全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题44第37讲等差数列及其前n项和

第37讲等差数列及其前n项和【备选理由】例1考查对等差数列基本量的计算;例2考查等差数列的实际应用及求等差数列的前n项和;例3考查等差数列的性质;例4考查等差数列的性质.例1[配例1使用](1)[2025·山东名校联考]在等差数列{an}中,已知a1=-9,a3+a5=-9,a2n-1=9,则n= (A)A.7 B.8C.9 D.10(2)[2025·皖南八校开学考试]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a5=-10,S6=-42,则S10= (B)A.6 B.10C.12 D.20[解析](1)由a3+a5=-9,a1=-9,得公差d=32,故a2n-1=a1+(2n-2)d=9,解得n(2)设等差数列{an}的公差为d,因为a3+a5=2a1+6d=-10,S6=6a1+15d=-42,所以a1=-17,d=4,所以S10=10a1+45d=-170+45×4=10.故选B.例2[配例1使用](多选题)[2025·江苏南通统考]在我国古代著名的数学专著里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.则 (AD)A.驽马第七日行九十四里B.第七日良马先至齐C.第八日二马相逢D.二马相逢时良马行一千三百九十五里[解析]由题意可知,两马日行里数均成等差数列,记数列{an}为良马的日行里数,其中首项a1=103,公差d1=13,所以数列{an}的通项公式为an=13n+90,记数列{bn}为驽马的日行里数,其中首项b1=97,公差d2=-0.5,所以数列{bn}的通项公式为bn=-0.5n+97.5.驽马第七日的日行里数为b7=-0.5×7+97.5=94,即驽马第七日行九十四里,故A正确;良马七日行走的总里数S7=103×7+7×62×13=994,因为994<1125,所以第七日良马未至齐,故B错误;设第m日两马相逢,由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍,即103m+m(m-1)2×13+97m-m(m-1)2×0.5=2×1125,解得m=9或m=-40(舍去),即第九日二马相逢,故C错误;由C可知,第九日二马相逢,此时良马行走的总里数S例3[配例2使用](多选题)[2025·湖南长郡中学月考]设Tn为数列{an}的前n项积,若Tn+an=m,其中常数m>0,数列1Tn为等差数列,则mA.0 B.1C.2 D.3[解析]当n≥2时,Tn+an=Tn-1an+an=m,则an=m1+Tn-1=m1+m-an-1,所以1Tn-1Tn-1=1m-an-1m-an-1=1m-m1+m-an-1-1m-an-1=1-an-1m2-man-1(n≥2).因为数列1Tn为等差数列,所以例4[补充使用][2023·新课标Ⅰ卷]设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn=n2+nan,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.解:(1)因为3a2=3a1+a3,所以3d=a3=a1+2d,即a1=d,故an=nd.所以bn=n2+nnd=n+1d,{bn}是首项为2d,公差为1d的等差数列,所以Sn因为S3+T3=21,所以3×4d2+即2d2-7d+3=0,解得d=3或d=12(舍去故{an}的通项公式为an=3n.(2)若{bn}为等差数列,则2b2=b1+b3,即2·2×3a1+d=即a12-3a1d+2d2=0,所以a1=d或a1当a1=d时,an=nd,bn=n+1故Sn=n(n+1)d2又S99-T99=99,所以99×100d2-即50d2-d-51=0,解得d=5150或d=-1(舍去).当a1=2d时,an=(n