全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题39第32讲平面向量基本定理及坐标表示

第32讲平面向量基本定理及坐标表示【备选理由】例1考查平面向量线性运算的应用及平面向量基本定理的应用;例2考查平面向量的坐标运算;例3通过向量共线的坐标表示,考查推理论证能力、运算求解能力.例1[配例1使用]平面内三个向量OA,OB,OC的位置如图所示,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23.若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ=6.

[解析]方法一:如图,作平行四边形OB1CA1,则OC=OB1+OA1,因为OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,所以∠B1OC=90°.在Rt△OB1C中,由∠OCB1=30°,|OC|=23,可得|OB1|=2,|B1C|=4,所以|OA1|=|B1C|=4,所以OC=4OA+2OB方法二:以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(1,0),B-12,32,C(3,3),所以OA=(1,0),OB=-12,32,OC=(3,3).由OC=λOA+μOB,得3=λ-12例2[配例2使用][2025·广东中山纪念中学最后一卷]如图,扇形AOB的圆心角为2π3,P是扇形内部(包括边界)任意一点,若OP=xOA+yOB,那么2(x+y)的最大值是A.2 B.3C.4 D.23[解析]以点O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设扇形AOB的半径为r,则A(r,0),B-r2,32r,所以OA=(r,0),OB=-r2,32r,设点P(acosθ,asinθ)0≤a≤r,0≤θ≤2π3,则OP=(acosθ,asinθ),因为OP=xOA+yOB=x(r,0)+y-r2,32r=xr-ry2,32ry,所以xr-y2r=acosθ,32yr=asinθ,所以2x-y=2arcosθ,例3[配例3使用](1)在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=14OA,OD=12OB,AD与BC交于点M,则点M的坐标为(2)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为(3,3).

[解析](1)因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3),所以OA=(0,5),OB=(4,3),又OC=14OA,OD=12OB,所以OC=0,54,OD=2,32,所以C0,54,D2,32.设M的坐标为(x,y),则AM=(x,y-5),又AD=2,-72,A,M,D三点共线,所以AM与AD共线,所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.因为CM=x,y-54,CB=4,74,C,M,B三点共线,所以(2)方法一:由O,P,B三点共线,可设OP=λOB=(4λ,4λ),则AP=OP-OA=(4λ-4,4λ).AC=OC-OA=(-2,6),由AP,AC共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=34,所以OP=34OB=(3,3),所以点P方法二:设点P(x,y),则OP=(x,y),因为OB=(4,4),且OP与OB共线,所以4x-4y=0,即x=y.因为AP