高一数学第一课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

8.1基本立体图形第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课标要求1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.【引入】我们在初中已经学习了平面几何，研究了一些平面图形的形状、大小、位置关系，还有平面图形的画法、计算问题，以及它们的应用.人类生存在现实的三维空间中，我们需要突破平面的范围，研究空间的各种几何图形的形状和大小，研究这些图形的位置关系与度量关系等，这就是我们要学习的立体几何，本章我们将从实物模型、空间几何体的整体观察入手，研究上述问题.一、空间几何体、多面体、旋转体的定义探究1观察下列物体，从围成它们面的角度描述它们的特点？提示可以发现，纸箱、金字塔、茶叶罐、水晶萤石、储物箱等物体有相同的特点，围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点，围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面.【知识梳理】1.空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.2.多面体、旋转体多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴温馨提示(1)多面体由平面多边形围成，这里的多边形包括它内部的平面部分.(2)多面体至少有四个面.(3)各面是相等的正多边形的多面体叫做正多面体.二、棱柱的结构特征探究2观察下图中的多面体，想一想：这些多面体各有什么特点？它们分别由什么样的多边形围成？各个面之间的位置关系有什么特点？各条棱之间呢？提示直观上可以发现，图中的每个多面体的上、下两面都是边数相同的全等多边形，且上、下两个面所在平面都不会相交，其余各面都是平行四边形，各侧棱互相平行且相等.【知识梳理】1.棱柱的结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点2.几个特殊的棱柱(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；(2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图③)；(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(如图④).温馨提示(1)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示.(2)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示.(3)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示，棱柱还需满足各侧棱互相平行且相等.例1下列说法正确的是()A.底面是矩形的四棱柱是长方体B.有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的四棱柱是平行六面体C.棱柱的各个侧面都是平行四边形D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱答案C解析底面是矩形的四棱柱有可能是斜棱柱，不一定是长方体，故A错误；因为平行的两个面不一定是平行四边形，故有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的四棱柱不一定是平行六面体，故B错误；根据棱柱的结构特征可知，C正确；如图所示的几何体，有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱，故D错误.思维升华棱柱结构特征的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义.①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行且全等的面作为底面，其余各面都是平行四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.训练1(多选)下列命题中为真命题的是()A.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱D.正四棱柱是平行六面体答案BD解析对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体，A为假命题；对于选项B，棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同，B为真命题；对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C为假命题；对于选项D，正四棱柱是平行六面体，D为真命题.三、棱锥的结构特征探究3图中的多面体具有怎样的特点？提示通过观察图形我们可以发现，共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其他各面都是三角形，这些三角形有一个公共顶点.【知识梳理】棱锥的结构特征棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥记作：棱锥S－ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点2.正棱锥的结构特征(1)底面是正多边形.(2)顶点与底面中心的连线垂直于底面.温馨提示对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图所示，必须强调其余各面是共顶点的三角形.例2(多选)下列说法中，正确的是()A.棱锥的各个侧面都是三角形B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面C.棱锥的侧棱互相平行D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥答案AB解析由棱锥的定义知，棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，即不平行，故C错误；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，如图所示的几何体均满足条件，但都不是棱锥，故D错误.思维升华1.棱锥的结构特征要从两个方面进行把握：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.2.判断一个几何体为棱锥除了利用定义，还可利用举反例法，即结合棱锥的定义举反例说明某些说法不正确.训练2下列说法中正确的是()A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥B.各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥D.底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥答案D解析对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；对于B，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，B错误；对于C，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，C错误；对于D，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，D正确.四、棱台的结构特征探究4若用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，直观感受一下，平面下方的几何体具有怎样的特点？提示截面与棱锥的底面平行，各侧面都是梯形.【知识梳理】棱台的结构特征棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台记作：棱台ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点温馨提示棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.例3(多选)下列选项中，不正确的是()A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D.棱台的侧棱延长后必交于一点答案ABC解析A中的平面不一定平行于底面，故A错；B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错；由棱台的定义知，D正确.思维升华1.棱台的结构特征：(1)两个底面相互平行；(2)侧棱延长后相交于一点.2.判断一个几何体为棱台除了利用定义，还可以利用举反例法，即结合棱台的某些特征说明某些说法不正确.训练3下面四个几何体中，为棱台的是()答案C解析A项中的几何体是棱柱；B项中的几何体是棱锥；C项中的几何体符合棱台的定义，是棱台；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台.【课堂达标】1.如图所示，下列判断正确的是()A.①是多面体，②是旋转体B.①是旋转体，②是多面体C.①②都是多面体D.①②都是旋转体答案A2.如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是()A.①是棱台 B.②不是棱柱C.③是棱锥 D.④不是棱柱答案C解析根据几何体特征，③是棱锥.3.若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是()A.三棱锥 B.四棱锥C.五棱锥 D.六棱锥答案D解析因为正六边形的边长与它的外接圆的半径相等，所以满足题意的棱锥一定不是六棱锥.4.三棱柱的平面展开图是()答案B一、基础巩固1.(多选)下列特征是棱台必须具备的是()A.两底面平行B.侧面都是梯形C.侧棱长都相等D.侧棱延长后相交于一点答案ABD解析根据棱台的定义，“侧棱长相等”不是棱台必须有的，其余选项均是.2.(多选)下列四个命题中，真命题为()A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B.棱柱的各个侧面都是平行四边形C.棱柱的两底面是全等的多边形D.棱柱的面中，至少有两个面互相平行答案BCD解析A是假命题，正六棱柱的两个相对的侧面也互相平行，但两个面不是棱柱的底面，B，C，D都是真命题.3.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()A.三棱锥 B.四棱锥C.三棱柱 D.组合体答案B解析余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.4.设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是()A.QMNP B.QMNPC.PMNQ D.QNMP答案B解析根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直四棱柱}.5.(多选)一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是()A.三棱柱 B.三棱台C.五棱锥 D.四面体答案ABC解析对于A，三棱柱的顶点是上下两个三角形的顶点，有6个，满足题意；对于B，三棱台的顶点是上下两个三角形的顶点，有6个，满足题意；对于C，五棱锥的顶点是底面五边形的顶点及一个各侧棱交点，有6个，满足题意；对于D，四面体的顶点个数为4，不满足题意.6.在正方体上任意选择4个顶点，则由这四个顶点围成的几何体可以是________.答案正三棱锥(或正四面体)(答案不唯一)7.下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.8.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.答案12解析因棱柱有10个顶点，所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为eq\f(60,5)＝12(cm).9.在如图所示的三棱柱中放置高为h的水，现将三棱柱放倒，使平面ACC1A1着地，则此时水所形成的几何体是棱柱吗？为什么？解是棱柱.如图所示，这是因为将平面ACC1A1着地，上面的水平面为DD1E1E，则水所形成的几何体为四棱柱ADEC－A1D1E1C1.其中面ADEC与面A1D1E1C1平行且全等，侧面AA1D1D，DD1E1E，CC1E1E，AA1C1C分别为平行四边形，故水所形成的几何体为棱柱.10.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－eq\f(1,2)a2－a2－a2＝eq\f(3,2)a2.二、综合运用11.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为()A.12 B.9C.6 D.3答案D解析设原棱锥顶点到底面的距离为h，由题意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,h)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，则h＝6，因而棱台上、下底面的距离为6－3＝3.12.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是()A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C.A1B1＝1，AB＝