全品高考备战2027年数学一轮学生用书06第5讲一元二次函数、方程和不等式第1课时二次函数及其性质【答案】听课手册

第5讲一元二次函数、方程和不等式第1课时二次函数及其性质●课前基础巩固【知识聚焦】4ac--∞,-b2-b2【对点演练】1.4[解析]y=-3(x2-4x+4)+4=-3(x-2)2+4≤4.2.f(x)=12x2-2x[解析]由题意,可设f(x)=a(x-2)2-2(a>0),又f(x)的图象过原点,所以f(0)=4a-2=0,解得a=12,所以f(x)=12(x-2)2-2=123.6[解析]∵函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,∴-a+22=1且a+b2=1,∴4.③[解析]由题意可知,函数图象的开口向下,对称轴方程为x=-b2a,且-b25.-∞,-16[解析]当m=0时,函数y=x+2在[3,+∞)上单调递增,不符合题意;当m≠0时,函数y=mx2+x+2的图象的对称轴为直线x=-12m,依题意知m<0●课堂考点探究例1[思路点拨]根据f(2-x)=f(2+x)得到函数f(x)的图象关于直线x=2对称,结合f(x)的图象截x轴所得线段的长度为2,得到f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(1,0)和(3,0),设出f(x)的零点式,将点(4,3)的坐标代入,即可求出f(x)的解析式.x2-4x+3[解析]因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)的图象截x轴所得线段的长度为2,所以f(x)=0的两个根分别为2-1=1和2+1=3,所以二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(1,0)和(3,0),故可设f(x)=a(x-1)(x-3).因为点(4,3)在f(x)的图象上,所以3a=3,解得a=1,故f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.变式题-4x2+4x+7[解析]方法一(利用“一般式”):设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意得4a+2b+c=-1,a-b+方法二(利用“顶点式”):设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f(2)=f(-1)=-1,所以f(x)的图象的对称轴为直线x=2+(-1)2=12,所以m=12.又函数f(x)有最大值8,所以n=8,所以f(x)=ax-122+8.因为f(2)=-1,所以a2-122+8=-1,解得方法三(利用“零点式”):由题可知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数f(x)有最大值8,所以4a(-2a-1)-(-a)24a=8,解得例2[思路点拨](1)根据a>b>c,a+b+c=0,判断出a,c的符号后可得正确的选项;(2)由二次函数的性质得该函数的图象的对称轴不为y轴,当a>0时,对称轴方程为x=-b2a<0,当a<0时,对称轴方程为x=-b(1)D(2)B[解析](1)因为a>b>c,a+b+c=0,所以a+a+a>a+b+c=0,即a>0,所以f(x)的图象开口向上,排除B,C;又c+c+c<a+b+c=0,所以c<0,所以f(0)=c<0,排除A.故选D.(2)由题知b>0,a≠0,所以二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象不关于y轴对称,故①②中图象不满足题意.当a>0时,该二次函数的图象的对称轴为直线x=-b2a,易知x=-b2a<0,故④中图象不满足题意.当a<0时,该二次函数的图象的对称轴为直线x=-b2a,易知x=-b2a>0,图象开口向下,故③中图象满足题意,此时函数图象过坐标原点,故变式题ACD[解析]根据题意,得a<0,因为二次函数的图象过点B(0,1),所以c=1,又顶点在第一象限,所以对称轴方程为x=-b2a>0,则ab<0,所以abc<0,故A正确;二次函数的图象过点A(-1,0),所以a-b+c=a-b+1=0,则a=b-1,故B错误;因为a<0,ab<0,所以b>0,则a=b-1∈(-1,0),故C正确;因为a-b+1=0,所以b=a+1,又a∈(-1,0),所以a+b+c=2a+2∈(0,2),故D正确.例3[思路点拨](1)把a=2代入函数解析式,再判断函数在已知区间上的单调性,即可求解;(2)根据对称轴的位置,分三种情况讨论,分别求出f(x)在已知区间上的最小值,令其为3,解出a的值,即可求解.解:(1)若a=2,则f(x)=4x2-8x+2=4(x-1)2-2,f(x)的图象的对称轴方程为x=1,∴函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增,∴f(x)在区间(-1,2)上的最小值为f(1)=-2,又f(-1)=14,f(2)=2,∴f(x)在区间(-1,2)上的取值范围为[-2,14).(2)f(x)=4x-a22-2a+2,其图象的对称轴方程为①当a2≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增,∴f(x)在[0,2]上的最小值为f(0)=a2-2a由a2-2a+2=3,可得a=1-2.②当0<a2<2,即0<a<4时,f(x)在[0,2]上的最小值为fa2=-2a+2,-2a③当a2≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上单调递减,∴f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)=a2-10a+18,由a2-10a+18=3,可得a=5+10.综上所述,a=1-2或a=5+10变式题解:(1)由函数f(x)=x2-2ax-3,可得f(x)的图象开口向上,且其对称轴为直线x=a,要使得f(x)在[3,+∞)上单调递增,则满足a≤3,所以a的取值范围为(-∞,3].(2)由函数f(x)=x2-2ax-3,可得f(x)的图象开口向上,且其对称轴为直线x=a,当a≤-1时,函数f(x)在[-1,2]上单调递增,所以f(x)在[-1,2]上的最小值为f(-1)=2a-2;当-1<a<2时,函数f(x)在[-1,a]上单调