全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题45第38讲等比数列及其前n项和

第38讲等比数列及其前n项和【备选理由】例1考查等比数列基本量计算;例2是对等比数列性质的综合考查;例3考查等比数列的判定,结合放缩思想利用等比数列求和公式进行不等式证明;例4考查等比数列前n项和的性质;例5考查等比数列性质的综合应用.例1[配例1使用](1)[2025·山东部分重点中学联考]已知等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a1=1,S7=9S4-8,则S5= (A)A.31 B.65C.15 D.15(2)已知等比数列{an}的前3项和为56,a2-a5=14,则a8= (D)A.4 B.2C.12 D.[解析](1)设等比数列{an}的公比为q,由题意可知q≠1,q>0,由S7=9S4-8,得1-q71-q=9×1-q41-q-8,整理得q7-9q4+8q=q(q3-1)(q3-8)=0,可得(2)设等比数列{an}的公比为q,由题意得a1+a1q+a1q2=56,a1q-a1q4=14,所以q(1-q3)1+q+q2=q(1-q)(1+q+q2)1+q+q2=14,化简得4q2-4q+1=0,解得q=12,代入a1+例2[配例3使用](多选题)[2025·湖南长沙实验中学等多校联考]已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项积为Tn,且m,n,p是互不相等的正整数,则 (ACD)A.若m+n=2p,则aman=aB.若aman=ap2,则m+nC.若Tm=Tn,则Tm+n=1D.若Tm+n=1,则Tm=Tn[解析]设等比数列{an}的公比为q(q>0).对于A,∵m+n=2p,∴aman=a1qm-1a1qn-1=a12qm+n-2=a12q2p-2=(a1qp-1)2=ap2,故A正确;对于B,当q=1时,等比数列{an}的各项均相等,aman=ap2恒成立,故B错误;对于C,由题意得Tn>0,不妨设m<n,∵Tm=Tn,∴a1a2…am=a1a2…amam+1…an,∴am+1am+2…an=1,∴(am+1am+2…an)(am+1am+2…an)=1,即(am+1an)(am+2an-1)…(anam+1)=1,∵am+1an=am+2an-1=…=anam+1,∴am+1an=1,∴Tm+n2=(a1a2…am+n)(a1a2…am+n)=(a1am+n)(a2am+n-1)(a3am+n-2)…(am+na1),∵am+1an=a1am+n=a2am+n-1=…=1,∴Tm+n2=1,∴Tm+n=1,故例3[配例2使用]已知数列{an},{bn}满足a1=1,b1=12,2an+1=an+12bn,2bn+1=12an+(1)证明:数列{an+bn},{an-bn}为等比数列;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,证明:Sn<103证明:(1)依题意得2由①+②可得an+1+bn+1=34(an+bn又a1+b1=32∴数列{an+bn}是首项为32,公比为34由①-②可得an+1-bn+1=14(an-bn又a1-b1=12∴数列{an-bn}是首项为12,公比为14(2)由(1)得,an+bn=32×34an-bn=12×14由③+④可得an=14n+∴Sn=141-14n1-14+例4[配例4使用]记Sn为公比小于1的等比数列{an}的前n项和,若S3=2,S12S6S9=514A.6 B.3C.1 D.1[解析]依题意,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比数列,其首项为2,设其公比为p,则S6=2+2p,S9=2+2p+2p2,S12=2+2p+2p2+2p3,由S12S6S9=514,得2+2p+2p2+2p3(2+2p)(2+2p+2p2)=514,整理得2p2-5p+2=0,由等比数列{an例5[补充使用][2025·云南昭通模拟]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1),a1a2a3=8,则Sn=[解析]当公比q=1时,S2n=2na1,3(a1+a3+…+