离散数学-教案 -第4章4.3-4.4 关系的性质

课堂教学设计13章节（专题）第4章二元关系和函数计划学时2课题（内容）4.3关系的性质4.4关系的闭包教育教学目的1.掌握关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性2.掌握关系的闭关以及构造闭包3.思政目标：结合实际案例讲解关系的性质和闭包，如使用社交网络中的关系来说明传递性和对称性。通过学习关系的性质和闭包，提升学生分析和解决问题的能力，培养严谨的逻辑思维。通过严格遵守数学运算的规则，培养学生的科学态度和实事求是的精神教学重点及难点1.重点：关系的5大性质、关系的闭包2.难点：关系的闭包教学方法及手段1.讲授法2.小组讨论3.多媒体辅助教学教学互动环节设计1.课程回顾导入新课（对关系运算的回顾）2.启发式提问引发课堂讨论（自反性与反自反性的区别）3.案例分析引发思考（传递性）课后总结与反思4.3关系的性质自反性与反自反性定义：设R为A上的关系若∀x(x∈A→<x,x>∈R),则称R在A上是自反的.若∀x(x∈A→<x,x>R),则称R在A上是反自反的.反关系：A上的全域关系EA,恒等关系IA、小于等于关系LA、整除关系DA反自反关系：实数集上的小于关系、幂集上的真包含关系例1A={1,2,3},R1,R2,R3是A上的关系,其中R1＝{<1,1>,<2,2>}R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}R3＝{<1,3>}则R2自反,R3反自反,R1既不是自反也不是反自反的。对称性与反对称性定义设R为A上的关系(1)若∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R),则称R为A上对称的关系.(2)若x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y),则称R为A上的反对称关系.对称关系：A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系。反对称关系：恒等关系IA，空关系是A上的反对称关系。例2设A＝{1,2,3},R1,R2,R3和R4都是A上的关系,其中R1＝{<1,1>,<2,2>}，R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>}R3＝{<1,2>,<1,3>}，R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}则R1对称、反对称，R2对称，不反对称，R3反对称，不对称，R4不对称、也不反对称.传递性定义设R为A上的关系,若∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R),则称R是A上的传递关系。A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系，小于等于关系,小于关系，整除关系，包含关系和真包含关系都具有传递性。例3设A＝{1,2,3},R1,R2,R3是A上的关系,其中R1＝{<1,1>,<2,2>}R2＝{<1,2>,<2,3>}R3＝{<1,3>}则根据传递性定义可得R1和R3是A上的传递关系，R2不是A上的传递关系.关系性质的充要条件(1)R在A上自反当且仅当IA⊆R(2)R在A上反自反当且仅当R∩IA=(3)R在A上对称当且仅当R=R-1(4)R在A上反对称当且仅当R∩R-1⊆IA(5)R在A上传递当且仅当R∘R⊆R例4判断下图中关系的性质,并说明理由.(a)不自反也不反自反；对称,不反对称；不传递.(b)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的；是传递的.(c)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递.证明模式证明R在A上自反任取x,证明模式证明R在A上自反任取x,xA……………..….…….<x,x>R前提推理过程结论证明模式证明R在A上对称证明模式证明R在A上对称任取<x,y><x,y>R……………..….…….<y,x>R前提推理过程结论证明模式证明R在A上传递任取<x,y>，<y,z>证明模式证明R在A上传递任取<x,y>，<y,z><x,y>R<y,z>R…..……….<x,z>R前提推理过程结论运算与性质的关系自反性反自反性对称性反对称性传递性R1-1√√√√√R1∩R2√√√√√R1∪R2√√√××R1-R2×√√√×R1∘R2√××××4.4关系的闭包关系的闭包运算关系作为集合,在其上已经定义了并、交、差、补、复合及逆运算。现在再来考虑一种新的关系运算－关系的闭包运算，它是由已知关系，通过增加最少的序偶生成满足某种指定性质的关系的运算。定义1设是上的二元关系，如果有另一个上的关系满足：（1）是自反的（对称的，传递的）；（2）；（3）对于任何上的自反的（对称的，传递的）关系，若，就有。则称关系为的自反（对称，传递）闭包(Reflexive(Symmetric，Transitive)Closure)，记作。显然，自反（对称，传递）闭包是包含的最小自反（对称，传递）关系。定理1设是上的二元关系，那么（1）是自反的，当且仅当（2）是对称的，当且仅当（3）是传递的，当且仅当证明（1）若是自反的，，对任何包含的自反关系，有，故；若，根据闭包定义，必是自反的。（2）、（3）的证明完全类似。下面讨论由给定关系，求取的方法。定理2设是集合上的二元