山东省烟台市2025-2026学年高一下学期期中学业水平诊断数学试卷（含解析）

山东省烟台市2025-2026学年度高一第二学期期中学业水平诊断数学试题一、单选题1．已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，满足，，，则（

）A． B．5 C． D．63．一水平放置的四边形，用斜二测画法画出其直观图为等腰梯形，如图所示，若，，则（

）A． B． C．3 D．44．已知圆台上、下底面半径分别是1和3，体积为，则该圆台的高为（

）A．1 B．3 C．4 D．65．在中，，，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．36．如图，为测量河对岸两点间的距离，在楼顶A处观察C的俯角为30°，观察点D的俯角为60°，B为楼底一点且平面，若楼高，，则（

）A． B． C． D．7．已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角A的大小为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，且，下列说法正确的有（

）A．是纯虚数 B．若，则C．是虚数 D．若，则是纯虚数10．已知向量，，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．若向量，夹角为锐角，则C．若，则D．若向量在方向上的投影向量为，则或11．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.则（

）A． B． C． D．三、填空题12．已知向量，，若，则的值为_____.13．已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______.14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____；的最大值为_______.四、解答题15．复数，，其中i是虚数单位，且为纯虚数.(1)求复数：(2)设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，O为坐标原点，若以O，，，四个点为顶点构成的四边形为平行四边形，求复数.16．如图，圆锥的母线长为，侧面展开图为半圆，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去圆柱.(1)若，求剩下几何体的表面积；(2)当挖去的圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积.17．如图，观测站C在目标A的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在C处观测到有一轿车从A处沿此公路向B处行驶，行驶后到达D处，此时测得.(1)求A，C两地的距离；(2)若此轿车从D处继续行驶，经过20分钟后到达B处，且，求该车行驶的速度（单位：）.18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.（注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分）(1)求角的大小；(2)D为上一点，且.（i）若D满足，，求的值；（ii）若D是线段的中点，求的最大值.19．在中，，，点平面，，且点B，D位于直线两侧.(1)若，，求的值；(2)若为钝角，，求四边形面积的最大值.参考答案1．D【详解】因为，则，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.2．A解：．3．C【详解】在等腰梯形中，，，，则，将直观图复原为原图，如图所示：则，所以.4．B【详解】设圆台的高为，则，解得．5．B【详解】因为，，则，若，则，所以.6．C解：由题可知，又平面，平面，，又，所以，又，所以．7．D【详解】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，所以，设，故，因为，所以，则，，所以，因为，其对称轴为，取得最小值，当，取得最大值，所以

8．A【详解】设的外接圆半径为，则，因为，即，可得，又因为，由余弦定理可得，即，且，所以.9．ABD【详解】因为复数，且，则.对于选项A：是纯虚数，故A正确；对于选项B：若，即，则，所以，故B正确；对于选项C：因为，若，则为实数，故C错误；对于选项D：若，则因为，所以是纯虚数，故D正确.10．BCD【详解】因为向量，，则，对于选项A：因为，，若，则，解得，故A错误；对于选项B：若向量，夹角为锐角，则，且向量，不共线，则，解得，故B正确；对于选项C：若，则，，所以，故C正确；对于选项D：因为向量在方向上的投影向量为，则，解得或，故D正确.11．ACD【详解】因为，整理可得，则，即，且，则，可得，即，所以，故A正确，B错误；由余弦定理可得，即，又因为，则，解得，且，则，解得，综上所述：，故C正确；因为，且在内单调递增，则，所以，故D正确.12．【详解】因为向量，，则，若，则，解得.13．【详解】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为，则，解得，，则其外接球表面积为．14．3【详解】由余弦定理和，可得，所以，则；由余弦定理，，当且仅当，即时，等号成立，而，由可得为锐角，且，则，故的最大值为.15．(1)(2)或或【详解】（1）因为复数，，则，若为纯虚数，则，解得，所以.（2）由题意可知：，，则，，因为以O，，，四个点为顶点构成的四边形为平行四边形，若为平行四边形，则，所以，即；若为平行四边形，则，所以，即；若为平行四边形，则，所以，即；综上所述：或或.16．(1)(2)【详解】（1）设圆锥的底面圆半径为，圆锥的高为，圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为，因为圆锥的侧面展开图为半圆，则，解得，则圆锥的高，若，则，，所以剩下几何体的表面积为.（2）因为，即，则，，可得圆柱的侧面积为，当且仅当，即时，等号成立，所以当挖去的圆柱侧面积最大时，圆柱的体积为.17．(1)(2)【详解】（1）由题意可知：，且，则为锐角，可得，则，在中，由正弦定理可得.（2）在中，由余弦定理可得，即，可得，解得或（舍去），则，所以该车行驶的速度为.18．(1)(2)（i）；（ii）（1）解：选择条件①：由正弦定理，即，，又，，，即，又因为，所以；选择条件②：，即，解得，又，所以，所以；选择条件③：，解得，又，，，；（2）（i）因为，和分别是与、同向的单位向量，所以是的角平分线，即，又，即，化简得，即，由余弦定理，可得，即，将代入上式可得，令，则，即，解得或(舍去)，所以，则，由正弦定理，可得，，所以；（ii）因为是线段的中点，所以，，，由余弦定理，可得，即，根据基本不等式，可得，即，当且仅当时取等号，所以，