2021年山东省日照市高考二模数学试卷

2021年山东省日照市高考数学适应性试卷（二模）一、单项选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．（2，3） B．[2，3） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1）2．已知i为虚数单位，复数z＝sin﹣icos，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知||＝，||＝4，当⊥（4﹣）时，向量与的夹角为（）A． B． C． D．4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作﹣个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A． B． C． D．5．已知数列{an}是等比数列，Tn是其前n项之积，若a5•a6＝a7，则T7的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．若实数x、y满足条件x2+y2＝1，则的范围是（）A．[0，] B．[﹣3，5] C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣]7．地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：安全出口编号m1，m2m2，m3m3，m4m1，m3疏散乘客时间（s）120140190160则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A．m1 B．m2 C．m3 D．m48．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x﹣1）是奇函数，当0≤x≤1时，有，若函数y＝f（x）﹣k（x﹣2021）的零点个数为5，则实数k取值范围是（）A． B． C．或k＝﹣ D．或二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。9．已知曲线C的方程为，则（）A．当m＝1时，曲线C为圆 B．当m＝5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 C．当m＞1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆 D．存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（）A．54周岁以上参保人数最少 B．18～29周岁人群参保总费用最少 C．丁险种更受参保人青睐 D．30周岁以上的人群约占参保人群20%11．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，以下结论正确的是（）A．四边形BFD1E不一定是平行四边形 B．平面α分正方体所得两部分的体积相等 C．平面α与平面DBB1可以垂直 D．四边形BFD1E面积的最大值为12．若实数t≥2，则下列不等式中一定成立的是（）A．（t+3）ln（t+2）＞（t+2）ln（t+3） B．（t+1）t+2＞（t+2）t+1 C．1+＞logt（t+1） D．log（t+1）（t+2）＞log（t+2）（t+3）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的选法有种．14．若不等式（x﹣a）2＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数a的取值范围是．15．球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A，B，C是球面上不在同一大圆上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC．已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点．若P，Q在赤道上，且经度分别为东经20°和东经60°，则球面△NPQ的面积为．16．如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为O'，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE＝4．若光线与地面所成角为θ，椭圆的离心率e＝．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2ccosC＝acosB+bcosA．（1）求C的大小；（2）若b＝3a，c＝，求△ABC的面积．18．已知正项数列{an}，其前n项和为Sn，an＝1﹣2Sn（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式：（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∠ACB＝∠ACD＝θ．（Ⅰ）证明：AC⊥BD；（Ⅱ）有三个条件：①θ＝60°；②直线AC与平面BCD所成的角为45°；③二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．请你从中选择一个作为条件，求直线BC与平面ACD所成的角的正弦值．20．近年来，随着猪肉价格的上涨，作为饲料原材料之一的玉米，价格也出现了波动．为保证玉米销售市场稳定，相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施．该部门调查研究发现，这一年某地各月份玉米的销售均价（元/斤）走势如图所示：（1）该部门发现，3月到7月，各月玉米销售均价y（元/斤）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），若不调控，依据相关关系预测12月份玉米的销售均价；（2）该部门在这一年的12个月份中，随机抽取3个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．21．已知抛物线E：y2＝2px，过抛物线E上一点C（1，3）作直线CA，CB交抛物线于A，B两点，交x轴于D，F两点，且CD＝CF．（1）求E的方程：（2）求△ABC的面积，并判断是否存在最大值，若存在请求出最大值，不存在请说明理由．22．已知，其中a＞0且a≠1．（1）若a＝2，φ（x）＝f'（x），曲线y＝φ（x）在点（t，φ（t））处的切线为l，求直线l斜率的取值范围：（2）若f'（x）在区间（0，2π）有唯一极值点x0，①求a的取值范围；②用min{a，b，c}表示a，b，c的最小值．证明：f'（x0）＜min{2aπ，（1﹣a）π}．

