高一数学周测卷1　(范围：§6.1～§6.2)

周测卷1(范围：§6.1～§6.2)(时间：50分钟满分：100分)一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1.在下列说法中正确的有()①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量；②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；④平面上的数轴都是向量.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案B解析既有大小，又有方向的量统称为向量，结合向量的定义可知②④错误，结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确，故选B.2.若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|且eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形 B.菱形C.矩形 D.等腰梯形答案B解析∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，∴|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|且BA∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，∴四边形ABCD为菱形.3.已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为()A.eq\r(3) B.eq\r(5) C.3 D.5答案C解析由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.4.已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)答案C解析设向量a与b的夹角为θ.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cosθ＝3，所以cosθ＝－eq\f(1,2)，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(2π,3).5.若平面向量a，b满足(2a－b)⊥b，则下列各式恒成立的是()A.|a＋b|＝|a| B.|a＋b|＝|b|C.|a－b|＝|a| D.|a－b|＝|b|答案C解析∵(2a－b)⊥b，∴(2a－b)·b＝0，即2a·b＝b2，∴a2＋b2－2a·b＝a2，即|a－b|＝|a|.6.若点O是△ABC的外心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝0，则△ABC的内角C等于()A.45°B.60°C.90°D.120°答案D解析∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，∴四边形OACB为平行四边形，又点O是△ABC的外心，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴∠ACO＝∠BCO＝60°，故∠ACB＝120°.二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)7.已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，若|3a＋b|≤eq\r(7)，则向量a与b的夹角θ可以为()A.30° B.45° C.120° D.150°答案CD解析∵|a|＝|b|＝1，|3a＋b|≤eq\r(7)，∴(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9＋6a·b＋1≤7，∴a·b≤－eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)≤－eq\f(1,2)，又0°≤θ≤180°，∴θ可以为选项中的120°或150°.8.若不共线向量a，b满足|a－b|＝|b|，则下列结论中正确的是()A.向量a，b的夹角恒为锐角B.2|b|2<a·bC.|2b|>|a－2b|D.|2a|<|2a－b|答案AC解析对于A，设向量a，b的夹角为θ，则θ∈(0，π)，∵|a－b|＝|b|，∴a2－2a·b＋b2＝b2，即a2＝2a·b＝2|a||b|cosθ>0，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故A正确；对于B，根据三角形的两边之和大于第三边，∵|a－b|＝|b|，∴2|b|＝|a－b|＋|b|>|a|，即4|b|2>|a|2，∴2|b|2－a·b＝2|b|2－eq\f(1,2)|a|2＝eq\f(1,2)(4|b|2－|a|2)>0，故B错误；对于C，|2b|2－|a－2b|2＝4b2－(a2－4a·b＋4b2)＝－a2＋4a·b＝a2>0，故C正确；对于D，若|2a|<|2a－b|，则4|a|cosθ<|b|，此式不一定成立，故D错误.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)9.在△ABC中，若BC＝8，BC边上中线长为3，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.答案－7解析在△ABC中，设BC的中点为D，则eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\o(DC,\s\up6(→)).由题意知|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝3，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＝9－16＝－7.10.若|a|＝2025，|b|＝2026，则|a－b|的最大值是________.答案4051解析由向量的三角不等式知，||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，即1≤|a－b|≤4051.当且仅当a与b方向相反时，右端等号成立，∴|a－b|的最大值为4051.11.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b的夹角的大小为________.答案eq\f(2,3)π解析∵∀x∈R，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，∴(a＋xb)2≥(a＋b)2恒成立.又|a|＝2，|b|＝1，设a与b的夹角为θ，∴a2＋x2b2＋2xa·b≥a2＋b2＋2a·b对x∈R成立，则∀x∈R，恒有x2＋4xcosθ－1－4cosθ≥0.∴Δ＝(4cosθ)2＋4＋16cosθ≤0，即(2cosθ＋1)2≤0，则2cosθ＋1＝0，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，又θ∈[0，π]，故θ＝eq\f(2,3)π.四、解答题(本题共3小题，共43分)12.(13分)如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b分别表示向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))；(2)求证：B，E，F三点共线.(1)解eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a.(2)证明由(1)知，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BE,\s\up6(→))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，又eq\o(BF,\s\up6(→))与eq\o(BE,\s\up6(→))有共同的起点B，所以B，E，F三点共线.13.(15分)已知|a|＝2，a·b＝2，a与b的夹角为eq\f(π,3).(1)求|a－b|；(2)求a＋b与b的夹角θ.解(1)因为a·b＝|a||b|coseq\f(π,3)＝|b|＝2，所以|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(4－4＋4)＝2.(2)法一|a＋b|＝eq\r(（a＋b）2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(4＋4＋4)＝2eq\r(3)，所以cosθ＝eq\f(（a＋b）·b,|a＋b||b|)＝eq\f(a·b＋b2,|a＋b||b|)＝eq\f(2＋4,2\r(3)×2)＝eq\f(\r(3),2)，又θ∈[0，π]，即θ＝eq\f(π,6).法二因为a·b＝|a||b|coseq\f(π,3)＝|b|＝2，所以|b|＝2，|a|＝|b|，所以a－b与a＋b是以a，b为邻边的菱形的对角线所表示的向量.又因为a与b的夹角为eq\f(π,3)，结合菱形的几何性质，所以(1)|a－b|＝2，(2)θ＝eq\f(π,6).14.(15分)在△ABC中，点P满足BP＝2PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝μeq\o(AN,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，求eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)的最小值.解连接AP，如图.∵△ABC中，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝μeq\o(AN,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2μ,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\f(λ,3)eq\o(AM,\s\up6(→)).又∵M，P，N三点共线，∴eq\f(2μ,3)＋eq\f(λ,3)＝1，λ>0，μ>0，∴eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,λ)＋\f(1