2021年上海市静安区高考一模数学试卷

2021年上海市静安区高考一模数学试卷一、填空题命题“若ab≠0，则a≠0且b≠0”的逆否命题为．2x2−如图所示，弧长为π2，半径为1的扇形（及其内部）绕OB所在的直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为设i是虚数单位，若1+ai2−i是纯虚数，则实数a=在△ABC中，AB=2，AC=1．D是BC边上的中点，则AD⋅BC的值为某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动．他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元．要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天．（结果取整）某校开设9门选修课程，其中A、B、C三门课程由于上课时间相同，至多选一门，若规定每位学生选修4门，则一共有种不同的选修方案．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P以每秒π2的角速度从点A出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B，再以每秒π3的角速度从点B沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为二、选择题若a>b，c>d，则下列不等式中必然成立的一个是   A．a+d>b+c B．ac>bd C．d−a<c−b D．ac下列四个选项中正确的是   A．关于x，y的方程x2 B．设复数z1，z2是两个不同的复数，实数a>0，则关于复数z的方程 C．设A，B为两个不同的定点，k为非零常数，若∣PA∣−∣PB D．双曲线x225−在平面直角坐标系xOy中，α，β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O)于A，B两点．若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且cosα−β≤0，则a+b的最大值为 A．1 B．2 C．2 D．不存在三、解答题如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB=1，CF=2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E−BC−G(1)求四棱锥G−ABCE的体积；(2)求异面直线AE与BG所成角的大小．设fx=a+(1)设a=0，D=1,+∞，求函数y=f(2)求证：当且仅当a=1时，函数y=fx如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF．张明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点A测得点D的仰角为30∘，∠CAB=75∘，又选择了相距100米的B(1)请你根据张明的测量数据求出塔CD高度；(2)在完成(1)的任务后，张明测得∠BAE=90∘，并且又选择性地测量了两个角的大小（设为α，β)．据此，他计算出了两塔顶之间的距离请问：①张明又测量了哪两个角？(写出一种测量方案即可)②他是如何用α，β表示出DF的？(写出过程和结论)n2n≥5个正数排成n行n列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数q的等比数列．a11a12a13(1)设bn=a(2)设Sn=a(3)设Tn=a如图所示，定点F到定直线l的距离MF=3．动点P到定点F的距离等于它到定直线l距离的2倍．设动点P的轨迹是曲线Γ．(1)请以线段MF所在的直线为x轴，以线段MF上的某一点为坐标原点O，建立适当的平面直角坐标系xOy，使得曲线Γ经过坐标原点O，并求曲线Γ的方程；(2)请指出（1）中曲线Γ的如下两个性质：①范围；②对称性．并选择其一给予证明．(3)设（1）中的曲线Γ除了经过坐标原点O，还与x轴交于另一点C，经过点F的直线m交曲线Γ于A，B两点，求证：CA⊥CB．

答案一、填空题1.【答案】若a=0或b=0，则ab=0．2.【答案】603.【答案】3π4.【答案】25.【答案】−36.【答案】147.【答案】758.【答案】y=2二、选择题9.【答案】C10.【答案】D11.【答案】B三、解答题12.【答案】(1)由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG=60联结DG，由CD=AB=1，CG=CF=2，∠ECG=60∘，有由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②由①②知，DG⊥平面ABCE,所以DG就是四棱锥G一在Rt△CDG中，DG=2×故，V=1(2)取DE的中点H，联结BH，GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与在△BGH中，BH=BG=5，GH=则cos∠GBH=故，异面直线AE与BG所成角的大小为arccos313.【答案】(1)由已知，设y=2x1−又y=2x1−故，f−1x=(2)i）函数fx=a+若a=1，fx=1+f−x所以，y=fxii）方法1：由y=fx是奇函数，有f−1=−f方法2：若a≠1，则f−1=a+f−1≠−f1（否则a=1方法3：若fx为奇函数，则，对于任意的x∈f−x=−fx即a−12所以a=1．14.【答案】(1)在△ABC中，∠ACB=180由正弦定理，有ACsin所以，AC=100×CD=ACtan(2)由(1)有AD=1002米．测得∠ABF=α，∠DAF=β由已知，有AB⊥EF，AB⊥AE，所以，AB⊥平面AEF，得所以，AF=ABtan在△ADF中，由余弦定理，有DF=A【另解1】测得∠ABF=α，∠DBF=β．解得，BF=100secα，BC=503+1，由余弦定理，有DF=506+2【另解2】测得∠ABE=α，∠EAF=β．由已知，有AB⊥EF，AB⊥AE，所以，AB⊥平面AEF，得所以，AE=100tan在△ACE中，由余弦定理，有EC=10000EF=100tan截取EG=CD，则，DF=F【另解3】测得∠ABE=α，∠EBF=β．由已知，有AB⊥EF，AB⊥AE，所以，AB⊥平面AEF，得解得，BE=100sec在△ACE中，由余弦定理，有EC=10000EF=100sec截取EG=CD，则，DF=F15.【答案】(1)由题意，数列bn是等差数列，设首项为a1，公差为由a12=1，a14=2得a1+d=1,a(2)由（1）可得a15=52，再由已知a55=532，得(3)（ i）当n=1时，T（ ii）假设当n=k时等式成立，即，T当n=k+1时，Tk+1等式成立．根据（ i）和（ ii）可以断定，Tn16.【答案】(1)在线段MF上取点O，使得OF=2MO，以点O为原点，以线段MF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设动点P的坐标为x,y，则有M−1,0，F2,0，由题意，有整理得：3x(2)①范围：x≥0或x≤−4，曲线Γ位于直线x=0与x=−4两侧．②对称性：曲线Γ关于y=0成轴对称；曲线Γ关于x=−2成轴对称；曲线Γ关于−2,0成中心对称．范围证明：3x+22−对称性证明：在方程①中，把y换成−y，方程①不变，所以，曲线Γ关于y=0成轴对称；在方程①中，把x换成−4−x，方程①不变，所以，曲线Γ关于x=−2成轴对称；在方程①中，把y换成−y，或把x换成−4−x，方程①不变，所以，曲线Γ关于−2,0成中心对称；(3)