生甲该题得2分”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=12×0+12×C3即学生甲该题得2分的概率为38(2)(i)设从四个选项中随机选择一个选项的得分为M,则M的可能取值为0,2,3,P(M=0)=13×2C41+23×1C41=13,P(MP(M=3)=13×C21C4所以M的分布列为M023P111则数学期望E(M)=0×13+2×12+3×16(ii)设从四个选项中随机选择一个选项的得分为X,则X的可能取值为0,2,3,P(X=0)=p×2C41+(1-p)×1P(X=2)=p×0+(1-p)×C31C41P(X=3)=p×C21C41+(1-所以E(X)=0×1+p4+2×34(1-p)+3×12设从四个选项中随机选择两个选项的得分为Y,则Y的可能取值为0,4,6,P(Y=0)=p×C42-1C42+(1-p)×P(Y=4)=p×0+(1-p)×C42-C3P(Y=6)=p×1C42+(1-p)×0=所以E(Y)=0×13p+12+4×1