第三章应变状态

第三章应变物体变形位移与应变的基本关系－几何方程应变状态分析位移的单值连续性质目录§3.1变形与应变概念§3.2主应变与主应变方向§3.3应变协调方程§3.1

变形与应变概念由于外部因素

物体内部各点空间位置发生变化位移形式刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。——载荷或温度变化位移——位移u，v，w是单值连续函数进一步分析位移函数具有连续的三阶导数一点的变形通过微分六面体单元描述微分单元体的变形，分为两部分讨论正应变——棱边的伸长和缩短

切应变——棱边之间夹角（直角）改变§3.1变形2几何方程

位移分量和应变分量之间的关系

几何方程又称柯西方程微分线段伸长——正应变大于零微分线段夹角缩小——切应变分量大于零§3.1变形3几何方程——位移导数表示的应变应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形原因是没有考虑单元体位置的改变——单元体的刚体转动

刚性位移可以分解为平动与转动刚性转动——变形位移的一部分，但是不产生变形。§3.1变形4微分单元体的刚性转动与协调相关转动矢量描述微分单元体的刚性转动转动分量

刚体转动位移增量变形位移增量位移增量是由两部分组成的§3.1变形5变形通过应变描述

坐标变换时，应变分量随坐标转动而变化。应变分量的转轴公式应变张量§3.2

主应变与主应变方向应变状态——应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。主应变与应变主轴

切应变为0的方向

应变主轴方向的正应变应变主轴——主应变——§3.2主应变2应变状态特征方程l，m，n齐次线性方程组非零解的条件为方程系数行列式的值为零展开

§3.2主应变3主应变确定

——应变主轴方向变形应变不变量第一，第二和第三应变不变量

一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状态是确定的。应变不变量就是应变状态性质的表现§3.2主应变4应力张量——应变张量应力不变量——应变不变量主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的公式比较§3.2主应变5体积应变——弹性体一点体积的改变量引入体积应变有助于简化公式§3.2主应变6§3.3

应变协调方程数学意义：几何方程——6个应变分量通过3个位移分量描述力学意义——变形连续弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束例3-1设

ex=3x,ey

=2y,gxy

=xy,ez

=gxz

=gyz

=0,求其位移。解：显然，该应变没有对应的位移。如果通过几何方程求解位移，则六个应变分量必须满足一定的条件。§3.3应变协调2要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和x求二阶偏导数，然后相加可得§3.3应变协调3将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，则对x求一阶偏导数，则

分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式

§3.3应变协调4将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，则应变协调方程——圣维南（SaintVenant）方程

§3.3应变协调5变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。§3.3应变协调6证明——应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。目标——如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。利用位移和转动分量的全微分，则轮换x,y,z，可得du，dv和dwy，dwz

§3.3应变协调7如通过积分，计算出

是单值连续的，则问题可证。

保证单值连续的条件是积分与积分路径无关

§3.3应变协调8根据格林公式回代§3.3应变协调9回代到第四式

wx单值连续的必要与充分条件是

同理讨论wy，wz的单值连续条件，可得其它4式——变形协调方程。由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。

§3.3应变协调10变形协调方程——单连通域位移单值连续的必要和充分条件多连通域位移单值连续的必要条件充分条件是位移的连续补充条件§3.3应变协调11位移边界条件

应变满足变形协调方程，保证弹性体内部的变形单值连续。边界变形协调要求边界位移满足位移边界条件。位移边界条件——临近表面的位移或和变形与已知边界位移或变形相等。§3.3应变协调12如果物体表面的位移已知，称为位移边界位移边界用Su表示。如果物体表面的位移

已知边界条件为称为位移边界条件§3.3应变协调13设物体表面为S位移已知边界Su面力