线性相关性课件

线性相关性

向量空间有两种运算：加法和数量乘法，合起来成为线性运算。因此向量空间也可称为线性空间。向量空间元素之间的最基本的关系就体现在运算上即所谓线性关系上。因此讨论向量之间的线性关系在研究向量空间时起着极为重要的作用。本节仅限于在中进行讨论。一、向量组的线性关系在解几中，向量空间中的任一个向量α可由和中的一组数表示出来，即有。在一般n维向量空间是否有类似现象？在未研究之前，先考虑上述表达式的意义。定义3.3.1：设是中的向量，若存在F中，使则称β是向量组的一个线性组合，或称向量β可由线性表出。例3.3.1在中，β可由的线性组合。例3.3.2在中，任一向量可由向量组线性表示，称为n维单位向量。

这回答了本段开头提出的问题，在它有那些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？下面将给予回答。中有重要的作用。注1：零向量是任一向量组的线性组合。定义3.3.2：对于中r个向量，若存在F中不全为零的数，使，则称线性相关，否则称线性无关，（即不存在不全为零的数，使是不是的线性组合？）。例3.3.3判断向量是否线性相关（若两个向量的对应分量成比例，则这两个必线性相关）。注2：单个零向量必线性相关，单个非零向量必线性无关。注3：向量组中有一个零向量，则必线性相关。例3.3.4判断向量组是否线性相关。解：设有，使于是得：取，则有故线性相关。由此可得判断向量组线性关系的一般步骤：⑴设⑵若能找到不全为零的，使⑴成立，则线性相关；若由⑴只能推出，则线性相关。更一般地，要判断中向量组是否线性相关，只要判断齐次线性方程组是否有非零解。若有非零解，则线性相关；若只有零解，则线性无关。二、线性关系的简单性质性质1：向量组中的每一向量都可以由这一组向量线性表示。性质2：如果向量r可由向量组线性表示，而每一个向量又可由向量组线性表示。证：设而故性质3：如果向量组线性无关，则它的任一部分组也线性无关。性质：如果向量组有部分组线性相关，则也线性相关。性质4：设向量组线性无关而向量组线性相关，则β一定可由线性表示。性质5：线性无关向量组的同位延长向量组也线性无关。证：设线性无关，其延长向量组为：设，可以推得：因为线性无关，所以，故得也线性无关。定理3.3.1：向量组线性相关的充要条件是：其中有某一个向量是其他向量的线性组合。（这个条件常被作为线性相关的另一种定义）三、向量组的等价和替换定理定义3.3.3

设向量组（Ⅰ）：和向量组（Ⅱ）：是向量空间中的两个向量组，如果组（Ⅰ）中的任一向量都可由线性表示，而组（Ⅱ）的任一向量也可由则称这两个向量组等价。例3.3.5向量组与向量组是否等价？而与等价。向量组的等价满足以下三个性质：1、反身性：任何向量组均与自己等价；2、对称性：若与等价，则也与等价；3、传递性：若与等价，与具有以上三个性质的关系称之为等价关系。定理3.3.2（替换定理）：设向量组（Ⅰ）：线性无关，且每一可由向量组（Ⅱ）：线性表示，则，且在适当调整向量组（Ⅱ）中向量的次序后，可使向量组（Ⅲ）：与向量组（Ⅱ）等价。证明要点：（对向量组（Ⅰ）中的个数r使用归纳法）等价。则与等价。当r=1时，线性无关，且由于，必存在某个不妨设就是，于是有于是向量组与向量组等价。假设当r=n-1时结论成立，即有且在适当调整（Ⅱ）组中向量的次序后，与组（Ⅱ）等价。则当r=n时，考虑前n-1个向量，有归纳假设知，且向量组（Ⅳ）与组（Ⅱ）等价。又可被线性表示，可由向量组（Ⅳ）线性表示。设由于线性无关，必不全为零。（否则得矛盾），不妨设因此，向量组（Ⅲ）与向量组（Ⅳ）等价。由归纳假设知（Ⅳ）与（Ⅱ）等价，故向量组（Ⅲ）与（Ⅱ）等价。由于故由替换定理可得以下两个重要推论：于是推论1：两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。推论2：如果向量组可由向量组线性表示，且r>s，则向量组必线性相关。通俗地说：如果个数多的向量组能被个数少的向量组表示，则个数多的向量组必线性相关。推论3：n+1个n维向量必线性相关。四、极大线性无关组设是向量空间一组不全为零的向量，若它们线性相关，则其中必含有向量个数尽可能多的线性无关组，这个部分组本身线性无关，而若从原向量组再添加一个向量就线性相关，可见原向量组中每个向量都可用这个部分组线性表示。具有这种性质的向量组就称为极大线性无关组，它对以后的讨论是很重要的。定义3.3.4

如果向量组的一个部分组：满足以下两条：①线性无关；②中任一向量可由线性表示，则称向量组是向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组。例3.3.6求向量组的一个极大线性无关组。解：线性无关，而，故是的一个极大无关组。又线性无关，而，故也是一个极大无关组。

可见一个向量组的极大无关组并不是唯一的，那么我们要问：一个向量组的极大无关组的个数是否唯一？定理3.3.3

等价向量组的极大无关组含有相同个数的向量，特别的，一个向量组的两个极大无关组含有向量个数相同。由等价的传递性和推论1立得。定义3.3.5：一个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数叫做这个向量组的秩。例3.3.7求的