全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题55第46讲空间角

第46讲空间角【备选理由】例1考查正四棱柱中多方法求解异面直线所成角;例2考查利用向量法求线面角的正弦值的最大值,侧重对学生基础知识的训练;例3考查已知二面角求线面角;例4考查已知二面角求体积,考查建立空间直角坐标系求平面与平面夹角的余弦值.例1[配例1使用]在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E,F,G分别是CC1,BD,C1D1的中点,则异面直线A1G与EF所成角的余弦值为 (D)A.32 B.C.65 D.[解析]方法一:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2,则AA1=4,可得A1(2,0,4),G(0,1,4),E(0,2,2),F(1,1,0),则A1G=(-2,1,0),EF=(1,-1,-2),所以|cos<A1G,EF>|=|A1G·EF||A1G方法二:设AB=2,则AA1=4,如图所示,取A1B1的中点P,连接AP,PC1,AC1,AC.在正方形A1B1C1D1中,可得PC1∥A1G.在△ACC1中,因为E,F分别是CC1,AC的中点,所以AC1∥EF,所以∠PC1A(或其补角)是异面直线A1G与EF所成的角.在Rt△AA1P中,可得AP=AA12+A1P2=17,在Rt△PB1C1中,可得PC1=PB12+B1C12=5,在Rt△ACC1中,可得AC1=AC2+CC12=26.在△PC1A中,由余弦定理得例2[配例2使用]如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABC⊥平面ACD,△ACD是等边三角形,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F分别是CD,AC的中点,P是BD上一点(不含端点).(1)证明:AD∥平面BEF.(2)若三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上,且球O的表面积为64π3(i)求三棱锥A-BCD的体积;(ii)求直线BE与平面ACP所成角的正弦值的最大值.解:(1)证明:因为E,F分别是CD,AC的中点,所以AD∥EF.因为AD⊄平面BEF,EF⊂平面BEF,所以AD∥平面BEF.(2)(i)如图,连接DF.因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,F为AC的中点,所以点F是△ABC外接圆的圆心.因为△ACD是等边三角形,F是AC的中点,所以△ACD的外接圆的圆心在DF上.又平面ABC⊥平面ACD,所以球O的球心O即为△ACD外接圆的圆心.因为球O的表面积为64π3,所以球O的半径R=4所以DF=23,AC=4,AB=22,所以三棱锥A-BCD的体积V=13S△ABC·DF=13×12×22×22×23(ii)如图,以F为原点,FA,FB,FD所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,23),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),E(-1,0,3),所以BE=(-1,-2,3),AB=(-2,2,0),BD=(0,-2,23),CA=(4,0,0).设BP=λBD,λ∈(0,1),则AP=AB+BP=AB+λBD=(-2,2-2λ,23λ).设平面ACP的法向量为n=(x,y,z),则n·CA=4x=0,n·AP=-2x+(设直线BE与平面ACP所成的角为α,则sinα=|cos<n,BE>|=|n·BE||n||BE|=|-2×3λ+3(λ所以0<sinα=322×7t当且仅当t=75,即λ=25综上所述,直线BE与平面ACP所成角的正弦值的最大值为144例3[配例2使用][2025·江苏泰州四调]如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为2,BD=2,∠A1AD=π3,DG=λDD1,λ(1)证明:AD⊥A1B.(2)请从下列条件①,条件②,条件③中选出两个作为已知条件,使得点G的位置确定.(i)求λ的值;(ii)求直线GB与平面ADD1A1所成的角的正弦值.条件①:三棱锥G-A1AB的体积为1;条件②:AB1=10;条件③:二面角A-A1G-B的余弦值为217解:(1)证明:如图(a),取AD的中点O,连接A1O,BO,A1D.因为AD=AA1=2,∠A1AD=π3所以△A1AD为正三角形,所以AD⊥A1O,因为AD=AB=BD=2,O为AD的中点,所以AD⊥BO,又A1O,BO⊂平面A1OB,A1O∩BO=O,所以AD⊥平面A1OB,又A1B⊂平面A1OB,所以AD⊥A1B.(2)若选①③:(i)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点G在棱DD1上.因为DG∥A1A,DG⊄平面A1AB,A1A⊂平面A1AB,所以DG∥平面A1AB,由(1)可知,AD⊥平面A1OB,所以VG-A1AB=VD-A1AB=VA1所以∠A1OB=π2,即OA1⊥OB,故OA1,OA,OB两两垂直以O为坐标原点,OA,OB,OA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图(b),则B(0,3,0),A(1,0,0),A1(0,0,3),D(-1,0,0),所以AA1=(-1,0,3),BD=(-1,-所以DG=λDD1=λAA1=(-λ,0,3λ所以BG=BD+DG=(-λ-1,-3,3λ),BA1=(0,-3,3设平面BA1G的法向量为n=(x,y,z),则BA1·n=-3y+3z=0,BG·n=易知平面AA1G的一个法向量为m=(0,1,0),由二面角A-A1G-B的余弦值为217得|cos<m,n>|=|λ+1|即2λ2-5λ+2=0,又λ∈[0,1],所以λ=12(ii)方法一:由(i)知GB=32,3,-32,平面ADD1设直线GB与平面ADD1A1所成的角为θ,则sinθ=|cos<GB,m>|=31×94所以直线GB与平面ADD1A1所成的角的正弦值为22方法二:由(i)知点G为棱DD1的中点,如图(c),连接OG,AD1,因为OA1⊥OB,AD⊥OB,OA1,AD⊂平面ADD1A1,OA1∩AD=O,所以OB⊥平面ADD1A1,所以∠OGB为直线GB与平面ADD1A1所成的角.在Rt△OGB中,OG=12AD1=3,OB=3,所以∠OGB=π所以直线GB与平面ADD1A1所成角的正弦值为22若选②③:(i)在△ABB1中,AB=BB1=2,AB1=10,由余弦定理得cos∠ABB1=22+2因为四边形ABB1A1是平行四边形,所以cos∠A1AB=14在△A1AB中,AB=AA1=2,由余弦定理得A1B2=22+22-2×2×2×14=6因为OA1=OB=3,所以A1B2=OA12+OB所以OA1⊥OB,故OA1,OA,OB两两垂直,下同(i)的解法.若选①②,则点G的位置不确定,与题意不符.例4[配例3使用]如图①,在平面四边形ABCD中,AB=AC=CD=2,∠CDA=30°,∠BAD=120°,将△ACD沿AC翻折至△ACP,得到三棱锥P-ABC,如图②.(1)当二面角P-AC-B的大小为60°时,求三棱锥P-ABC的体积;(2)当BP=4时,求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值. 解:(1)∵AC=DC,∴∠CAD=∠CDA=30°,∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°,∴AB⊥AC,则S△ABC=12×2×2=2过点P作AC的垂线,交AC的延长线于点H,∵∠ACP=∠ACD=120°,∴∠PCH=180°-∠ACP=60°,∴PH=PC·sin60°=2×32=3∵二面角P-AC-B的大小为60°,∴点P到平面ABC的距离为PHsin60°=3×32=3∴三棱锥P-ABC的体积为13×2×32(2)∵AB=2,AP=23,BP=4,∴AB2+AP2=BP2,则AB⊥PA.又AB⊥AC,PA∩AC=A,∴AB⊥平面APC.∵PH⊂平面APC,∴AB⊥PH,又PH⊥AC,AC∩AB=A,∴PH⊥平面ABC.以A为原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴,过点A且与PH平行的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,3,3),