4.理想气体的温度定义

理想气体的温度定义一、理想气体的温度定义温度是物理学中一个非常重要的物理量，温度概念的形成经过了漫长的历史过程.通常人们为了度量热的程度用了“温度”这个物理量，温度是一个宏观表现统计量.现代物理学认为温度是表示物体冷热程度的物理量，与体系粒子平均动能近似成正比，就是体系粒子平均动能的宏观表现.宏观物体是由大量的微粒──分子或原子组成的.一切物质（气体、液体和固体）的分子都在做永不停息的无规则运动.就每个分子来说，它的具体运动过程具有很大的偶然性，但从总体上看，大量分子的运动却遵循统计平均规律.广度性质（容量性质）具有加和性，其数值（例如体积、质量、熵等）与该系统的物质的量成正比.强度性质（广延性质）不具有加和性（例如温度、压力等），其数值取决于系统的内在属性，与该系统的物质的量无关.状态函数（系统的热力学性质），表达系统状态的宏观属性（例如温度、压力、体积等）.热(Q)是指系统与环境之间，由于分子运动的强度不同，而传递（交换）的能量.功(W)是指除热之外，在系统与环境之间，以一切其它方式传递（交换）的能量.内能（U）是指系统内部的能量的总和，是系统的状态函数.热的传递作功（Q为总热量，为物体的内能增加量，A为对外作功）的热力学第一定律，在描述理想气体热态的体积、压力、分子数与温度的关系，有了（P气体的压强、V气体的体积、M气体的质量、气体的摩尔质量、R普适气体常数、T开尔文温度）的气态方程式.对于真实气体而言，应用范德瓦尔斯方程（p+.热力学第二定律是研究大量分子运动规律的宏观表现的科学，我们必须讨论分子运动规律，尤其是气体分子的运动规律.在微观上大量气体分子是做高速度的、无规则的运动.它们之间互相碰撞，速度大小和方向也随碰撞而随时改变，因此研究单个分子的运动意义不大.但从整体统计学上说，大量分子的运动速度还是有规律的.历史上，密勒和库什做过研究，但麦克斯韦最终发现了规律，这是空气（分子量以28计）分别在在300K（常温）和1500K（烈火）的速率分布：空气在不同温度下的速度分布从公式和函数图像中可以看出，气体温度越高，气体运动速度也就越快.经典物理学认为温度是分子平均动能的标志，对气体分子来说，根据分子热运动规律，采取统计平均的方法，可以导出热力学温度T与气体分子运动的平均平动动能的关系为理想气体分子的平均平动动能为=.证明：理想气体的物态方程：，而，n=N/V为单位体积内的分子数，即分子数密度，k=R/NA=1.38×10-23J·K-1称为玻尔斯曼常量.所以：，每个分子平均平动动能只与温度有关，与气体的种类无关，k＝1.380662×10－23JK－1为玻尔兹曼常数.这就是理想气体分子的平均平动动能与温度的关系，是气体动理论的另一个基本公式，它表明分子的平均平动动能与气体的温度成正比，温度是表征大量分子热运动剧烈程度的宏观物理量，是大量分子热运动的集体表现，对个别分子的温度是没有意义的.热力学中像温度、压强等与系统质量无关的物理量叫做强度量，像体积、内能和熵等与系统质量有关的物理量叫做广延量.麦克斯韦速率分布律，这个函数称为气体分子的速率分布函数麦克斯韦进一步指出，在平衡态下分子速率分布函数可以具体地写为，式中T是气体系统的热力学温度，k是玻耳兹曼常量，m是单个分子的质量.图像如下图1麦克斯韦速率分布函数图1画出了f(v)与v的关系曲线，这条曲线称为速率分布曲线.由图可见，曲线从坐标原点出--发，随着速率的增大，分布函数迅速到达一极大值，然后很快减小，随速率延伸到无限大，分布函数逐渐趋于零.速率在从v1到v2之间的分子数比率N/N，等于曲线下从v1到v2之间的面积，如图中阴影部分所示.显然，因为所有N个分子的速率必然处于从0到之间，也就是在速率间隔从0到的范围内的分子数占分子总数的比率为1，即，这是分布函数f(v)必须满足的条件，称为归一化条件.而表示在平衡态下，理想气体分子速率在v1到v2区间的分子数占总分子数的比率，而应用麦克斯韦速率分布函数可以求出气体分子三个重要的速率：（1）最概然速率，f(v)的极大值所对应的速率，其物理意义为：在平衡态的条件下，理想气体分子速率分布在附近的单位速率的分布区间内的分子数占气体总分子的百分率最大.（2）平均速率，用于研究分子碰撞（3）方均根速率，用于研究分子平均平动动能，，反映的是大量分子无规则运动速率的二次方的平均值的二次方根称为方均根速率.由于分子的平动动能可表示为，两边同时取微分有，带入到麦克斯韦速率函数有，现定义为为气体分子的平动动能的分布函数.平动动能在从到之间的分子数比率N/N，等于曲线下从到之间的面积，如图中阴影部分所示.显然，因为所有N个分子的速率必然处于从0到之间，也就是在速率间隔从0到的范围内的分子数占分子总数的比率为1，即，这说明和麦克斯韦分布率相似平动动能分布函数同样必须满足归一化条件.而表示在平衡态下，理想气体分子速率在到区间的分子数占总分子数的比率.