2025年COMP211数据与系统建模概率统计第5周教程答案

2025年COMP211数据与系统建模概率统计第5周教程答案考虑某城市交通管理部门对早高峰时段（7:00-9:00）某主干道车辆违规行为的统计分析。假设通过交通摄像头观测到，该时段内每分钟车辆通过量服从参数λ=12的泊松分布（即X~Poisson(12)），且每辆通过车辆发生违规（如压实线、超速）的概率为p=0.05，各车辆违规行为相互独立。问题1：计算早高峰时段内，某一分钟内恰好有2辆违规车辆的概率。首先，每分钟通过的车辆数X服从泊松分布，其概率质量函数为：P(X=k)=(λᵏe⁻λ)/k!，其中λ=12，k=0,1,2,...在X=k辆通过的条件下，违规车辆数Y服从二项分布B(k,p)，即P(Y=m|X=k)=C(k,m)pᵐ(1-p)ᵏ⁻ᵐ。要求P(Y=2)，需利用全概率公式：P(Y=2)=Σₖ=₂^∞P(X=k)P(Y=2|X=k)代入具体表达式：=Σₖ=₂^∞[(12ᵏe⁻¹²)/k!]×[k!/(2!(k-2)!))×0.05²×0.95ᵏ⁻²]化简后，k!与分母的k!抵消，得到：=(e⁻¹²×0.05²)/2!×Σₖ=₂^∞[12ᵏ×0.95ᵏ⁻²/(k-2)!]令n=k-2，则k=n+2，当k≥2时n≥0，求和式变为：Σₙ=₀^∞[12ⁿ⁺²×0.95ⁿ/n!]=12²×Σₙ=₀^∞[(12×0.95)ⁿ/n!]=12²×e^(12×0.95)（利用泊松级数和e^a=Σₙ=₀^∞aⁿ/n!）因此，P(Y=2)=(e⁻¹²×0.0025)/2×144×e^11.4=(0.0025×144)/2×e⁻¹²×e^11.4=(0.36/2)×e⁻⁰.⁶≈0.18×0.5488≈0.0988问题2：若观测到某一分钟内有3辆违规车辆，求该分钟内实际通过车辆数至少为5辆的概率。需求P(X≥5|Y=3)。根据贝叶斯定理：P(X≥5|Y=3)=1P(X≤4|Y=3)而P(X=k|Y=3)=P(X=k,Y=3)/P(Y=3)=[P(X=k)P(Y=3|X=k)]/P(Y=3)其中，当k<3时，P(Y=3|X=k)=0，因此只需考虑k≥3的情况。首先计算P(Y=3)，类似问题1的推导：P(Y=3)=(e⁻¹²×0.05³)/3!×Σₖ=₃^∞[12ᵏ×0.95ᵏ⁻³/(k-3)!]=(e⁻¹²×1.25×10⁻⁴)/6×12³×e^(12×0.95)=(1.25×10⁻⁴×1728)/6×e⁻⁰.⁶≈(0.216/6)×0.5488≈0.036×0.5488≈0.01976接下来计算P(X≤4|Y=3)，即k=3,4时的概率之和：当k=3时：P(X=3,Y=3)=P(X=3)P(Y=3|X=3)=(12³e⁻¹²)/6×C(3,3)×0.05³×0.95⁰=(1728e⁻¹²)/6×1.25×10⁻⁴≈288×1.25×10⁻⁴×e⁻¹²≈0.036×4.83×10⁻⁶≈1.74×10⁻⁷当k=4时：P(X=4,Y=3)=(12⁴e⁻¹²)/24×C(4,3)×0.05³×0.95¹=(20736e⁻¹²)/24×4×1.25×10⁻⁴×0.95≈864×5×10⁻⁴×0.95×e⁻¹²≈0.4104×4.83×10⁻⁶≈1.98×10⁻⁶因此，P(X≤4|Y=3)=(1.74×10⁻⁷+1.98×10⁻⁶)/0.01976≈(2.154×10⁻⁶)/0.01976≈0.000109故P(X≥5|Y=3)≈10.000109≈0.99989问题3：定义Z为该分钟内非违规车辆数，求Z的期望E[Z]和方差Var(Z)。已知Y为违规车辆数，Z=XY。由于X~Poisson(12)，Y|X~B(X,p)，则E[Y|X]=Xp，Var(Y|X)=Xp(1-p)。根据全期望公式，E[Y]=E[E[Y|X]]=E[Xp]=pE[X]=0.05×12=0.6因此，E[Z]=E[XY]=E[X]E[Y]=120.6=11.4计算Var(Z)时，利用方差分解公式：Var(Z)=Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y)首先，Var(X)=12（泊松分布方差等于均值）。计算Var(Y)：由条件方差公式，Var(Y)=E[Var(Y|X)]+Var(E[Y|X])=E[Xp(1-p)]+Var(Xp)=p(1-p)E[X]+p²Var(X)=0.05×0.95×12+0.0025×12=0.57+0.03=0.6计算Cov(X,Y)：Cov(X,Y)=E[XY]E[X]E[Y]。