离散数学-教案 第4章4.1-4.2 二元关系及其表示

课堂教学设计11章节（专题）第4章二元关系和函数计划学时2课题（内容）4.1二元关系及其表示教育教学目的1.理解有序对的相关概念2.掌握笛卡尔积的概念与性质3.掌握二元关系的定义与表示4.掌握二元关系的运算5.思政目标：在讲解笛卡尔积时，强调其定义的严谨性和科学性，要求学生严格按照数学规则进行运算。通过实例展示，如笛卡尔积在数据库设计中的应用，培养学生的科学态度和严谨的工作作风。鼓励学生在学习笛卡尔积和二元关系的基础上，探索其在不同领域的潜在应用，如在经济学、社会学等领域的应用。通过开放性问题和创新性任务，激发学生的创新思维。教学重点及难点1.重点：笛卡尔积的性质与二元关系的表示和运算2.难点：二元关系教学方法及手段1.讲授法2.互动式教学3.多媒体辅助教学教学互动环节设计1.交叉学科的联系导入新课（结合数据库知识，谈谈对关系的认识）2.启发式提问引发课堂讨论（对二元关系的理解）课后总结与反思第4章二元关系和函数4.1集合的笛卡尔积与二元关系有序对的定义有序对:由两个客体x和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作<x,y>。实例：点的直角坐标(3,4)。有序对性质：（1）有序性<x,y>≠<y,x>（当x≠y时）（2）<x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是<x,y>=<u,v>⟺x=u⋀y=v例1<2,x+5>=<3y-4,y>，求x,y.根据有序对的性质解得：3y-4=2x+5=yy=2,x=-3有序n元组有序n元组：一个有序n(n≥3)元组<x1,x2,…,xn>是一个有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，即<x1,x2,…,xn>=<<x1,x2,…,xn-1>,xn>当n=1时,<x>形式上可以看成有序1元组.笛卡尔积笛卡尔积：设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A×B，即A×B={<x,y>|x∈AΛy∈B}例2例2设，求。解因，则笛卡儿积的性质：（1）不适合交换律AB≠BA(A≠B,A≠,B≠)（2）不适合结合律(AB)C≠A(BC)(A≠,B≠)（3）对于并或交运算满足分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC)(B∪C)A=(BA)∪(CA)A(B∩C)=(AB)∩(AC)(B∩C)A=(BA)∩(CA)（4）若A或B中有一个为空集，则AB就是空集.A=B=（5）若|A|=m,|B|=n,则|AB|=mn证明证明A(BC)=(AB)(AC)证任取<x,y><x,y>∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y∈C)(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)<x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C<x,y>∈(A×B)∪(A×C)所以有A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C).二元关系的定义二元关系：如果一个集合满足以下条件之一：（1）集合非空,且它的元素都是有序对（2）集合是空集则称该集合为一个二元关系,简称为关系，记作R.如<x,y>∈R,可记作xRy；如果<x,y>∉R,则记作xy实例：R={<1,2>,<a,b>},S={<1,2>,a,b}.R是二元关系,当a,b不是有序对时，S不是二元关系根据上面的记法，可以写1R2,aRb,ac等.从A到B的关系与A上的关系设A,B为集合,A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系,当A=B时则叫做A上的二元关系.例A={0,1},B={1,2,3},R1={<0,2>},R2=A×B,R3=,R4={<0,1>}.那么R1,R2,R3,R4是从A到B的二元关系,R3和R4同时也是A上的二元关系.计数|A|=n,|A×A|=n2,A×A的子集有个.A上有个不同的二元关系.特殊的关系设A为任意集合，是A上的关系，称为空关系EA,IA分别称为全域关系与恒等关系，定义如下：EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×AIA={<x,x>|x∈A}例如,A={1,2},则EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}IA={<1,1>,<2,2>}小于等于关系LA,整除关系DA,包含关系R定义：①LA={<x,y>|x,y∈A∧x≤y},AR，R为实数集合②DB={<x,y>|x,y∈B∧x整除y},即x是y因子BZ*,Z*为非0整数集③R={<x,y>|x,y∈A∧xy},A是集合族.练习：关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A={a1,a2,…,am}，B={b1,b2,…,bn}，R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR=[rij]m×n,其中rij=1⟺<ai,bj>∈R.关系图：若A={x1,x2,…,xm}，R是从A上的关系，R的关系图是GR=<A,R>,其中A为结点集，R为边集.如果<xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从xi到xj的有向边.注意：A,B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系实例A={1,2,3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},R的关系矩阵MR和关系图GR如下：练习：设A={0,1,2,3}，R是A上的关系，且R={<0,0>,<0,3>,<2,0>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}，给出R的关系矩阵和关系图。课堂教学设计12章节（专题）第4章二元关系和函数计划学时2课题（内容）4.2关系的运算教育教学目的1.掌握关系的基本运算及其性质2.掌握幂运算的求法3.思政目标：通过关系运算的学习，引导学生运用逻辑思维和抽象思维去理解和分析问题，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。结合关系运算在数据科学、计算机科学等领域的应用，引导学生认识到数学与社会发展的紧密联系，增强学生的社会责任感和职业道德意识。教学重点及难点1.重点：关系的运算及其性质、幂运算2.难点：幂运算的求法教学方法及手段1.讲授法2.互动式教学3.多媒体辅助教学教学互动环节设计1.课程回顾导入新课（对二元关系的回顾）2.启发式提问引发课堂讨论（幂运算与幂集的区别）3.小组讨论（实际问题中的关系运算）4.实时练习，运用学习通实时答题，分析结果给出反馈课后总结与反思4.2集合的基本运算关系的基本运算定义domR={x|domR={x|y(<x,y>R)}ranR={y|x(<x,y>R)}fldR=domRranR例1例1R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>},则domR={1,2,4}ranR={2,3,4}fldR={1,2,3,4}R1={<y,x>|<x,y>R1={<y,x>|<x,y>R}R∘S=|<x,z>|y(<x,y>R<y,z>S)}例2R={<1,2>,<2,3>,<1,4>,<2,2>}例2R={<1,2>,<2,3>,<1,4>,<2,2>}S={<1,1>,<1,3>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}R1={<2,1>,<3,2>,<4,1>,<2,2>}R∘S={<1,3>,<2,2>,<2,3>}S∘R={<1,2>,<1,4>,<3,2>,<3,3>}利用图示（不是关系图）方法求合成R∘S={<1,3>,<2,2>,<2,3>}S∘R={<1,2>,<1,4>,<3,2>,<3,3>}利用图示（不是关系图）方法求合成R∘S={<1,3>,<2,2>,<2,3>}S∘R={<1,2>,<1,4>,<3,2>,<3,3>}限制与像：定义F在A上的限制定义F在A上的限制F↾A={<x,y>|xFyxA}A在F下的像F[A]=ran(F↾A)关系运算的基本性质定理1设F是任意的关系,则(1)(F-1)-1=F(2)domF-1=ranF,ranF-1=domF证(1)任取<x,y>,由逆的定义有<x,y>∈(F-1)-1<y,x>∈F-1<x,y>∈F所以有(F-1)-1=F(2)任取x,x∈domF-1∃y(<x,y>∈F-1)∃y(<y,x>∈F)x∈ranF

