四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学+答案

射洪中学高2025级高一下期期中考试

数学试题

（考试时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将答题卡交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.）

1．复数(1+5i)i的虚部为()

A．-1B．0C．1D．6

2．已知向量=(1,0),=(x,2)，若(-2)丄，则实数x=()

11

A．1B1C．D

22

3．如图正方形O’A’B’C’的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的

周长是()

A．8cmB．6cmC．2(1+/3)cmD．2(1+·2)cm

4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，则AE与B1D1的夹角为()

ππππ

A．B．C．D．

4263

5．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为M为PB的中点，下列

结论正确的个数为()

①OM//平面PBC②OM//平面PCD

③OM//平面PDA④OM//平面PBA

A．1个B．2个C．3个D．4个

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6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且则a=()

ΔABC1

A．B．·3C．1D．3

3

7．如图，在中，已知，=2，P是线段AD

与BE的交点，△若ABC=m+n，则m+n的值为()

36

A．B．

77

9

C．1D．

7

8．如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，

大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均

相切，若正四面体ABCD的体积为83，则5个球的体积之和为

()

11π

A．2πB．

6

C．3πD．16π

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9．已知复数z1=5_8i，z2=9i，则()

z1

A．z2是纯虚数B．在复平面内对应的点位于第二象限

z2

．．

Cz1=5+8iDz2=81

10．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2026年马年新

春，有人设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已

知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若E，

F分别为弧BC，弧CD的中点，则()

A．+=2B．与的夹角为45。

C．在方向上的投影向量为D

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11．在中，角A,B,C的对边分别为外接圆的半径为2，且

，则下列结论正确的是()

acosB+△bAcoBsCA=c(4cosA-1)a,b,c,△ABC

A．A

B．a

C．面积的最大值为33

D．若△bA-BcC=2，角A的平分线交BC于点D，则AD

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12．若△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么cosC=．

→→

13．已知a=(1,2),b=(1,λ)，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是．

14．海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在P处发现在北偏东50°方向，相距30公里

的水面Q处，有一艘A舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方

向前进，这个雷达兵立马协调在P处的B舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东50O+θ方向

与A舰艇对接并进行横向液货补给．若B舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则

sinθ=．

四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15．（13分）已知向量=(1,2)，=(-2,3)．

（1）求(+).(-)；

（2）求cos,．

▲

16．（15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

E是PD上的点．

(1)若E，F分别是PD和BC的中点，求证：EF∥平面PAB；

(2)若PB∥平面AEC，求证：E是PD的中点．

▲

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17．（15分）如图，在三棱柱ABC_A1B1C1中，侧棱AA1丄底面ABC，AB丄BC，D为AC的

中点，AA1=AB=BC=2.

(1)求证：AC1丄A1B；

(2)求直线BC1与平面AA1C1C所成角的大小．

▲

18．（17分）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB丄AD，AB=2CD=4，E、F分别为DC、

→→

CB的中点，且AC.EF=2，P是线段AB上的一个动点．

(1)若=m+n，求mn的值；

(2)求AD的长；

(3)求.的取值范围．

▲

19．（17分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，acosC+3asinC_b__c=0

求角；

(1)A△ABC

(2)若a=2，的面积为3，求b，c；

(3)若=，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围．

a3△ABC

△ABC

▲

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数学试题参考答案

考试时间：120分钟满分：150分

1.C2.C3.A4.B5．B6.A7．B8.A9.AC10.ACD11.BCD

12.-0.25.13.λ>_且λ≠214．

8.在正四面体A_BCD中，设棱长为a，高为h，O为正四面体A_BCD内切球的球心，

延长AO交底面BCD于E，E是等边三角形BCD的中心，BE延长线交CD于F，连接AF，

则点F是CD的中点，OE为正四面体A_BCD内切球的半径，

由正四面体ABCD的体积为83，得解得a=26，

由OEBO2B_EB_2E，解得OEh，

则h最大球半径，

因此最大球的体积为V大

小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高h小=h__2r大=4_2=2，

因此最小球半径h小

因此最小球的体积为V小所以5个球的体积之和为BCD

11.【详解】对于A，因为acosB+bcosA=c(4cosA_1)，所以sinAcosB+sinBcosA=sinC(4cosA_1)，

所以sin(A+B)=sinC(4cosA_1)，又A+B=π_C，即sin(A+B)=sin(π_C)=sinC，

则sinC=sinC(4cosA_1)，又sinC≠0，所以1=4cosA_1，

解得cosA=，又0<A<π,故A故A错误；

对于B，因为A△ABC外接圆的半径为2，

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所以a=2RsinA=4x故B正确；

对于C，因为b2+c2-a2=2bccosA，即b2+c2=12+bc，

又b2+c2≥2bc，所以12+bc≥2bc，得bc≤12，当且仅当b=c=23时，取等号，

所以即面积的最大值为，故正确；

SVABCbcsinAbcVABC33C

对于D，由b-c=2，结合b2+c2=12+bc，解得b=4,c=2，

由SABC=SABD+SACD，即x2x4sinx2xADxsinx4xADxsin

解得AD故D正确

15.【解析】（1）因为=(1,2)，=(-2,3),

所以

22

所以(+).(-)=-=5-13=-8,————6分

cos分

16．【答案】证明：(1)如图，取PA的中点G，连接BG，EG，

1

在△PAD中，因为E，G分别为所在边的中点，所以EG∥AD，且EG＝AD，

2

又因为底面ABCD为平行四边形，F为BC的中点，

1

所以BF∥AD，且BF＝AD，所以EG∥BF，且EG＝BF，

2

所以四边形BFEG为平行四边形，

所以EF∥BG，————4分

因为EF4平面PAB，BGC平面PAB，所以EF∥平面PAB．————7分

(2)如图，连接BD，交AC于点H，连接EH，

因为PB∥平面ACE，PBC平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EH，

所以PB∥EH，————12分

在△PBD中，H为BD的中点，所以E为PD的中点．————15分

17.【解析】（1）略————7分

（2）由（1）知BD丄平面AA1C1C，所以直线BC1在平面AA1C1C的射影为DC1，

所以LDC1B即为所求的线面角，

在VABC中，AB=BC=2，AB丄BC，D为AC的中点，

所以BDAC

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在直角三角形中，2

DC1CDCC1C+D

故在直角三角形DC1B中，tanLDC1B

又LDC1B所以LDC1B

所以直线BC1与平面AA1C1C所成角为.————15分

18.【解析】（1）由E,F分别为CD,BC的中点，则EF//BD，EFBD，

由图可得则m

1

所以mn=_.————5分

4

（2）由（1）可知

由AD丄AB，则.=0，

可得解得=2.————10分

（3）由图可得+，

=+=(1_x)+=(1_x)+++)

(13)12

.=_+Γl_+=|(_(|_

xl．．(|xlxlxl

．L(4(4丿2

由0≤x≤1，则.∈[1,5].————17分

19、【解析】（1）因为acosC+3asinC_b_c=0，

由正弦定理知可得sinAcosC+3sinAsinC_sinB_sinC=0，

而sinB=sinπ_(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

惠sinAcosC+3sinAsinC_(sinAcosC+cosAsinC)_sinC=0，

即3sinAsinC_cosAsinC_sin