由于Y|X~B(X,p)，则XY=X×(Σᵢ=₁^XIᵢ)，其中Iᵢ为第i辆车违规的指示变量（Iᵢ=1违规，0否则）。因此，XY=Σᵢ=₁^XXIᵢ=Σᵢ=₁^X(Iᵢ×X)，但X是总车辆数，与Iᵢ独立（给定X时Iᵢ独立于X？不，X是随机变量，Iᵢ是条件于X的独立变量）。更简单的方法是利用条件期望：E[XY]=E[E[XY|X]]=E[XE[Y|X]]=E[X×Xp]=pE[X²]而E[X²]=Var(X)+(E[X])²=12+144=156，因此E[XY]=0.05×156=7.8故Cov(X,Y)=7.812×0.6=7.87.2=0.6因此，Var(Z)=12+0.62×0.6=12+0.61.2=11.4问题4：假设连续观测5分钟，每分钟违规车辆数Y₁,Y₂,...,Y₅独立同分布（与问题1中Y同分布），求5分钟内总违规车辆数T=Y₁+Y₂+...+Y₅的概率质量函数，并计算P(T≤2)。由于各Yᵢ独立同分布，T的概率质量函数为各Yᵢ的卷积。但注意到Yᵢ的提供函数可通过问题1的推导得到。首先，Y的提供函数G_Y(t)=E[t^Y]=E[E[t^Y|X]]=E[(pt+(1-p))^X]（因Y|X~B(X,p)，其提供函数为(pt+(1-p))^X）。而X~Poisson(12)，其提供函数为e^(λ(t-1))，因此G_Y(t)=E[(pt+(1-p))^X]=e^(12(pt+(1-p)1))=e^(12p(t1))这表明Y服从参数为λp=12×0.05=0.6的泊松分布（因为泊松分布的提供函数为e^(μ(t-1))，其中μ为均值）。验证问题1中E[Y]=0.6，与泊松分布均值一致，且问题1中计算P(Y=2)=0.0988，而泊松分布P(Y=2)=(0.6²e⁻⁰.⁶)/2!≈(0.36×0.5488)/2≈0.0988，与结果一致，因此Y~Poisson(0.6)。因此，T=Y₁+...+Y₅服从泊松分布，参数为5×0.6=3（独立泊松变量和仍为泊松，参数相加）。故T~Poisson(3)，其概率质量函数为P(T=k)=(3ᵏe⁻³)/k!计算P(T≤2)=P(T=0)+P(T=1)+P(T=2)=e⁻³(1+3+9/2)=e⁻³×(1+3+4.5)=8.5×e⁻³≈8.5×0.0498≈0.4233问题5：交通部门计划对违规车辆进行自动抓拍，设备每次抓拍需0.5秒，且同一分钟内抓拍设备最多连续工作20秒（即最多抓拍40辆）。假设某分钟内违规车辆数Y~Poisson(0.6)，求该分钟内抓拍设备能完成所有违规车辆抓拍的概率。设备最多抓拍40辆，因此需要P(Y≤40)。由于Y~Poisson(0.6)，其概率质量函数在k>3时已非常小。具体计算：P(Y≤40)=1P(Y≥41)。而泊松分布当λ=0.6时，P(Y=k)随k增大迅速趋近于0。例如：P(Y=4)=(0.6⁴e⁻⁰.⁶)/24≈(0.1296×0.5488)/24≈0.0711/24≈0.00296P(Y=5)=(0.6⁵e⁻⁰.⁶)/120≈(0.07776×0.5488)/120≈0.0427/120≈0.000356k≥6时，P(Y=k)<0.00004（可通过递推公式P(Y=k)=P(Y=k-1)×λ/k计算，如P(Y=6)=P(Y=5)×0.6/6=0.000356×0.1=0.0000356）因此，P(Y≥41)≈0（实际计算中，当k>λ+3√λ时概率可忽略，此处λ=0.6，3√λ≈2.32，故k≥3时概率已极小），因此P(Y≤40)≈1问题6：考虑另一条支路，其早高峰每分钟通过车辆数X'服从正态分布N(μ=10,σ²=4)，违规概率仍为p=0.05，各车辆独立。求该支路每分钟违规车辆数Y'的近似期望和方差。由于X'是连续型随机变量，Y'|X'=x~B(x,p)，但x为实数，实际中车辆数为整数，故可近似为Y'|X'=x~Bin(round(x),p)。对于大x，二项分布可近似为正态分布，但此处X'的均值μ=10较小，需用全期望和全方差公式。E[Y']=E[E[Y'|X']]=E[pX']=pμ=0.05×10=0.5Var(Y')=E[Var(Y'|X')]+Var(E[Y'|X'])=E[p(1-p)X']+Var(pX')=p(1-p)μ+p²σ²=0.05×0.95×10+0.0025×4=0.475+0.01=0.485若进一步考虑X'为连续变量，Y'的精确分布需用积分表示：P(Y'=m)=∫₀^∞P(X'=x)P(Y'=m|X'=x)dx=∫ₘ^∞[1/(√(2π