所以有domF-1=ranF.同理可证ranF-1=domF.定理2设F,G,H是任意的关系,则(1)(F∘G)∘H=F∘(G∘H)(2)(F∘G)-1=G-1∘F-1证(1)任取<x,y>,证(1)任取<x,y>,<x,y>(F∘G)∘Ht(<x,t>∈F∘G∧<t,y>∈H)t(s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H)

ts(<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H)

s(<x,s>∈F∧t(<s,t>∈G∧<t,y>∈H))

s(<x,s>∈F∧<s,y>∈G∘H)

<x,y>∈F∘(G∘H)

所以(F∘G)∘H=F∘(G∘H)(2)任取<x,y>,<x,y>∈(F∘G)1

<y,x>∈F∘G

t(<y,t>∈F∧(t,x)∈G)

t(<x,t>∈G1∧(t,y)∈F1)

<x,y>∈G1∘F1所以(F∘G)1=G1∘F1关系的幂运算设R为A上的关系,n为自然数,则R的n次幂定义为：(1)R0={<x,x>|x∈A}=IA(2)Rn+1=Rn∘R幂的求法对于集合表示的关系R，计算Rn就是n个R右复合.矩阵表示就是n个矩阵相乘,其中相加采用逻辑加.例3设，是集合上的二元关系，其中试求的各次幂。解首先的关系矩阵为