华北理工金属塑性变形理论教案02力学部分

课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》第周，第20讲次摘要授课题目（章、节）绪论第一节塑性加工的分类第二节塑性加工技术最新动向及发展第三节塑性加工力学的教与学第一章应力状态分析第一节基本概念本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，应熟悉塑性加工力学的研究内容及应用领域；掌握应力基本概念及其符号的确定；了解塑性加工的分类、塑性加工技术最新动向及发展。【重点】塑性加工力学及研究方法；应力基本概念。【难点】应力符号的确定，应力莫尔圆的应用。内容【本讲课程的引入】金属塑性加工力学是金属材料工程和材料成型及控制两个专业的主要技术基础课之一，该课程是专业必修课轧制原理的先行课，通过该课程的学习为后续的专业课程学习打基础，也可作为一门技术课程进行单独研究。今天我们来讲金属塑性加工力学的概述及第一章的第一节内容。【本讲课程的内容】绪论第一节塑性加工的分类1．按加工时工件的受力和变形方式；塑性加工可以分为基本加工变形和组合加工变形。靠压力作用使金属产生变形的方式有锻造、轧制和挤压。靠拉力作用使金属产生变形的方式有拉拔、冲压和拉伸成型。靠弯矩和剪切作用使金属产生变形的方式有弯曲和剪切。组合加工主要有锻轧、轧挤、拔轧、辊弯、搓轧等。图1-1液态铸轧过程1图1-1液态铸轧过程1—盛钢桶；2—流钢槽；3—水冷轧辊；4—轧件2．按加工时工件的温度特征。塑性加工可以分为热加工、冷加工和温加工。各种加工变形方式的适当组合可以开发出能扩大品种、提高产品精度和加工成型效率的新型加工成型过程。加工成型过程与热处理适当配合可以显著改善产品的组织性能，以便更经济、更有效地使用金属材。新型加工方法如图1-1所示。塑性加工产品是大量的，在国民经济中占据重要地位，因此塑性加工的研究和新技术开发所取得的成果在经济效益上也非常之大。第二节塑性加工技术最新动向及发展1．.塑性加工技术最新动向：（1）节约资源用尽量少的原材料生产出要求的形状、尺寸、强度、塑性以及其它物理性能的产品。为此，合理利用资源选择最佳材质或通过变形与热处理相配合以改善材质、研究轻型薄壁断面和周期断面以及复合材料等高效制品的成型成为今后节约资源的重要课题。（2）节约能源金属材料热加工所需的热能比加工所需的机械能大许多倍，所以必须节约热能。缩短工艺流程、降低加工温度、热加工变为冷加工、减少或省去中间退火、降低材料的变形抗力、提高塑性等方面的技术开发成为今后节约能源的重要课题。塑性加工力学就是运用塑性力学基础来求解塑性加工成型问题。它的任务是在对加工工件进行应力和应变分析的基础上建立求解塑性加工成型问题的变形力学方程和解析方法，从而确定塑性加工成型的力能参数和工艺变形参数以及影响这些参数的主要因素。（3）实现最佳的加工条件研究创造最佳的工艺条件和使工艺内容定量化以及把能实现这种条件的新技术用于新加工机械设计和老设备的挖潜改造上，并进行最优控制。2．塑性加工力学的发展塑性加工本身就是典型的力学应用。轧制、挤压、拉拔、锻造及其它各种加工方法，都是在力的作用下实现金属变形的。加工设备、工具、模具的设计与选择，材料本身变形过程的整个工艺制订等都必须考虑力学问题。二十世纪20年代初，塑性理论的研究在德国有了很大发展。H.Hencky、L.Prandtl、B.Saint-Veant等将塑性理论有效地应用于工程技术问题中，然而，真正研究塑性加工力学问题还是从30年代开始的。T.Karman、A.N.Uelbkol、M.D.Stone、E.Orowan、R.B.Sims等人以满足力平衡方程，屈服条件和应力边界条件为前提的工程法计算，对较复杂的轧制力的计算取得了成功。它只能对平面变形及轴对称问题进行解析，由于对问题做了大量的简化和假定处理，计算结果比较粗糙。为了提高计算精度，到了40年代，H.Hencky、H.Geringer、Cauchy、Rieman等人根据金属的物理变形过程，完成了滑移线法解析塑性加工问题。它不但可以计算平面变形问题的变形力，而且能够计算变形体内各点的应力状态。从而可以依靠解析来分析变形体内的应力分布，成型过程中产生的裂纹原因等。50年代初，A.A.Mapkob、R.Hill、W.Pragar等人把极值分析方法（又称上、下界法）应用到塑性加工问题。60年代日本人工藤提出上界元法。由于计算机的发展，给功率函数的积分、多变量的优化提供了方便条件，使得上界法及上界元法的应用取得了优势。这种方法可以解析非对称变形的各种加工问题，可以解析加工界限，孔型模腔的充满过程，可以进行变形行为的预测和复合材料加工过程的计算。有限元法从60年代才开始应用于金属塑性加工问题。