全品高考备战2027年数学一轮学生用书05增分微课4构造法在解决函数、导数问题中的应用【正文】听课手册

导数中构造函数大多以小题方式考查.函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想方法中比较重要的两个思想,而导数中的构造函数的解题思路恰好是这两种思想的体现.类型一逆用导函数思维角度1利用f(x)与x构造函数例1(1)已知定义域为R的函数f(x),对任意的x∈R都有f'(x)>2x,且f(1)=2,则不等式f(2x)-4x2-1>0的解集为 ()A.(0,+∞) B.1C.(1,+∞) D.(2,+∞)(2)已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2026)-(x+2026)2f(-1)<0的解集为 ()A.(-2027,-2026) B.(-2026,0)C.(-∞,-2026) D.(-∞,-2027)变式题[2025·江西南昌三模]已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=-1,对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,则不等式(x+1)f(x+1)>-2的解集是 ()A.(-∞,1) B.(-∞,2)C.(1,+∞) D.(2,+∞)角度2利用f(x)与ex构造函数例2[2025·茂名一模]已知函数f(x)为R上的奇函数,f(2)=0,当x>0时,f(x)+f'(x)>0,不等式(x-1)f(x)<0的解集为 ()A.(-∞,-2)∪(0,1)B.(-∞,-2)∪(1,2)C.(-2,0)∪(0,1)D.(-2,0)∪(1,2)变式题若定义在R上的函数y=f(x)满足f'(x)>2f(x),则当a>0时,f(a)与e2af(0)的大小关系为 ()A.f(a)<e2af(0) B.f(a)>e2af(0)C.f(a)=e2af(0) D.不能确定角度3利用f(x)与sinx,cosx构造函数例3已知定义在-π2,π2上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当0≤x<π2时,f(x)tanx+f'(x)>0,若fπ3=2,则f变式题(多选题)已知函数f(x)对于任意的x∈0,π2都有f'(x)cosx-f(x)sinx>0,则下列不等式成立的是 A.3fπ6>2fB.2fπ4<fC.2f(0)<fπD.2f(0)>fπ总结反思逆用导函数思维构造函数解题的前提是熟悉常见函数的导数公式以及四则运算法则,最好能记住常见的构造模型.下面是常见的构造模型.模型1:对于不等式f'(x)>g'(x),构造函数h(x)=f(x)-g(x).模型2:对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=exf(x).模型3:对于不等式f'(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=f(模型4:对于不等式xf'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=xf(x).拓展:对于不等式xf'(x)+nf(x)>0,构造函数g(x)=xnf(x).模型5:对于不等式xf'(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=f(x)x模型6:对于不等式f'(x)f(x)>0,若f(x)>0,则构造函数h(模型7:当cosx>0时,对于不等式f'(x)>f(x)tanx(或f'(x)<f(x)tanx),即f'(x)cosx-f(x)sinx>0(或f'(x)cosx-f(x)sinx<0),构造函数h(x)=f(x)cosx.模型8:对于不等式f'(x)cosx+f(x)sinx>0,构造函数h(x)=f(类型二具体函数构造例4(1)设a=1e,b=ln33,c=e-2+ln2,则a,b,cA.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a(2)[2026·南通模拟]已知lnx5=x-5且0<x<5,lny4=y-4且0<y<4,lnz3=z-3且0<z<3,则 A.z<y<x B.y<z<xC.x<z<y D.x<y<z总结反思此类问题常化为结构相同的双变量结构,构造新函数,利用新函数的单调性解决.变式题(1)已知α,β均为锐角,且α+β-π2>sinβ-cosα,则 (A.sinα>sinβ B.cosα>cosβC.cosα>sinβ D.sinα>cosβ(2)[2022·全国甲卷]已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,则 A.c>b>a B.b>a>cC.a>b>c D.a>c>b类型三同构例5(1)[2025·烟台三模]若不等式xex-x-lnx-a≥0恒成立,则实数a的取值范围为 ()A.(0,1] B.(0,e-1]C.(-∞,1] D.(-∞,e-1](2)[2025·玉溪三模]设函数f(x)=x+ex,g(x)=x+lnx,若存在x1,x2,使得f(x1)=g(x2),则x1ex1-x2的最大值为A.-1 B.-2 C.-e D.-3总结反思与ex和lnx相关的常见同构模型:①aea≤blnb⇔ealnea≤blnb,构造函数f(x)=xlnx或g(x)=xex;②eaa<blnb⇔ealnea<blnb,构造函数f(③ea±a>b±lnb⇔ea±lnea>b±lnb,构造函数f(x)=x±lnx或g(x)=ex±x.变式题(1)已知函数f(x)=1x-lnx,g