2026年山东淄博市高三三模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年数学科高考仿真模拟试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足，则（

）A． B． C．1 D．2．已知全集是小于12的素数，集合，则（

）A． B． C． D．3．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（

）A． B．C． D．5．已知正四棱台上､下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为（

）A． B．688 C． D．8886．已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．7．将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列时，五张牌的排法总数为（

）A．8 B．10 C．13 D．168．已知双曲线的左､右焦点分别为、，分别过、作斜率为、的直线、，若和的交点在双曲线上，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设随机事件A，B满足，，，则（

）A． B．，相互独立 C． D．10．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元／件）的情况如下表所示.则（

）售价x（元/件）1011121314月销售量y（千件）109975参考公式：①；②；③.参考数据：，，，.A．y关于x的线性回归方程为：B．相关系数（小数点后保留两位）C．当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件D．在线性回归方程的估计下，样本点的残差为11．对于一个函数和一个点，令，若有最小值，则称点是M在的“最近点”.则（

）A．对于，点，则点是M在的“最近点”B．对于，点，则点是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直C．已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，.则对任意的，的中点同时是，在的“最近点”D．已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，.若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，则单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______．13．设正项数列，，，则的前n项和为________．14．已知在中，，，则向量在上的投影向量的模的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，．(1)求A，C；(2)若，求a，c．16．已知函数.(1)当，时，求的极值；(2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围.17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，．(1)证明：平面；(2)若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求．18．已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过F与垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点.(1)若，求点M的横坐标；(2)证明：直线过定点；(3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值.19．盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同.甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中.直至盒中红球已被全部取出，游戏结束.第一次摸球从甲开始，记为第n次摸球后游戏结束的概率.(1)求，；(2)求；(3)若摸球次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量，证明：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【详解】因为，所以，故．2．B【分析】先求出全集中的元素（素数（质数）），再利用概念以及补集的运算求解即可.【详解】由题知全集是小于12的素数，因为，所以.故选：B.3．B【详解】，，，，故“”是“”的必要条件，当，假设时，，此时，则，故“”是“”的不充分条件，综上：“”是“”的必要不充分条件．4．C【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得.【详解】由，得，由的图象在区间上恰有一个对称中心，得，所以.故选：C5．B【分析】根据正棱台的性质求出高，再利用体积公式计算.【详解】如图，正四棱台，取上下底面正方形的中心，再取分别为的中点，过作，则由题意可得，，则，则在中，，则该四棱台积为.故选：B6．A【分析】由已知可得点在以为直径的圆上，再利用圆与圆的位置关系求出的范围.【详解】由点及，得点在以为直径的圆上，其圆心，半径，而圆的圆心，半径，又点在圆上，因此，即，则，又点与点都不重合，即，则，即，所以实数m的取值范围是.7．D【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合等差数列的意义列式求解.【详解】从中取3个成等差数列的数有；；；共4种，而每种情况按公差正负有2种，后两个位置有2种排列方法，所以符合条件的排法总数为.8．C【分析】根据双曲线定义得到焦点坐标，即可根据斜率和点的坐标利用点斜式写出的直线方程；联立方程得到交点坐标，根据交点在双曲线上建立的齐次式求出离心率．【详解】由题意知：，则直线方程：；直线方程：；联立方程可得交点坐标：，因为交点在双曲线上，故满足双曲线方程，代入可得：；由双曲线定义可知，满足：；代入；可得：，两边同乘去分母可得：，即：，两边同除，可得：，即；解得或；因为双曲线离心率；故，因此双曲线的离心率为．9．ABD【分析】根据事件的和与事件的关系可得，根据独立事件的定义即可判断A，B；利用条件概率公式计算即可判断C，D.