这时人们的研究目的从单纯的力能研究转向高精度、高效率、节能、节材为中心的新型加工技术的开发，加速了有限元法的研究与发展。70年代，小林史郎，C.H.Lee等应用刚—塑性变分原理建立了刚—塑性有限元解析法，以后又建立了弹—塑性、弹—粘塑性有限元等方法。80年代以后，由于大型计算机及微型计算机的迅速发展，解析方法的不断完善，对塑性加工的工艺制订、设备的设计、质量的分析、变形行为的预测等进行了更加接近实际的三维数值模拟。第三节塑性加工力学的教与学1．学习的主要目的（1）后续课程及毕业后三五年内解决常规工程技术问题的能力：基本知识、计算和实验；（2）较深入、系统、全面地阐明现代塑性理论以及力学分析方法；，（3）使学生掌握有关塑性变形的应力、应变分析和压力加工过程力能参数计算的基本理论和方法。２．教学方法与训练方法要突出培养创新精神⑴实行启发式教学，为学生的独立思维留出足够的时间和空间；⑵提倡研究式的教学方法；⑶改革考试考核方法。3．学习方法⑴上课听讲⑵培养良好的作题习惯：列出已知和所求画出示意图问题的分析，作适当的简化处理列出数学描述求解解的讨论⑶培养工程概念的思想总之，老师在教学过程中要引导思维、不要代替思维、更不要窒息思维；同学在学习过程中要积极思维、不要被动思维、更不要拒绝思维。第一章应力状态分析第一节基本概念1．外力（表面力）塑性加工中工件表面所受的外力主要有作用力和约束反力。（1）作用力塑性加工设备的可动工具部分对工件所作用的力。又称主动力。（2）约束反力工件在主动力的作用下，其整体运动和质点流动受到工具的约束时所产生的力。可分为正压力和摩擦力。正压力沿工具和工件接触面法向阻碍工件整体移动或金属流动的力，其方向垂直于接触面，并指向工件。摩擦力沿工具和工件接触面切向阻碍金属流动的力，其方向平行于接触面，并与金属质点流动方向或流动趋势相反。图1-2轧制过程的受力图轧件在稳定轧制时，在轧件和轧辊的接触面上只有正压力和摩擦力，见图1-2。正压力和摩擦力的合力是轧辊对轧件的总压力，这个总压力的垂直分力一般称之为轧制力。图1-2轧制过程的受力图2．内力和应力在外力作用下的物体，内部将产生抵抗变形的力称为内力。内力可以用截面法把它表示出来，如图1-3所示。因变形体处于平衡状态，有，那么（1-1）称S为作用在面素上的全应力。全应力的分解有两种方式：一种沿法向切向分图1-3作用在微元面积上的应力正应力：（1-2）图1-3作用在微元面积上的应力切应力：（1-3）一种可以沿坐标轴分解为Sx、Sy、Sz。应该注意，全应力是一个向量，称为应力向量。一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。随着截面方位的变化，作用在半变形体上外力的合力随之变化，因而与之平衡的截面上的内力也随之变化。如果截面的法向与某坐标轴重合，则该截面上的切应力还可以沿其余两坐标轴分解。这样，对于包含某点的微六面体体素上，每一面素上作用有三个应力分量，其中一个正应力，两个切应力。其符号有如表2的规定：面素法向与坐标轴正向一致者为正面。表1应力分量的符号规定面素符号应力方向应力符号++++---+---+【本讲课程的小结】今天我们主要讲了金属塑性加工力学的一些基本知识，包括塑性加工的方法，塑性加工技术的最新动向，塑性加工力学的发展及其学习方法，对其进行了解即可。需要大家掌握应力的基本概念及应力方向的确定。【本讲课程的作业】作业：习题集P2习题1、2、5。预习：第二节斜面上任一点应力状态分析。课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》第周，第21讲次摘要授课题目（章、节）第一章应力状态分析第二节斜面上任一点应力状态分析本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握斜面上任一点应力状态平衡方程的建立过程以及应力边界条件方程的物理意义，学会求解过任一点斜面上的全应力及其分量，正应力，切应力；应力边界条件方程的物理意义。【重点】斜面上包含某点的六面体素应力分量的表示；求解过任一点斜面上的全应力及其分量，正应力，切应力。【难点】斜面上包含某点的六面体素应力分量的表示；平衡方程的推导过程。内容【本讲课程的引入】上一讲课我们对金属塑性加工力学的绪论部分和应力状态基本概念进行了学习，今天我们来讲斜面上任一点应力状态分析。【本讲课程的内容】第二节斜面上任一点应力状态分析1．应力关系的建立要想了解一点的应力状态必须知道过该点任意截面上的应力分布。但是过该点的截面有无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必须采用其他方式进行描述。zxyoxzxyoxyzxyyzyxxzzyzxSnnSnxSnySnznnBAC图1-4四个截面构成的一个四面体素下面我们分析微分斜面上的应力。