2020-2021学年江苏省镇江市扬中市高二下开学考试数学试卷

江苏省扬中市XX中学2020-2021第二学期初高二数学试题姓名一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．1．设，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．D．2．已知三点，向量，则以为方向向量的直线与平面的关系是（）A．垂直B．不存在C．平行D．以上都有可能3．如图所示，在正方体中，分别是棱上的点，若，则的大小是（）A．等于B．小于C．大于D．不确定4．椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若成等差数列，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且的周长为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第二天走了（）A．里B．里C．里D．里7．已知数列的前项和为，且，则（）A．B．C．D．8．已知数列的通项公式为，则当取得最大时，等于（）A．B．C．D．二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9．设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则对描述正确的有（）A．是唯一最小值B．是最小值C．D．是最大值10．若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是（）A．B．C．数列是等比数列D．数列是等比数列11．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（）A．的周长为B．C．点到轴的距离为D．12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法正确的是（）A．B．C．向量与的夹角是D．与所成角的余弦值为三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．若等差数列的前项和，且，则.14．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是，的中点到轴的距离是，则此抛物线方程是.15．.16．设，则当时，取得最小值.四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数（1）若，试求函数的最小值；（2）对于任意的，不等式成立，试求的取值范围.18．已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和19．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字型区域，现计划在正方形上建一个花坛，造价为元/，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为元/，再在四个空角上铺草坪，造价为元/.（1）设总造价为元，的长为，试建立关于的表达式；（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？20．如图，已知长方体中，是棱上不同于端点的点，且（1）当为钝角时，求实数的取值范围；（2）若，记二面角的大小为，求21．设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列.（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有22．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点是椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接并延长分别交椭圆与点（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求的值；（3）设直线的斜率分别为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

江苏省扬中市XX中学2020-2021第二学期初高二数学试题姓名一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．1．设，则下列不等式中不成立的是（B）A．B．C．D．2．已知三点，向量，则以为方向向量的直线与平面的关系是（A）A．垂直B．不存在C．平行D．以上都有可能3．如图所示，在正方体中，分别是棱上的点，若，则的大小是（A）A．等于B．小于C．大于D．不确定4．椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若成等差数列，则此椭圆的离心率为（B）A．B．C．D．5．已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且的周长为，则双曲线的渐近线方程为（A）A．B．C．D．6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第二天走了（B）A．里B．里C．里D．里7．已知数列的前项和为，且，则（A）A．B．C．D．8．已知数列的通项公式为，则当取得最大时，等于（C）A．B．C．D．二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9．设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则对描述正确的有（CD）A．是唯一最小值B．是最小值C．D．是最大值10．若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是（AC）A．B．C．数列是等比数列D．数列是等比数列11．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（CBD）A．的周长为B．C．点到轴的距离为D．12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法正确的是（AB）A．B．C．向量与的夹角是D．与所成角的余弦值为三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．若等差数列的前项和，且，则.14．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是，的中点到轴的距离是，则此抛物线方程是.15．.16．设，则当时，取得最小值.四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数（1）若，试求函数的最小值；（2）对于任意的，不等式成立，试求的取值范围.17．解：（1）当时，函数，当且仅当时，；（2）当时，不等式可化为在上恒成立，在上是增函数，所以的时，，18．已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和18．解：（1）当时，，当时，，所以数列是首项，公比的等比数列，所以数列的通项公式为；（2）由（1）知，①②①②得，19．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字型区域，现计划在正方形上建一个花坛，造价为元/，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为元/，再在四个空角上铺草坪，造价为元/.（1）设总造价为元，的长为，试建立关于的表达式；（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？19．解：（1）设，则，；（2），当且仅当，因此计划至少投入万元，才能建造这个休闲小区.20．如图，已知长方体中，是棱上不同于端点的点，且（1）当为钝角时，求实数的取值范围；（2）若，记二面角的大小为，求20．解：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设知,，所以,当为钝角时，，且不共线，，解得，即的取值范围是；（2）当时，，设平面的一个法向量为，由，取，所以平面的一个法向量为，易知，平面的一个法向量为，，从而21．设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列.（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有21．解：（1）当时，，；（2）当时，满足，，，所以当时，是公差的等差数列，又构成等比数列，，解得，由（1）知，，所以是首项，公差的等差数列，所以数列的通项公式为；（3）由（2）可得，，