全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题46第39讲数列求和

第39讲数列求和【备选理由】例1考查分组求和法;例2考查通项公式及错位相减法求和;例3考查裂项相消法求和;例4考查等差、等比数列的综合及分组(并项)求和法.例1[配例1使用]已知数列{an}的前n项和为Sn,且an≥3,Sn-n=14(an-1)(an+1)(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an+2an}的前n项和T解:(1)因为Sn-n=14(an-1)(an所以4Sn-4n=an2当n=1时,4S1-4=a1解得a1=3或a1=1(舍去);当n≥2时,4Sn-1-4(n-1)=an所以4Sn-4n-4Sn-1+4(n-1)=an2-1-即4an-4=an2-即an2-4an+4=an-12,即(a又an≥3,所以an-2=an-1,即an-an-1=2,所以{an}是以3为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n+1.(2)由(1)可得an+2an=2n+1+22n+1=2n+1+2×4所以Tn=3+2×41+5+2×42+…+2n+1+2×4n=(3+5+…+2n+1)+(2×41+2×42+…+2×4n)=(3+2n+1)n2+8(1例2[配例2使用][2025·江苏淮安、连云港调研]已知等比数列{an}为递增数列,其前n项和为Sn,a2=4,S3=14.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求1×an+3×an-1+5×an-2+…+(2n-1)×a1的值.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由a2=4,S3=14,得4q+4+4q解得q=2或q=12当q=2时,a1=2<a2;当q=12时,a1=8>a2因为{an}为递增数列,所以a1=2,q=2,所以数列{an}的通项公式为an=2×2n-1=2n.(2)令Tn=1×an+3×an-1+5×an-2+…+(2n-1)×a1,由(1)知,an=2n,则Tn=1×2n+3×2n-1+5×2n-2+…+(2n-1)×2,所以Tn2=1×2n-1+3×2n-2+5×2n-3+…+(2两式相减得Tn2=2n+2(2n-1+2n-2+2n-3+…+21)-(2n-1)=2n+2×2(1-2n-1)1-2-(2所以Tn=3×2n+1-(4n+6).例3[配例3使用][2025·山东德州模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足6Sn=(3n+2)an+2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(-1)n+1(6n+1)ana解:(1)因为6Sn=(3n+2)an+2,所以当n=1时,6S1=6a1=5a1+2,所以a1=2,当n≥2时,6Sn-1=(3n-1)an-1+2,所以6Sn-6Sn-1=6an=(3n+2)an-(3n-1)an-1,所以anan-1=3n-13n-4,累乘得anan-1·an-1an-2·…·所以an=3n-1(n≥2),又a1=2符合上式,所以an=3n-1.(2)由(1)得bn=(-=(-1)n+1(所以T100=12+15-15-18+…+13×99-1+13×99+2-13×100例4[配例1使用]已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=2n,数列{bn}满足对任意正整数m≥2均有bm-1+bm+bm+1=1am(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的前99项和.解:(1)因为a1+2a2+…+nan=2n,所以当n≥2时,a1+2a2+…+(n-1)an-1=2(n-1),两式相减得nan=2,所以an=2n(n又a1=2符合上式,所以an=2n(2)由(1)知1an=因为对任意的正整数m≥2,均有bm-1+bm+bm+1=1am=所以数列{bn}的前99项和为b1+b2+b