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培优专题(五)数列与其他知识交汇融合问题例[补充使用][2026·湖南湘潭模拟]在军事信息传输过程中,为了确保信息安全,常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作.为生成密钥序列A,现定义一个简单的加密算法Hk,它的作用是在第k(k∈N*)轮对密钥片段进行一次变换.具体变换规则如下:若k为奇数,则Hk将在第k轮变换中让序列Ak-1的奇数项的值增加1,偶数项的值减少k;若k为偶数,则Hk将在第k轮变换中让序列Ak-1的奇数项的值增加2k,偶数项的值减少2.若初始密钥序列A0=[0,0,0,0,0,0,0,0],An=Hn(An-1)(n∈N*),则加密序列An的所有项之和为an.已知数列{bn}的前n项和为Tn,且满足3Tn=4bn-1.(1)写出A4,并求出bn;(2)求an;(3)证明:∑k=1解:(1)A0=[0,0,0,0,0,0,0,0],则A1=H1(A0)=[1,-1,1,-1,1,-1,1,-1],则A2=H2(A1)=[5,-3,5,-3,5,-3,5,-3],则A3=H3(A2)=[6,-6,6,-6,6,-6,6,-6],则A4=H4(A3)=[14,-8,14,-8,14,-8,14,-8].3Tn=4bn-1,当n≥2时,3Tn-1=4bn-1-1,则3(Tn-Tn-1)=4bn-4bn-1,即bn=4bn-1,又b1=1,所以bn=4n-1.(2)经过H2k-1变换,各项之和增加4[1-(2k-1)]=8-8k,经过H2k变换,各项之和增加4(4k-2)=16故经过H2k-1,H2k两轮变换,各项之和增加8-8k+16k-8=8则a2n=∑k=1n8k=8·(1+2+3+…+n)=8×(1+n当n为偶数时,an=n2+2n,当n为奇数时,an=an-1+4(1-n)=(n-1)2+2(n-1)+4-4n=n2-4n+3.综上,an=n(3)证明:因为∑k=1na2k(所以∑k=1na

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