【详解】随机事件A，B满足，，，又，所以，又，所以，相互独立，故A,B正确；，故C不正确；因为，所以，又因为，相互独立，则也相互独立，所以，故D正确.故选：ABD.10．ABD【分析】由已知公式求得线性回归方程可判断ACD，由相关系数计算公式可判断B.【详解】计算均值：，，选项A：根据公式，，线性回归方程为，A正确；选项B：相关系数，B正确；选项C：代入回归方程：，预测月销售量为千件，不是千件，C错误；选项D：时，，残差，D正确.11．AB【分析】对于A，由题意得sx=x2+1x2，利用基本不等式结合函数新定义即可判断；对于B，由题意得【详解】A.对于，点，sx当且仅当即时取等号，故对于点M0, 0，存在点，使得该点是M0,B.由题设可得sx则s'x=2x-1+2则s'x=2而，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故sxmin=s而f'x=ex, 而，故，故直线与在点处的切线垂直.D.设s1x=而s's'若对任意的，存在点同时是M1, M2设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在，使得s'1即s's'由①②相减得4+4gt⋅f即，又因为函数在定义域上恒正，则f'接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则s1即，③，④③④得2x即，因为x0-t则x0-t=0f则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减，D错误.C.由D的分析可知存在点P同时是，在的“最近点”，则单调递减，满足在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，但不单调递减，故对任意的，的中点不是，在的“最近点”，C错误.12．【分析】根据奇函数的性质及得是周期为6的函数，再应用周期性和奇函数的性质求函数值.【详解】由题设，用代替，则，故，所以，即是周期为6的函数，所以.13．【详解】已知，则，已知数列是正项数列，则，故是首项是1，公差是1的等差数列，，，的前n项和为：．14．##【分析】根据题意结合投影向量可得投影向量的模为12【详解】因为，，则AM⋅可得向量在上的投影向量的模为，当且仅当12AB=所以向量在上的投影向量的模的最小值为.15．(1)A=(2)a=2,【分析】（1）根据已知条件，由余弦定理结合三角形面积公式求出，结合三角形内角求出，利用得出关系，分类讨论求出；（2）利用正弦定理和三角形面积公式计算求解．【详解】（1），，又，，，,所以,（舍）或B−A+B=π，当B−A+B=π时，，，，综上，A=π（2）由（1）知，，由正弦定理，，，．16．(1)极大值为，极小值为(2)【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性和极值；（2）求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性和最值，结合题意可得，利用函数单调性解不等式即可.【详解】（1）当a=4, b=3其定义域为，且，令，解得或；令，解得，100单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的极大值为，极小值为.（2）若，则的定义域为，且，当时，则，可知函数在上单调递增，所以函数无最大值，不合题意；当时，令，解得；令，解得；可知函数在上单调递增，在上单调递减，则函数的最大值为，因为的最大值小于，即，可得，设，，可知在上单调递增，且，由不等式可得，所以的取值范围为.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明，即可证明平面；（2）建立空间直角坐标系，由（1）知平面，即可得，再求平面和平面的法向量即可求出.【详解】（1）底面是菱形，，平面，且平面，.又，平面,平面，平面，，又，且平面，，平面，平面，，，，即，又平面，且，平面．（2）以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，,,又,在中由勾股定理得,即,.，，，，平面，与平面所成的角为，平面，是平面的一个法向量，平面，平面，平面平面，设，只需，则平面，则，令，则，，.18．(1)2(2)证明见解析(3)8【分析】（1）由抛物线焦半径公式可得；（2）思路一设出两直线、方程，直曲联立，用韦达定理表示坐标，点斜式写出直线方程，再由两直线垂直得到，找到定点；思路二设出两点坐标，直曲联立，用韦达定理得到坐标，再得到直线方程，找到定点；（3）法一表示出，用基本不等式得到，用直线过定点得到，最后得到面积的最小值；法二由图形的几何关系得到，再由（2）中的法2可得，最后由基本不等式得到面积的最小值.【详解】（1）由题意知（2）思路一：由：，故，由直线与直线垂直，故两只直线斜率都存在且不为0，设直线、分别为，，有，、、、，联立：与直线，即有，消去x可得，，故、，则，故，，即，同理可得，当时，则：，即，由，即，故时，有，此时过定点，且该定点为，当时，即时，由，即时，有：，亦过定点，故直线过定点，且该定点为；思路二：设，，不妨设.设：，则.由，得，故，，，.所以.同理可得.若，则直线：，过点.若，则直线：，过点.综上，直线过定点.（3）思路一：由、、、，则：，由、，故，同理可得：，联立两直线，即，有，即，有，由，同理，故，故，过点作轴，交直线于点，则，由、，故，当且仅当时，等号成立，下证；由抛物线的对称性，不妨设，则，当时，有，则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方，有，由直线过定点，此时，同理，当时，有点G在x轴下方，点Q亦在x轴下方，有，故此时，当且仅当时，，故恒成立，且时，等号成立，故.思路二：设为的中点，为直线与的交点.由，分别为，的中点知，所以，故.设为直线与的交点，同理可得.所以.由（2）中的法2可得，同理可得.所以，当且仅当时等号成立.因此的面积的最小值为8.19．(1)，(2)P(3)证明见解析【分析】（1）根据古典概型公式求解；（2）游戏在第次结束，可能前次全摸0红，第次摸2红；可能前次有1次摸1红，第次摸1红；记第次摸到两个红球的概率为，得到，用等比数列求和公式化简；（3）法一：设甲摸到第一个红球的概率之和为，通过计算与的表达式，证明；法二：利用各项概率之间的递推关系进行放缩，证明.【详解】（1），.（2）若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球，