湖南长沙市第一中学2026届高三5月数学模拟卷一（原卷版）

第1页/共1页高三数学模拟卷一注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，为实数，虚数是方程的根，则的值为（）A. B. C.2 D.43.若函数的定义域为，则“函数的图象关于点中心对称”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量，，，，均为实数，且，，则（）A.25 B.16 C.5 D.45.下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（）A.，且 B.，且C.，且 D.，且6.如图，圆柱的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（）A. B. C. D.7.已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.取值范围为二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.已知正三角形的边长为6，记其面积为，取各边中点连接得到新的正三角形，记其面积为，依此规律，得到一系列正三角形，其面积记为，设.则下列说法正确的有（）A.数列是首项为，公比为的等比数列B.前3个正三角形的面积之和为C.存在正整数，使得D.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数有三个零点B.C.曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则D.若方程有三个不同的实数根，，，则11.如图，一张半径为的圆形纸片的圆心为点，是圆内的一个定点，是圆上任意一点，把纸片折叠使得点与重合，折痕与直线PE相交于点，为的中点，，在折痕上的投影分别为，，则（）A. B.C. D.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________.13.若，且，则______.14.已知数列满足，，，对任意不等于的正整数，都有，则实数的取值范围是______四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）若，，求的面积；（2）若，求的值.16.已知函数（1）设，分别讨论函数与在上的单调性；（2）证明：当时，.17.如图，在三棱锥中，侧棱底面，且，，点为棱的中点，四面体的外接球与直线的另一交点为.（1）证明：平面；（2）若，三棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值.18.某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为.（1）求随机变量的分布列；（2）设.（ⅰ）用含的式子表示；（ⅱ）证明：是等比数列，并求.19.已知双曲线：（，），过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点.设PQ的中点为，且当直线的斜率为1时，点的坐标为.（1