中考复习专题：八类最值问题 汇 总模块六七八（原卷版）

当PA＋PB＋PC的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数.AAPBC=120OAAA'AA'P'P'PPBCBC【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：①对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马【如何作费马点】如图3，连接A’，我们发现△ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得到等边△BAB’，点P也在CB’上，因此，B'PPBCAA'BBCAP【答案】6+2【答案】2【分析】如图，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点BBCDA如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，BD2=BH2+DH2即可得出结果．HDBDBCA【练习1】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边ADBEBECM一种是旋转特殊角度：2对应旋转90o，3对应旋转120o日拱一卒,功不唐捐BPBPCA原图CACABPCPCPP'BA其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选日拱一卒,功不唐捐【例3】如图，在△ABC中，ÐACB=60°,BC=3，AC=4，在△ABC内部有一点P，连接PA，PB，PC，则（1PAPB+PC的最小值为2）PAPB+PC的AAPBCPBPBC2PCB'3PBP'A日拱一卒,功不唐捐AAP'2PC3PAA'PBCAAPBC日拱一卒,功不唐捐BB6AP'A'CP:AHA,C=6，CHA,CBH=9S3，由勾股定理可得A,B=331，2PA+PB+5PC的最小值为331.BBCAPB PCA【巩固练习2】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A’P’C，连接PP’，由PC=P’C，LPCP’=60°,可知△PCP’为①三角形，故PP’=PC，又P’A’=PA，故PA+PB+PC=PA’+PB+PP’≥A’B，由②可知，当B，P，P’，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A’B，此时的P点为该三角形的费马点，且有LAPC=LBPC=LAPB=③;日拱一卒,功不唐捐已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本的位置，可以使总的铺设成本最低为元结果用含a的式子LAPB=LAPC=LCPB=120°时，则PA+PB+PC取得最小值．数，为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP,处，此时△ACP,≌△ABP这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出LAPB=；(3)如图4，在RT△ABC中，LC=90°,AC=1，LABC=30°,点P为△ABC的费马点，连接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．(4)如图5，在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、BE、CE，且边长AB=2；求DA、DB、DC．则DA+DB+2DC的最小值是．PA,PB,PC，则PC+PB+3PA的最小值为.【巩固练习2】如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是AB的中点，点F是BC边上一动点．将ABEF沿着EF翻折，使得点B落在点B'处，若点P是矩形内一动点，连接PB,、PC、PD，则PB'+2PC+PD的最小值为．PBPBC原图A 2值2--2AAPBC原图【巩固练习2】如图，在△ABC中，LACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC加权费马点）求：（2）PA+PB+2PC的最小值（3）PA+PB+3PC的最小值；（4）2PA+PB+3PC的最小值PA+PBPC的最小值；（6）2PA+4PB+23PC的最小值（7）4PA+2PB+23PC的最小值；（8）3PA+4PB+5PC的最小值【巩固练习3】在△ABC中，AB=3，AC=4，7BAC的角平分线交BC于E，过C作射线AE的垂线，垂足为D，连接BD，当S△ACE-S△BED取大值时，在△ACD内部取点P，则4的在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点CAxCAxBMOy前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90o今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90o，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分ABBOCABBOC前世：在⊙O上任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补DCDCOADCOABBB定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得前世：在⊙O中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦ACαO2αCαO2αBAACαO2αBDE今生：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的点，C在⊙O的优弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°,则C在优弧上运动；等于90°,则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动)D135D135P642ACBA4B13DCP2今生:若四边形ABCD中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际日拱一卒,功不唐捐什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线AHDCBBAODC着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值．一般是考查直角三角形，此时我们可以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题．这类问题都是在等腰时当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积【问题提出】己知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时，∠APB最大?OOABPθNM米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题.知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即7C=7D＞7PCDBPPAACBCDBPPAACBMPθMPθNOOAOOABABPθNMOOABQPθNBC连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA=1:2．当线段OM取最大值时，点DE，若DE的最小值为2，则BC的长为．【巩固练习2】如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小时，AE的长是．