全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题53增分微课6与球有关的切、接问题

增分微课6与球有关的切、接问题【备选理由】例1考查三棱锥的外接球,可将三棱锥放入正方体中建立空间直角坐标系,由局部联想到全部,拓展学生的视野;例2考查圆台的内切球,是对其他几何体内切球的补充;例3考查与内切球有关的问题;例4考查棱切球,考查求参数的取值范围,对培养学生直观想象的能力提供了很好的训练;例5考查圆台的外接球,考查三角形面积的取值范围,有利于提升学生的直观想象和数学运算的核心素养.例1[配例1使用][2026·湖北楚天协作体联考]在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=2.若M为该三棱锥外接球上的一个动点,则MB·MC的最小值为 (B)A.-3 B.2-23C.-23 D.4-23[解析]将三棱锥放置在正方体中,三棱锥的外接球就是正方体的外接球,球心O为正方体的中心,以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则P(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),O(1,1,1),设M(x,y,z),三棱锥外接球的半径为R,则2R=22+22+22=23,则R=3,故MO2=|MO|2=R2=3,OB=(-1,1,-1),OC=(-1,-1,1),故OB+OC=(-2,0,0),OB·OC=1-1-1=-1,|MO|=3,|OB+OC|=(-2)2=2.MB·MC=(MO+OB)·(MO+OC)=MO2+(OB+OC)·MO+OB·OC=3+(OB+OC)·MO-1=2+(OB+OC)·MO,设θ=<OB+OC,MO>,由数量积的定义得(OB+OC)·MO=|OB+OC|·|MO|·cosθ=23cosθ,所以MB·MC=2+23cosθ,由余弦函数的性质得当cosθ=-1例2[配例2使用](多选题)[2025·山东潍坊测评]已知圆台O1O2上、下底面的半径分别为1,4,半径为R的球O内切于圆台,则 (ABD)A.R=2B.圆台侧面展开图对应扇环的圆心角为6πC.当过O1的截面与底面所成角为π3时,O2到截面的距离为D.在圆台内放置一个正方体,正方体可绕其中心自由转动,则该正方体棱长的最大值为4[解析]对于A,作出轴截面,如图①,由圆台O1O2上、下底面的半径分别为1,4,得AO2=4,BO1=1,AB=1+4=5,过B作BD⊥AO2,垂足为D,则AD=AO2-BO1=3,故O1O2=BD=AB2-AD2=4,因为半径为R的球O内切于圆台,所以2R=4,故对于B,设圆台O1O2是由大圆锥O3O2截去小圆锥O3O1得到的,小圆锥O3O1的母线长为t,由A得圆台O1O2的母线长为5,设圆台侧面展开图对应扇环的圆心角为α,则α×t=2π,α(t+5)=8π,所以α=6π5,故B正确;对于C,如图②,当过O1的截面与底面所成角为π3时,∠O1TO2=π3,又O1O2垂直于底面,所以∠O2O1T=π6,又O1O2=4,故O2到截面的距离为O1O2×sinπ6对于D,圆台中能放下的最大球的半径为2,直径为4,故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体,当正方体的棱长最大时,正方体为该球的内接正方体,棱长为43=433,故D正确.例3[配例2使用][2025·河南名校联考](1)某工厂有一种水晶球需用礼盒包装,为节省费用,设计的礼盒需刚好卡住球.现有两种设计方案,一种是正方体礼盒(如图①),另一种是圆柱形礼盒(如图②),在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的造价是正方体礼盒的1.6倍,问:工厂选择哪一种礼盒更经济实惠? (2)设某长方体礼盒ABCD-A1B1C1D1的长AB,宽BC,高AA1分别为10cm,8cm,3cm.(i)若用十字捆扎法(如图③),且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行,求所需彩带的总长度(不考虑接口处的彩带长度);(ii)若用对角捆扎法(如图④),且LA1=A1E=IC1=C1H=FB=BG=DK=DJ=2cm,不考虑接口处的彩带,结合(i),比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短?参考数据:2≈1.41,5≈2.24.解:(1)设球的半径为Rm,正方体礼盒的造价为x元/m2,则圆柱形礼盒的造价为1.6x元/m2,记一个正方体礼盒、一个圆柱形礼盒的总造价分别为y1元,y2元,显然R,x,y1,y2都是正数,所以y1y2=6则y1<y2,所以工厂选择正方体礼盒更经济实惠.(2)(i)所需彩带的总长度L1=10×2+8×2+3×4=48(cm).(ii)如图所示,在平面AA1B1B内作EM⊥AB,垂足为M,则EF=MF2+EM同理可得IJ=35cm,HG=LK=5cm,又LE=FG=IH=JK=22cm,所以所需彩带的总长度L2=22×4+35×2+5×2=10+65+82≈34.72(cm),因为34.72<48,所以用对角捆扎法所用的彩带较短.例4[配例3、例5使用][2025·安徽安庆江淮协作区期末]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱切球的表面积为8π,动点E,F分别在线段A1B,A1D上运动,且E,F不与正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点重合,若AE+AF≥λ-EF恒成立,则实数λ的取值范围为 (D)A.(-∞,6+3] B.(-∞,23+2]C.(-∞,3+1] D.(-∞,6+2][解析]由题意可得AE+EF+AF≥λ.因为该正方体棱切球的表面积为8π,所以4π·22AA12=8π,所以AA1=2.将△A1BD,△A1AD,△A1AB展开到同一平面内,如图所示,由题意可得BB'=DB″=A1B'=A1B″=2,BA1=DA1=BD=22,连接B'B″,交BA1于M,交DA1于N,则AE+EF+AF≥B'M+MN+NB″=B'B″.在△A1B'B″中,A1B'=A1B″=2,∠B'A1B″=150°,由余弦定理得B'B″=B'A12+B″A12-2B'A1·B″例5[配例5使用][2025·辽宁大连八中期末]已知圆台上、下底面的圆周都在球心为O的球面上,若球O的半径为1,A,B分别为圆台上、下底面圆周上的动点,且直线OA,OB与圆台底面所成的角分别为π4,π12,则△OAB面积的取值范围为

1[解析]不妨设AE,B0B'分别为圆台上、下底面的直径,AE∥B0B',∠AOB=θ.可令A点保持不动,B点在下底面圆周上运动.如图①,当圆台的上、下底面的圆周在球心O的同侧时,作出圆台的轴截面.因为∠OAE=π4,∠OB0B'=π12,所以∠AOB0=π6,∠AOB'=2π3,所以在B点运动的过程中,θ的取值范围为π6,2π3,所以sinθ∈12,1,当θ=π6时,sinθ取得最小值,当θ=π2时,sinθ取