参考答案一、单项选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．（2，3） B．[2，3） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1）解：∵A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝[﹣2，1）．故选：C．2．已知i为虚数单位，复数z＝sin﹣icos，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：∵z＝sin﹣icos＝﹣sin+icos＝，∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．3．已知||＝，||＝4，当⊥（4﹣）时，向量与的夹角为（）A． B． C． D．解：根据题意，设向量与的夹角为θ，若⊥（4﹣），则•（4﹣）＝4•﹣2＝16cosθ﹣16＝0，变形可得：cosθ＝，又由0≤θ≤π，则θ＝，故选：B．4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作﹣个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A． B． C． D．解：设O为正六棱锥S﹣ABCDEF底面内切圆的圆心，连接OA，OB，如图所示：由题意可知∠AOB＝，∠SAB＝，∴OA＝AB，SA•cos（）＝SA•sinθ＝AB，∴，设内切圆半径为r，则tan＝，r＝，∴侧棱与底面内切圆的半径的比为．故选：A．5．已知数列{an}是等比数列，Tn是其前n项之积，若a5•a6＝a7，则T7的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵数列{an}是等比数列，Tn是其前n项之积，a5•a6＝a7，∴a1q4•a1q5＝a1q6，解得a1q3＝1，∴T7＝a1•a2•a3•a4•a5•a6•a7＝a17q21＝（a1q3）7＝1．故选：A．6．若实数x、y满足条件x2+y2＝1，则的范围是（）A．[0，] B．[﹣3，5] C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣]解：令x＝cosα，y＝sinα，则＝，令＝t，得tcosα﹣sinα＝﹣2﹣t，有sin（φ﹣α）＝﹣2﹣t，（tanφ＝）．则sin（φ﹣α）＝，由≤1，解得t≤﹣，所以的范围是（﹣∞，﹣]．故选：D．7．地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：安全出口编号m1，m2m2，m3m3，m4m1，m3疏散乘客时间（s）120140190160则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A．m1 B．m2 C．m3 D．m4解：由同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，同时开放m3，m4疏散1000名乘客所需的时间为190s，所以m2比m4疏散乘客快，由同时开放m3，m4疏散1000名乘客所需的时间为190s，同时开放m1，m3疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以m1比m4疏散乘客快，由同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，同时开放m1，m3疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以m2比m1疏散乘客快，由同时开放m1，m2疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以m1比m3疏散乘客快，综上所述：m2＞m1，m1＞m3，m1＞m4，m2＞m3，所以疏散乘客最快的一个安全出的编号是m2，故选：B．8．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x﹣1）是奇函数，当0≤x≤1时，有，若函数y＝f（x）﹣k（x﹣2021）的零点个数为5，则实数k取值范围是（）A． B． C．或k＝﹣ D．或解：∵f（x﹣1）是奇函数，∴f（x）的图象关于（﹣1，0）对称，又f（x）为偶函数，∴f（x）的周期为4×|﹣1﹣0|＝4，又0≤x≤1时，有，故可作出函数f（x）的图象如下图所示，令t＝x﹣2020，则y＝f（t+2020）﹣k（t﹣1）＝f（t）﹣k（t﹣1），依题意，函数y＝f（t）的图象与直线y＝k（t﹣1）有5个交点，显然k≠0，当k＞0时，由图可知，直线y＝k（t﹣1）应介于蓝色线与绿色线之间，设蓝色线直线方程为y＝k1（t﹣1），则（8，0）到直线y＝k1（t﹣1）的距离为1，即，解得，设绿色直线方程为y＝k2（t﹣1），则（4，0）到直线y＝k2（t﹣1）的距离为1，即，解得，故此时k的取值范围为；当k＜0时，由图可知，直线y＝k（t﹣1）应恰为红色直线，则（6，0）到直线y＝k（t﹣1）的距离为1，即，解得；综上，实数k的取值范围为．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。