该微分斜面面积为ds，外法线方向的方向余弦为：xzncos(n,x)=l、cos(n,y)=m、cos(n,xzn则三个垂直面的面积可以表示为：由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有三个方向的受力平衡，即、、。在x方向：在y方向：在z方向：整理后得：（1-6）用矩阵表示为：（1-7）把微分斜面上的合应力Sn，向法线N方向投影，便可求出微分斜面上的正应力，或将Snx、Sny、Snz分别投影到法线N上，也同样得到微分斜面上的正应力，即将式1-6代入上式，则（1-8）微分面上的剪应力为（1-9）综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量、、、、、来表示。或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力已知时，便可确定该点的应力状态。2.主坐标系下应力关系的建立若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应力为零，则由可得而所以综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力已知时，便可确定该点的应力状态。3.应力边界条件方程如果该四面体素的斜面恰好为变形体的外表面上的微面素，并假定此面素单位面积上的作用力在坐标轴方向的分力分别为px、py、pz，则应力边界条件方程的物理意义：建立了过外表面上任意点，单位表面力与过该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。课堂练习：已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法线方向与三个坐标轴夹角余弦时，求该斜面上的全应力S，全应力在坐标轴上的分量Sx、Sy、Sz及斜面上的法线应力sn和切应力tn。解：首先确定各应力分量sx=10、sy=10、sz=0、txy=tyx=5、txz=tzx=5、tyz=tzy=0（单位MPa）。由应力坐标变换公式其中li、mi、ni为新坐标轴在原坐标系下的方向余弦。xyzx'l1m1n1y'l2m2n2z'l3m3n3yyx'y'uuxuyux'uy'o【本讲课程的小结】今天我们主要讲了应力之间的关系，包括任意状态和主坐标系两种状态，应力边界条件方程及其物理意义，通过例题对所学应力之间的关系进行了具体的练习。【本讲课程的作业】作业：习题集P2习题8。；预习：第一章第三节应力张量和求和约定。课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》第周，第22讲次摘要授课题目（章、节）第一章应力状态分析第三节应力张量和求和约定本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，应熟悉应力张量、零阶应力张量、一阶应力张量和二阶对称应力张量的基本概念，掌握求和约定的应用。【重点】应力张量的概念，求和约定的应用。【难点】二阶对称应力张量的理解。内容【本讲课程的引入】上讲课我们学习了应力之间的关系以及应力边界条件方程，今天我们来学习应力张量和求和约定。【本讲课程的内容】第三节应力张量和求和约定1．应力张量在斜面上的应力分析中，我们得到用矩阵表示为图1-4应力张量分量图1-4应力张量分量由图1-4可以看到，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一种新的方法来表示它们，如下表所示。x方向y方向z方向z面yx方向y方向z方向z面y面x面去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符号表示该矩阵。（1-10）该矩阵的特点：由材料力学剪切应力互等定律，有、、，则以上九个分量中，六个是独立的。这些应力分量排列为一对称矩阵：这个对称矩阵所表示的量称为二阶对称应力张量，矩阵中的元素称为应力张量分量。张量在力学中是一个十分重要的概念。标量是一个仅由数的大小表征的量，如温度、质量、能量等。矢量是由数的大小和方向来表征的量，如力、速度等，它可由空间中的有向线段表示。张量则是由数的大小、方向和方位来表征的量，如应力张量、应变速度张量等。标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。不存在坐标变换，可以称之为零阶张量。矢量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标变换。