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线性变换的值域与核一引入概念定义6

A

(∈L(V))的值域AV={Aξ|ξ∈V}；A的核A－1(0)={ξ|Aξ=0,ξ∈V}.

也将A的值域和核表示为：

AV=ImA

,A－1(0)=KerA.vA

V

0AV

A－1(0)

称dimA

V为A的秩，dimA

－1(0)为A

的零度.

A

V,A－1(0)是V的子空间.证明：对任意的Aα，Aβ∈A

V，Aα+A

β=

A(α+β)，kAα=A(kα)∈A

V，且AV非空，故AV是V的子空间.

对任意的α,β∈A

－1(0)→Aα=Aβ=0→A(α+β)

=Aα+A

β=0，A(kα)=kAα=0→α+β，kα∈A

－1(0),且A

－1(0)非空故A

－1(0)是V的子空间.□例线性空间P[x]n

中D(f(x))=f/(x).则D的值域为P[x]n-1,D的核为子空间P.二.值域与核的性质(定理10)A

∈L(V),ε1,···,εn是V的基，且A在该基下的矩阵为A，则

1)AV=A(L(ε1,

···,εn

))=L(Aε1,···,Aεn)；

2)A的秩=A的秩.

A（L(ε1,···,εn)）=L(Aε1,···,Aεn)(定理11)A∈L(V),dimV=n，则

A的秩+A的零度=n.(推论)∈L(V),dinV=n，则

A是单射的充要条件为A是满射

证明思路分析：分三步完成：（1）A是单射的充要条件为A－1(0)={0}；（2）A

－1(0)

={0}的充要条件为

AV=V；（3）AV=V的充要条件为A

是满射.

该性质说明：dimA

V+dimA

－1(0)=n.但此时不能断定AV+A－1(0)=V.例如在P[x]n

中,D

P[x]n

=P[x]n-1,

D－1(0)=P,D

P[x]n

+D－1(0)=P[x]n-1≠

P[x]n.其中，

D

P[x]n∩D－1(0)=P.即dim(D

P[x]n

+D－1(0))=n

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