9．已知曲线C的方程为，则（）A．当m＝1时，曲线C为圆 B．当m＝5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 C．当m＞1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆 D．存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为解：曲线C的方程为，当m＝1时，曲线C为x2+y2＝2，是圆，所以A正确；当m＝5时，曲线C为＝1是双曲线，其渐近线方程为，所以B正确；当m＞1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，结合选项B可知，C不正确；存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为，则必须m+1＝m﹣3，因为此方程无解，所以D不正确．故选：AB．10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（）A．54周岁以上参保人数最少 B．18～29周岁人群参保总费用最少 C．丁险种更受参保人青睐 D．30周岁以上的人群约占参保人群20%【解答】由扇形图可得，54周岁以上参保人数最少，30周岁以上的人群约占参保人群的39%+33%+8＝80%，故A对D错；由折线图可知，18～29周岁人群参保费用最少，但是因为参保人数并不是最少的，故其总费用不是最少，故B错误；由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故C正确；故选：AC．11．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，以下结论正确的是（）A．四边形BFD1E不一定是平行四边形 B．平面α分正方体所得两部分的体积相等 C．平面α与平面DBB1可以垂直 D．四边形BFD1E面积的最大值为解：如图所示：对于A，因为平面ABB1A1∥平面CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面CC1D1D＝D1F，所以BE∥D1F，同理可证D1E∥BF，所以四边形BFD1E是平行四边形，故A不正确；对于B，由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故B正确；对于C，当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB1D，又因为EF⊂平面BFD1E，所以平面BFD1E⊥平面BB1D，故C正确；对于D，平行四边形BED1F的面积取最大值时，即三角形EBD1的面积取得最大值，因为这个三角形的面积的两倍是该平行四边形的面积．而BD1位置固定，只需点E到BD1的距离最大，即可取得面积的最大值，当点F与A重合时，点F与C1重合时，四边形BFD1E面积的最大，且最大值为值为×1＝，故D正确．故选：BCD．12．若实数t≥2，则下列不等式中一定成立的是（）A．（t+3）ln（t+2）＞（t+2）ln（t+3） B．（t+1）t+2＞（t+2）t+1 C．1+＞logt（t+1） D．log（t+1）（t+2）＞log（t+2）（t+3）解：令f（x）＝，则，易得，当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，因为t≥2，t+3＞t+3＞e，所以＜，所以（t+2）ln（t+3）＜（t+3）ln（t+2）同理，所以（t+2）ln（t+1）＞（t+1）ln（t+2），所以（t+1）t+2＞（t+2）t+1，B正确；所以（t+2）ln（t+1）＞（t+1）ln（t+2），A正确；令g（x）＝，x≥3，则g′（x）＝＜0，故g（x）在[3，+∞）上单调递减，g（t+1）＞g（t+2），所以＞，故logt+1（t+2）＞logt+2（t+3），D正确；对于C，1+＞logt（t+1）⇔⇔，结合选项A的讨论，t与e的大小不确定，故C错误．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的选法有6种．解：根据题意，选出的3人中恰好有一名女生，即2男1女，2名男生的选法有C32＝3种，1名女生的选法有C21＝2种，则有3×2＝6种不同的选法，故答案为：6．14．若不等式（x﹣a）2＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数a的取值范围是[1，2]．解：由（x﹣a）2＜1得a﹣1＜x＜a+1，∵1＜x＜2是不等式（x﹣a）2＜1成立的充分不必要条件，∴满足，且等号不能同时取得，即，解得1≤a≤2，故答案为：[1，2]．15．球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A，B，C是球面上不在同一大圆上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC．已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点．若P，Q在赤道上，且经度分别为东经20°和东经60°，则球面△NPQ的面积为．解：PQ在赤道上，且经度分别为20°和60°，∵上半球面面积为×4π×R2＝2πR2，∴球面△PNQ面积为×2πR2＝．故答案为：．16．如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为O'，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE＝4．若光线与地面所成角为θ，椭圆的离心率e＝．解：在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即b＝4，由图∠O′AB+∠O′BA＝（∠A′AB+∠B′BA）＝×180°＝90°，可得∠AO′B＝90°，由O是中点，故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长，连接O'E，在构成的直角三角形O'OE中，OO′2＝OE2+O′E2＝32+42＝52，即a＝5，e＝＝，故答案为：．