为正交矩阵，有矢量可以称之为一阶张量。而张量相当于矢量的某种集合，既包含了每一矢量的大小和方向，还体现了这些矢量之间的相互关系。其与坐标系的选取有关，存在坐标变换。具有如此坐标变换的张量称为二阶张量。直角坐标系下的应力张量：柱坐标系下的应力张量：2.求和约定为了简化公式和书写的方便，我们采用求和约定的方式来书写公式。例如我们探讨一矩阵与向量的乘法：（1-11）其中等式右边各项可以写为或去掉求和符号而直接写为。其中有一特征同一项中i为重复下标，逢重复下标就相加，该下标称为哑标。非重复下标j称为自由标。求和约定的注意要点：（1）哑标是说明求和的记号，用什么字母表示无关紧要。（2）方程式左右两边的自由标必须相同。例如：练习：把如下公式展开，以为例。其中“，”表示求导数【本讲课程的小结】今天我们主要讲了应力张量和求和约定两个问题，要求能独立写出二阶对称应力张量，会用求和约定简化复杂的公式。【本讲课程的作业】作业：习题集P3习题9、11、13；预习：第一章第四节主应力及主切应力。课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》第周，第23讲次摘要授课题目（章、节）第一章应力状态分析第四节主应力及主切应力本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，应该掌握主应力与应力张量不变量；掌握主切应力和最大切应力。【重点】主应力和主切应力的确定。【难点】主切应力的微分面和作用主应力的微分面的确定。内容【本讲课程的引入】通过坐标变换可以找到一个特殊位置，各个坐标面上只有正应力没有切应力，今天我们来学习主坐标系下的应力-主应力和主切应力。【本讲课程的内容】第四节主应力及主切应力1.主应力与应力张量不变量（1）主应力的概念通过坐标变换可以找到只有正应力的坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力称为主应力，该坐标面为主平面。（2）主应力的求解通过坐标变换可以找到只有正应力坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力称为主应力。如果取微分面ABC（下图）为主微分面，即该微分面上只有主应力而没有切应力。这时，作用在此面上的合应力就是主应力。用表示主应力，则它在各坐标轴上的投影为（1-12）将此式代入式1-6得（1-13）各方向余弦的关系为（1-14）由上面四个方程可求出及l、m、n。显然，齐次方程组（1-13）不能有l=m=n=0这样的解。如要方程组有其他解时，必须取该方程组的系数行列式为零，即展开此行列式，得（1-15）式中三次方程式1-15称为应力状态特征方程。此方程的三个根就是三个主应力，而这三个主应力均为实根。由因式分解可知（1-16）因为式1-15与1-16全等，所以比较同类项可得对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐标系改变。可见，过该点不论坐标系如何选择，方程1-15的系数、、等于常数，分别称为一次、二次和三次应力常量，或称为应力张量不变量。（3）主应力的特点①三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的；②三个主应力均为实根；③主应力具有极值性质，三个主应力中的最大值赋给，最小值赋给，并按大小顺序排列，则过该点任意微分斜面上的正应力中，为最大值，为最小值。2．主切应力和最大切应力任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。极值切应力又称为主切应力。为阐述方便，令坐标系与主轴方向一致。任取一微分斜面abc，其外法线方向余弦为l、m、n，则该微分面上的切应力为（1-17）将代入上式，消去n，于是只是变量l和m的函数，即（a）当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求的是，当l、m、n为何值时，微分面上的切应力取极值。为此，使对于l和m求偏导数并令其为零，从而得到确定l和m的两个方程如下：（b）对此方程组求解分不同情况。（1）如，则又分四种情况1）此解是指主微分面上切应力为零。2）解得（c）3）解得（d）4）此种情况不可能成立。5）在式1-17中消去m还可得zzyx图1-6m=0时主切应力作用的微分面和主应力作用的微分面zyxzyx（e）在上述（c）、（d）、（e）解答中，每个解答可以定出两个微分面，这两个微分面通过一个坐标轴与其它两个坐标轴成450及1350角，图1-6示出了这些作用主切应力的微分面和作用主应力的微分面。