同样我们也可以根据平动动能分布函数求出最概然平动动能以及平均平动动能(1)粒子的最概然平动动能同样地最概然平动动能也是对应着的极值由，化简，解出，而其所对应的速率，由此我们看到，最概然平动动能所对应的速率并不是麦克斯韦速率所求得的最概然速率.最概然速率代表的是速率分布在附近的单位速率的分布区间内的分子数占气体总分子的百分率最大时的速率.而最平动动能的概然值代表的是平动动能分布在附近的单位动能的分布区间内的分子数占气体总分子的百分率最大时的动能，其对应的速率却不是最该然速率.而计算发现这是其实是由于两个方程求极大值时对应的导函数不同.很显然求的的极大值也不同.(2)粒子的平均平动动能同样的，其中因为，所以，这个结果是显然的：有麦克斯韦分布律已经得到，这也证明了上面的推导的正确性.温度反映了宏观量T与微观量ε的统计平均值之间的关系，是某一系统的宏观性质，它决定了该系统与其它系统处于热平衡，一切彼此处于热平衡的系统有相同的温度.二.分子的平均动能的参照系分子的平均动能到底是相对于观察者的平均动能还是相对于质心的平均动能，根据柯尼希定理：质点系的总动能等于全部质量集中在质心时质心的动能，加上各质点相对于质心平动坐标系运动所具有的动能.如果把分子平均动能定义为相对于观察者的动能，运动系测量分子的平均动能动能一定大于静止系测量分子的平均动能，温度不是伽利略变换的不变量.笔者认为这里的平均动能应该是相对于质心的平均动能，这样满足温度是伽利略变换的不变量.三.什么是玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数是一个与温度相关的物理常数，其数值为1.380649×10−23J/K（焦耳每开尔文）.它将温度这一宏观热力学量与微观粒子的热运动联系起来，是微观粒子世界与宏观热力学现象之间的桥梁.玻尔兹曼常数k在数值上等于理想气体常数与阿伏伽德罗常数的比值，即，其物理意义是单个气体分子的平均动能随热力学温度变化的系数.具体而言，气体分子的平均动能可以由气体的热力学温度通过以下公式来计算：由于观测手段的限制，我们是无法测量微观上单个分子的动能的，但是通过上式可知，如果我们能够测得玻尔兹曼常数k，就可以通过测量宏观物理量来计算出微观物理量的数值，这实在是一个伟大的创举.我们都知道气体的压强是由于大量气体分子与器壁不断碰撞的结果.如果我们把气体分子看作质点，忽略气体分子间的相互作用，且认为气体分子与器壁的碰撞是弹性的，这样的气体被称为理想气体.设气体处于边长为L的正方体容器中，考虑一个沿x轴正方向以速度v运动的分子，它与容器壁发生弹性碰撞后，速度变为-v，根据动量定理，该分子产生的冲量时间内沿x轴正方向运动的分子总数由于大量分子向各个方向运动的概率相同，式中是分子向x轴正方向运动的概率率，，为单位体积内的分子数，称为分子数密度.则气体分子对器壁作用的总冲量根据压强的定义可得，结合分子平均动能表达式,可知又由理想气体状态方程pV=nRT，得则有再由定义，，代入上式，可得四.玻尔兹曼常数的发现背景19世纪末，热力学与统计力学蓬勃发展，科学界对宏观与微观世界的联系充满好奇心与探索欲.当时已知气体的宏观性质（如压强、体积和温度等）能通过理想气体实验定律得以描述，但对微观粒子的运动规律以及它们如何决定宏观性质仍知之甚少.奥地利物理学家路德维希・玻尔兹曼（LudwigBoltzmann），作为经典统计物理的先驱，从经典统计物理假设（即系统中的粒子是经典的、独立的，并遵循经典力学规律）出发，推导出有势力场中热平衡态下分子按能量分布的规律——玻耳兹曼分布律（又称麦克斯韦﹣玻耳兹曼分布律）.这一分布律在描述气体分子动能、平均速度、压力和温度间的关系上起到关键作用，为理解气体分子微观行为提供了重要工具.1872年，玻尔兹曼进一步提出玻耳兹曼微分积分方程，描述稀薄气体中分子分布函数的演化，并引入H函数，证明了其随时间单调递减，即H定理.这一定理与热力学第二定律的熵增原理相呼应，为宏观演化的不可逆性提供了理论依据，引入了时间箭头的概念.然而，这一理论也引发了诸多争议.1874年开尔文提出“可逆性佯谬”，质疑微观粒子运动的可逆性如何导致宏观热力学过程的不可逆性.此后，洛施密特的可逆性悖论和策梅洛的回归悖论也相继出现，对玻尔兹曼的理论提出挑战.1877年玻尔兹曼在论文中提出将热力学第二定律与概率论联系起来的观点，建立了熵（S）和系统宏观态对应的可能微观态数目（Ω，即热力学几率）的联系：S正比于lnΩ，即S∝lnΩ.这一理论揭示了宏观态与微观态之间的深刻联系，指出热力学第二定律的统计本质：孤立系统中熵的增加对应于系统从热力学几率小的状态向热力学几率大的状态过渡，从而完美解决了“可逆性悖论”.这标志着玻尔兹曼在科学探索中新的高峰.1900年普朗克引入比例系数k，写出了玻耳兹曼-普朗克公式：S=klnΩ，并将公式中的常数k命名为玻尔兹曼常数.从此，玻尔