全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题37第30讲余弦定理、正弦定理应用举例

第30讲余弦定理、正弦定理应用举例【备选理由】例1是测量距离的问题,考查了同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式、余弦定理的应用;例2是测量高度的问题,考查正弦定理、余弦定理的实际应用;例3是测量角度的问题;例4作为对前面例题的补充,希望能提高学生的解题能力.例1[配例1使用]如图,某东西走向的河道上建有两个水监测站P,Q,某时刻在P监测站监测到水位异常,将信号同时发给河流北面的A市与B市.已知A市收到信号的时间是B市的5倍,AB=302km,cos∠BPQ=45,cos∠APQ=725,则监测站P到BA.5km B.10kmC.15km D.25km[解析]因为cos∠BPQ=45,cos∠APQ=725,所以∠APQ,∠BPQ均为锐角,所以sin∠BPQ=1-cos2∠BPQ=1-452=35,sin∠APQ=1-cos2∠APQ=1-7252=2425,所以cos∠APB=cos(∠APQ-∠BPQ)=cos∠APQcos∠BPQ+sin∠APQsin∠BPQ=725×45+2425×35=45.由题意可知PA=5PB,在△APB中,由余弦定理可得AB2=PA2+PB例2[配例2使用]如图,某同学为了测量树干AB的高度,选定与树干底部点B在同一水平面内的C,D两点为观测点,在D点测得树干顶端点A的仰角为30°,D,C两点相距20米,3sin∠DBC=sin∠DCB,3BC=BD.(1)求BD的长度;(2)求∠DAC的余弦值.解:(1)在△DBC中,由正弦定理可得DCsin∠DBC=BDsin∠DCB,因为3sin∠DBC=sin∠DCB,所以BD=3DC,又D,C两点相距20米,所以BD=3DC=203,所以BD的长度为(2)在Rt△ADB中,由在D点测得树干顶端点A的仰角为30°,可得ABBD=tan30°=33,则AB=203×33=20.由3BC=BD,得BC=BD3=20,由BD=DAcos30°,得AD=BDcos30°=20332=40.在Rt△ABC中,由AB=在△DAC中,由余弦定理得cos∠DAC=AD2+AC故∠DAC的余弦值为52例3[配例3使用]如图,某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距(6+2)海里的B处有一艘走私船,正沿南偏东45°的方向以3海里/时的速度向海岸行驶,巡逻艇立即以22海里/时的速度沿着正东方向直线追去,1小时后,巡逻艇到达C处,走私船到达D处,此时走私船发现了巡逻艇,立即改变航向,以原速向正东方向逃窜,巡逻艇立即加速以32海里/时的速度沿着直线追击.(1)当走私船发现巡逻艇时,两者相距多少海里?(2)巡逻艇应该沿什么方向去追,才能追上走私船?解:(1)由题意知,当走私船发现巡逻艇时,走私船在D处,巡逻艇在C处,此时BD=3×1=3,AC=22×1=22.由题意知∠BAC=90°-30°=60°.如图,连接BC,在△ABC中,AB=6+2,AC=22,∠BAC=60°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(6+2)2+(22)2-2×(6+2)×22×12=12,所以BC=23在△ABC中,由正弦定理得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC,即所以sin∠ABC=22,所以∠ABC所以∠CBD=180°-45°-45°-60°=30°.在△BCD中,∠CBD=30°,BD=3,BC=23,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos30°=(23)2+32-2×23×3·cos30°=3,所以CD=3,故当走私船发现巡逻艇时,两者相距3海里.(2)设巡逻艇从C处出发,沿CE方向经过t小时后在E处追上走私船,如图,则CE=32t,DE=3t,CD=3.在△BCD中,由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD=BCsin∠BDC,即3sin30°=3sin∠BCD=23sin∠BDC,所以sin∠BCD=32,所以∠BCD=60°,则∠BDC=90°,所以∠CDE=135°.在△CDE中,由正弦定理得CEsin∠CDE=DEsin∠DCE,则sin∠DCE=3t·sin135°32t=12,所以∠DCE=30°例4[补充使用]如图,为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”,现准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC是两条夹角为120°的公路(长度均超过3千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=3千米,AN=3千米.(1)求MN的长度;(2)若∠MPN=60°,求△PMN的面积的最大值.解:(1)在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·AN·cos120°=3+3-2×3×3×-12=9,所以所以MN的长度为3千米.(2)设∠PMN=α,因为∠MPN=60°,所以∠PNM=120°-α.在△PMN中,由正弦定理得MNsin60°=PMsin(120°-α所以PM=23sin(120°-α),PN=23sinα,所以S△PMN=12PM·PN·sin∠MPN=12×23sin(120°-α)×23sinα×32=33