2021届广东省湛江市第二高级中学高三下学期3月模拟数学试题

第页，共页广东省湛江市第二高级中学2021届高三下学期3月模拟数学试题一、单选题（本大题共8小题）1.已知集合，，则（）A．2， B． C． D．2，2.设命题,,则命题成立是命题成立的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.已知，，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．4.已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，平面，且，则该三棱锥外接球的表面积为A． B． C． D．5.设为等比数列，为等差数列，且为数列的前项和，若，，且，则（）A．20 B．30 C．44 D．886.的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．7.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是A．函数的一条对称轴是B．函数的一个对称中心是C．函数的一条对称轴是D．函数的一个对称中心是8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点在以为圆心，以半焦距为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3二、多选题（本大题共4小题）9.年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间，当月在售二手房均价(单位：万元/平方米)的散点图.(图中月份代码分别对应年月年月)根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法正确的是（）A．当月在售二手房均价与月份代码呈负相关关系B．由预测年月在售二手房均价约为万元/平方米C．曲线与都经过点D．模型回归曲线的拟合效果比模型的好10.下列命题中，真命题的是（）A．若为实数，则 B．若，则为实数C．若为实数，则为实数 D．若为实数，则为实数11.已知抛物线的焦点为，、是抛物线上两动点，是平面内一定点，下列说法正确的有（

）A．抛物线准线方程为B．若，则线段中点到轴距离为C．的周长的最小为D．以线段为直径的圆与准线相切12.已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（）A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点C．函数必有2个零点 D．三、填空题（本大题共4小题）13.已知函数，则不等式的解集是14.在直角三角形ABC中，，，，若则．15.若，则.16.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为.（附：若随机变量服从正态分布，则）四、解答题（本大题共6小题）17.设各项都是正整数的无穷数列满足：对任意，有记．（1）若数列是首项，公比的等比数列，求数列的通项公式；（2）若，证明：；（3）若数列的首项，，是公差为1的等差数列．记，，问：使成立的最小正整数n是否存在？并说明理由．18.在中，，，分别为角，，对边，且同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.（1）满足有解的序号组合有哪些？（2）在（1）的组合中任选一组，求的面积.19.在一段时间内，分5次测得某种商品的价格(万元)和需求量()之间的一组数据为：12345价格1.41.61.822.2需求量1210753已知.(1)求出对的线性回归方程；(2)如价格定为万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01t)．参考公式：.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，．（1）证明：平面（2）若直线BD与平面PBC所成的角为，求二面角的大小．21.已知椭圆的离心率为，经过点B（0，1）．设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．22.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围．