【巩固练习3】如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，动点P在矩形的边上沿B←C←D←A【题型2】直角的对边是直径CFBDA【例题2】在Rt△ABC中，7C=90O,7A=30O,BC=2，点D,E分别是AB,AC的中点，点F是AC上的一个动点，连结DF，作BQTDF交DF于点Q，连结EQ．点F从点C向点A运动的过程中，EQ的最小值为．eO与AB相切于点B，交AD于点E，则CE的最小值为．【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正yyFCBEAx【巩固练习3】如图，在四边形ABCD中，LABC=LBAD=90O,AB=5,AD=4,AD<BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为．【巩固练习4】如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF=FG，则CG的最小值为．【题型3】对角互补得圆EF垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则=BECFCFAD【巩固练习1】如图，点G是△ABC内的一点，且7BGC=120O则FG的最大值为．日拱一卒,功不唐捐【巩固练习2】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD＝90o，∠ACD＝30o，AD＝2，E是【巩固练习3】如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的动点，过点E作EF丄AE交CD于点F，点G在AE上，且EG=EF，点M、N分别为GF、CD的中点，连接MN，则MN的最小【题型4】定弦定角得圆【例题1】如图，在边长为6的等边△ABC中，动点D在AB边上（与点A，B均不重合点E在边BDBDCAABDCABBCP【巩固练习3】在菱形ABCD中，7ABC=120O，点P是对角线BD上一动点，点Q是AD边上一动点，DP与AQ始终相等，连结AP、BQ，交点为E，连结CE，则tan7DCE的最小值是．【题型5】四点共圆ADCCDABEAB边上一动点，过A、D、E三点的圆交EC于点F，连接AF，则AF的最小值是DEDEBFCAAAEDFDFBC【题型6】相切时取到最值CG并延长交AD于点F，则AF的最大值为AAFDGEEBC日拱一卒,功不唐捐沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．点D作DE⊥AD，交AB于点E，则线段AE长度的最小值为．ADDCEB【题型7】定角定高面积最小、周长最小问题=90°,探究△ABC面积的最小值和周长的最小值，并AAlBHCADFFBEC【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60o，A【巩固练习2】如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点B、C是直线l上的两个ABCHl的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的日拱一卒,功不唐捐延长线交y轴于点D，连接CD．（2）DAOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；【题型8】米勒角（最大张角）模型【例题1】如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP=.【巩固练习1】如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的日拱一卒,功不唐捐可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点知∠AOB＝30o，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是米.【巩固练习3】辅助圆之定角定高求解探究小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在（3）如图③,某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花CE丄CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，（1）求抛物线解析式【答案】yx2+x+4【铅垂高系列】本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是（2）(☆)若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值，HH【答案】16补充二级结论PDmax=设P，H日拱一卒,功不唐捐PHm2+2m(上面的点减去下面的点)当m时，PH取最大值2，此时△APB面积为：SPH.AO=4(AO是△PBH，△PAH两（3）(☆)若P在直线AB上方，作PF⊥AB，F在线段AB上，求PF最大值HyBFHyBFPAx【答案】2【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上导角可知△PFH~△AOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大yByB45。FP45。EAxyBFPEAx【答案】2＋22和1【思路分析】△PEF形状固定，PF=FEPEPDDHDHCOAxyBPDCOAxyBP【答案】SS1S1EEyBDS2PS1AxyyBDS2PS1Ax1【答案】3【思路分析】化斜为自（7）(★☆)点D是点B关于关于x轴的对称点，连接CD，点P是第一象限上一点，求△PCD面xxCOADyBP【答案】12【思路分析】过动点P作y轴平行线交对边(延长)于点Hh1h2Hh1h2H推导过程如下：以PH为底，设△PHC的高为h1，△PDH的高为h2【几何构造最值篇】（8）(☆)点E是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线l点B、C分别在直线l的异侧CCOEAxyBxxCOEAyB【答案】25【思路分析】m＋n≥BC特殊位置时有最小值，大多数题目都是共线时有最yByBE'MFF'ANxE【答案】25【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题，EM+MN+FN=E'M+MN+NF'≥E'F'yByBNMAx【思路分析】造桥选址问题，C点向上平移2个单位，得到平行四边形CC'NM，MMAyBD'QxyyDBD'MxEQA【答案【思路分析】(1)D’轨迹为圆（2）把A点变为中点，则AM是中位线yByBDIExAOCIAFyBDx【答案】10-2290°,故rAOBIF-r【构造二次函数模型求最值】（13）(☆)P在第一象限，作PQ∥x轴交抛物线于Q，过P、Q作x轴垂线交x轴于H、G两点，QQPHAyBCx【答案】13【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽设P则PHa2+a+4，而P和Q点到对称轴的距离为a-1，则PQ=2a-2，PQGH的周长为：2(PQ+PH)=4a-4-a2+2a+8=-a2+6a+4=-(a-3)2+13≤13yyBExCODA【答案】3PPS1xAEOyBS2DC8【答案】3设PEOyp则BE=a，S1-S2=S△PAC-S△BOC-S△EOCAC.yp-8-a2+4a②当n取最大值时，将直线BN向上平移t个单位，使线段BN与抛物线有两个交点，求t的DDxEACDMxEAyBCOBONy【思路分析】①由勾股定理构造出关于n的函数模型，【详解】①设M坐标为(1，m)∵NM2+BM2=BN2，:(n-1)2+m2+1+(m-4)2=n2+42此时N点坐标为，则t继续向上平移，当△=0，此时只有一个交点-2x+6.x2+x+4日拱一卒,功不唐捐A(1,0)，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．【巩固练习2】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A