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2ccosC＝acosB+bcosA．（1）求C的大小；（2）若b＝3a，c＝，求△ABC的面积．解：（1）由正弦定理知，＝＝，∵2ccosC＝acosB+bcosA，∴2sinCcosC＝sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B）＝sinC，∵sinC≠0，∴cosC＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab•cosC，∴7＝a2+9a2﹣2a•3a•，即a2﹣1＝0，解得a＝1或﹣1（舍），∴b＝3a＝3，∴△ABC的面积S＝ab•sinC＝×1×3×＝．18．已知正项数列{an}，其前n项和为Sn，an＝1﹣2Sn（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式：（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．解：（1）正项数列{an}，其前n项和为Sn，an＝1﹣2Sn（n∈N*），可得a1＝1﹣2S1＝1﹣2a1，解得a1＝，当n≥2时，an﹣1＝1﹣2Sn﹣1，又an＝1﹣2Sn，两式相减可得an﹣an﹣1＝1﹣2Sn﹣1+﹣2Sn﹣1＝﹣2an，化为an＝an﹣1，则{an}是首项和公比均为的等比数列，可得an＝（）n；（2）＝（﹣1）n（3n+2n），所以Tn＝[（﹣3）+9+（﹣27）+...+（﹣3）n]+[﹣2+4﹣6+8+（﹣1）n•2n]，当n为偶数时，Tn＝+2•＝n﹣﹣；当n为奇数时，Tn＝+（n﹣1）﹣2n＝﹣n﹣﹣．综上可得，Tn＝．19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∠ACB＝∠ACD＝θ．（Ⅰ）证明：AC⊥BD；（Ⅱ）有三个条件：①θ＝60°；②直线AC与平面BCD所成的角为45°；③二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．请你从中选择一个作为条件，求直线BC与平面ACD所成的角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：取BD的中点O，连结AO，CO，如图所示，则CO⊥BD，又BC＝CD＝1，∠ACB＝∠ACD＝θ，所以△ABC≌△ADC，则AB＝AD，所以AO⊥BD，又因为AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC，所以BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，所以AC⊥BD；（Ⅱ）在CA上取点P，使得OP⊥OC，连结PB，PD，由于OC和BD是平面BCD中的相交直线，所以OP⊥平面BCD，故以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，在Rt△BCD中，BC＝CD＝1，故BD＝，所以，则，所以，若选①：因为θ＝60°，则△PCD为等边三角形，搜易PD＝CD＝PC＝1，所以OP＝，故所以，设平面PCD的一个法向量为，则有，即，令x＝1，则y＝z＝1，故，所以，所以直线BC与平面PCD（即平面ACD）所成的角的正弦值为；若选②：由PO⊥平面BCD，可得∠PCO即为直线PC（即AC）与平面BCD所成的角，所以∠PCO＝45°，故Rt△为等腰直角三角形，所以PO＝CO＝，故，所以，设平面PCD的一个法向量为，则有，即，令x＝1，则y＝z＝1，故，所以，所以直线BC与平面PCD（即平面ACD）所成的角的正弦值为；若选③：作PM⊥CD，垂足为M，连结OM，由PO⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以PO⊥CD，又PO∩PM＝P，PO，PM⊂平POM，又OM⊂平面POM，所以CD⊥OM，则∠PMO即为二面角P﹣CD﹣B即二面角A﹣CD﹣B的平面角，因为∠PMO的余弦值为，故它的正弦值为，所以正切值为，所以，解得OP＝＝OC，故，所以，设平面PCD的一个法向量为，则有，即，令x＝1，则y＝z＝1，故，所以，所以直线BC与平面PCD（即平面BCD）所成的角的正弦值为．20．近年来，随着猪肉价格的上涨，作为饲料原材料之一的玉米，价格也出现了波动．为保证玉米销售市场稳定，相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施．该部门调查研究发现，这一年某地各月份玉米的销售均价（元/斤）走势如图所示：（1）该部门发现，3月到7月，各月玉米销售均价y（元/斤）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），若不调控，依据相关关系预测12月份玉米的销售均价；（2）该部门在这一年的12个月份中，随机抽取3个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．解：（1）由题意得：月份x34567均值y0.950.981.111.121.20＝（3+4+5+6+7）＝5，＝（0.95+0.98+1.11+1.12+1.20）＝1.072，＝10，∴＝＝0.064，＝0.752，∴从3月到7月，y关于x的回归方程为y＝0.06x+0.75．当x＝12时，代入回归方程得y＝1.47，即可预测12月份玉米销售均价为1.47元/斤．（2）X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝2）＝1﹣P（X＝1）﹣P（X＝3）＝，∴X的分布列为：X123PE（X）＝＝．21．已知抛物线E：y2＝2px，过抛物线E上一点C（1，3）作直线CA，CB交抛物线于A，B两点，交x轴于D，F两点