参考答案1.【答案】B【分析】先求出B，再求.【详解】因为集合，，所以．故选：B2.【答案】A【分析】解二次不等式得出x取值范围，比较两个命题中x范围的大小，范围小的为范围大的充分不必要条件.【详解】解二次不等式可得：，显然命题p中x范围小于命题q中x范围，所以命题p为命题q的充分不必要条件.故选A.3.【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.【详解】，，，又，即.因此，.故选：B.4.【答案】D【分析】由于球中球心与球的小圆圆心的连线垂直于这个小圆，利用也垂直于这个小圆，即可利用球心与小圆圆心建立起直角三角形，，根据题意可求出是底面三角形的外接圆的半径，利用计算即可，最后即可求出球的表面积．【详解】由已知得，作下图，连结，延长至圆上交于H，过作交于，则为，所以，为斜边的中点，所以，为的中位线，为小圆圆心，则为的中点，则，则，，则球的半径球的表面积为答案选D.5.【答案】C【分析】利用等差数列的性质可求出，再利用即可得解.【详解】为等比数列，又，，又为等差数列，.故选：C.6.【答案】D【分析】将展开，从而得到含的项为，计算其系数，即可得答案；【详解】将展开，得，则原展开式中含的项为，整理可知其系数为98．故选：D．7.【答案】C【分析】利用诱导公式、函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，可得y＝2sin（2x）的图象，然后纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）＝2sin（2x）＝2cos2x的图象，令x，求得g（x）＝0，可得（，0）是g（x）的一个对称中心，故排除A；令x，求得g（x）＝﹣1，可得x是g（x）的图象的一条对称轴，故排除B，故C正确；令x，求得g（x），可得x不是g（x）的图象的对称中心，故排除D，故选C．8.【答案】C【分析】根据对称性可得，可得，，渐近线的倾斜角为，即可得，即可求离心率．【详解】解：如图，根据对称性可得，∴，，所以渐近线的倾斜角为60°，，则双曲线的离心率为.故选:C.9.【答案】BD【分析】根据散点图的分布可判断A选项的正误；将代入回归方程可判断B选项的正误；根据非线性回归曲线不一定经过可判断C选项的正误；根据回归模型的拟合效果与的大小关系可判断D选项的正误.【详解】对于A，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y与月份代码x呈正相关关系，故A不正确；对于B，令，由，所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米，故B正确；对于C，非线性回归曲线不一定经过，故C错误；对于D，越大，拟合效果越好，由，故D正确.故选：BD10.【答案】ABC【分析】根据复数相关定义和概念，结合选项进行逐一分析即可.【详解】不妨设，故可得，若为实数，则，故，故正确；若，故可得，故可得，则，故正确；若为实数，故可得，显然，故正确；若，即，无法得到，故错误.故选：ABC.11.【答案】BC【分析】求出抛物线的准线方程，可判断A选项的正误；求出线段中点的纵坐标，可判断B选项的正误；利用抛物线的定义可判断C选项的正误；利用点、没有任何限制可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，焦点，故A错；对于B选项，设点、，由抛物线的定义可得，可得，所以，线段的中点到轴的距离为，故B对；对于C选项，设在准线上投影为，，，当、、三点共线时取最小值，所以的周长的最小值为，故C对；对于D选项，因为点、没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，所以以线段为直径的圆与准线不一定相切，故D错.故选：BC.12.【答案】BD【分析】对函数求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用在上为增函数，比较与的大小关系，判断出选项D．【详解】函数，则，当时，，故在上为增函数，A错误；当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；若，则有两个零点，若，则有一个零点，若，则没有零点，故C错误；在上为增函数，则，即，化简得，D正确；故选：BD13.【答案】【分析】易得函数为奇函数，再由导数法得到函数在R上为增函数，然后将转化为求解.【详解】根据题意，函数，因为，所以函数为奇函数，又因为，所以函数在R上为增函数；因为，所以，即，所以，解得；所以不等式的解集为，故答案为：14.【答案】18【分析】在直角三角形ABC中，由已知条件可得，将作为基底，表示，然后利用数量积的运算律求解即可【详解】解：在直角三角形ABC中，，，若，故答案为：1815.【答案】【分析】由得，进而得，再根据诱导公式化简求解即可.【详解】解：因为，整理可得，可得，则．故答案为：16.【答案】【分析】由题意可知，结合题意得出，，再由，即可得出答案.【详解】由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布，得，．测量体温误差在区间内的概率为：．故答案为：．17.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在；5．【分析】（1）根据题意求出等比数列的通项公式即可解出；（2）根据反证法，排除和，即可证得；（3）先根据利用夹逼原理可证，从而求得数列的通项公式，再根据错位相减法可求出，即可求解出使成立的最小正整数n．【详解】（1）数列是首项，公比的等比数列，，，；（2）根据反证法排除和．证明：假设，和当时，与矛盾，；当时，即，又，与矛盾；由可知．（3）首先是公差为1的等差数列，证明如下：，时，，，，即，即，又，，即是等差数列．又的首项，，，对此式两边乘以2，得，两式相减得，，即，当时，，即存在最小正整数5使得成立．18.【答案】（1）①③④或②③④；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）利用余弦定理由条件①得，由条件②得，由于，与矛盾，所以不能同时满足①②，经验证①③④作为条件和②③④作为条件，都有解，（2）若选择组合①③④，由计算出，再利用三角形面积公式即可求出结果，若选择组合②③④，因为，利用勾股定理求出的值，再利用三角形面积公式即可求出结果．【详解】（1）由条件①得，由条件②得，即，解得或（舍），因为，所以.因为，，而在单减，所以.于是，与矛盾.所以不能同时满足①②.当①③④作为条件时：有，即，解得.所以有解.当②③④作为条件时：有，即.解得.因为，所以，为直角三角形，所以有解.综上所述，满足有解三角形的所有组合为：①③④或②③④.（2）若选择组合①③④：因为，所以.所以的面积.若选择组合②③④：因为，所以所以的面积.19.【答案】(1)(2)【分析】(1)本题首先可以计算出与的平均值，然后通过线性回归方程中的以及的计算方法即可计算出以及的值，最后得出结果；(2)将代入线性回归方程中即可得出结果．【详解】(1)因为，，，，所以，故对的线性回归方程为．(2)()．20.【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）先证明，利用线面垂直的判定定理证明平面（2）以D为坐标原点，射线DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦值，直接得到二面角的大小．【详解】解：（1）因为四边形ABCD是边长为2的正方形，得又，即，又，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，又平面PCD，所以同理，．又，平面ABCD，平面ABCD，所以平面（2）以D为坐标原点，射线DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，设平面PBC的一个法向量为，由得不妨令，得，而，所以解得设平面PBD的一个法向量为，，由得令，得，所以，易知二面角为锐角，故二面角的大小为．21.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）根据离心率为的椭圆过点，结合，列出、、的方程，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设，则，经分析可知要使的面积是的3倍，等价于，由此可表示出点的坐标，由点在线段上与点在椭圆上分别代入直线与椭圆的方程化简可得到关于的一元二次方程，解方程即可知是否存在直线，使得的面积是的面积的3倍．【详解】（Ⅰ）由题意可知：，解得．∴椭圆G的标准方程为．（Ⅱ）设，则，可知．若使的面积是的面积的3倍，只需使得，即，即．由，∴直线的方程为．∵点在线段上，∴，整理得，①∵点在椭圆上，∴，②把①式代入②式可得，∵判别式小于零，该方程无解．∴不存在直线，使得的面积是的面积的3倍．22.【答案】（1）见解析（2）[，+∞）【分析】（1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得