将解答代入式1—15得到主切应力为（1-18）因为，所以最大切应力应为（1-19）主切应力所作用的微分面上同样作用着正应力。其值应为多少？请同学们自行解决。（2）如，则切应力在通过该点的任何微分面上为零。主微分面和主切应力作用的微分面上所作用的应力列于表3。练习：已知变形体内某点的应力状态N/mm2试求该点的主应力大小和主应力的方向余弦。解：表3主微分面和主切应力作用的微分面上所作用的应力l000m000n000切应力000正应力y面y面σ（1）=60MPa为一主应力。缩减应力张量的维数写出该张量的特征方程展开并求解∴按大小顺序排列后，得到求σ1的方向余弦。将σ1代入到（*）式中与联立求解，因m=0，所以有解得：或同理可求得σ2、σ3的方向余弦σ2或xxz13σ3或【本讲课程的小结】本讲课主要学习了主应力及主切应力，主切应力的学习稍微有些难，需要课下多花时间去复习。【本讲课程的作业】作业：习题集P6习题19、23、26预习：第二章第五节球应力及偏差应力。课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》第周，第24讲次摘要授课题目（章、节）第一章应力状态分析第五节球应力及偏差应力本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，应熟悉球应力张量和偏差应力张量的物理意义；偏差应力张量的物理意义，主应力图示及主偏差应力图示。【重点】球应力张量和偏差应力张量的物理意义。【难点】偏差应力张量的物理意义。内容【本讲课程的引入】物体的变形可以看作是体积变化和形状变化的总和，与此对应，把应力也分成两部分。其一，引起体积变化的应力分量称为球应力分量；其二，引起形状变化的应力分量称为偏差应力分量，今天我们来学习球应力张量和偏差应力张量。【本讲课程的内容】第五节球应力张量和偏差应力张量对于球应力分量可以从八面体应力来理解。1.八面体应力将坐标原点与变形体中所研究的点重合，坐标面与主微分面重合。在坐标系中作八个微分斜面令其同主微分面同样倾斜，即这些斜面的方向余弦相等，这样便构成一个正八面，如图1-7所示。作用在这些面上的应力称为八面体应力。由八面体面的特点可以得到其方向余弦因而八面体的正应力为（1-20）可见，正八面体面上的正应力等于正应力的平均值。12123S132图1-7正八面体我们定义变形体内任意点的平均应力为因此八面体上的切应力等于（1-21）2.球应力分量及偏差应力分量作用在八面体面上的正应力是与坐标轴变换无关的常量。由式1-17可知，过一点各向受同一符号和同样大小的正应力，则过该点任意微分斜面上的切应力为零，因而不会产生塑性变形，仅发生体积的弹性变化。我们定义为静水压力。当坐标轴取主轴时，有而所以（1-22）该式是椭球面方程，其主半径长度分别等于主应力、、的值。此椭球面称为应力椭球面。由椭球面上任意点向原点连线，此线段长度表示任意斜面上的全应力。如果，则椭球面变成球面。此时，变形体中一点的应力状态为三个主应力相同，并等于，此点应力状态可用如下矩阵表示由于一点的三个主应力相同，通过该点的所有微分斜面上的应力相同，此时应力曲面为球形。因此，上述矩阵边式球形应力张量，简称球应力张量。取任意应力张量对其进行分解，其中称为偏差应力张量，为球应力张量。偏差应力张量仍然是二阶对称张量，也存在主偏差应力和偏差应力张量不变量等。3.主应力图示及主偏差应力图示表示一点的主应力有无和正负号的应力状态图示称为主应力图示。主应力图示有九种：体应力状态图示四种、面应力状态图示三种、线应力状态图示二种。全部主应力图示见图1-8。主偏差应力图示有三种。见图1-9。1.8应力莫尔圆（复习材料力学内容）图1-8主应力图示图1-8主应力图示图1-9主偏差应力图示图1-9主偏差应力图示【本讲课程的小结】本章主要内容：应力、应力状态与应力张量、主应力、主切应力、应力张量常量、应力张量的分解、八面体应力、应力空间与应力莫尔圆。本章重点：一点处应力状态的各种分析方法和表示方法，常用公式。本章难点：应力张量的概念。【本讲课程的作业】作业：习题集P4习题21、P5习题30、P6习题37；预习：第二章应变状态分析。课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》第周，第25讲次摘要授课题目（章、节）第二章应变状态分析第一节基本概念第二节应变分析本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，应熟悉应变、应变张量与应变张量的分解、几何方程、应变增量与应变速度。【重点】一点处应变状态的各种分析方法和表示方法，常用公式。【难点】应变张量的概念。内容【本讲课程的引入】在解决塑性加工的实际问题时，往往容易直观了解三个主要方向的变形，如矩形断面工件的长、宽、高方向；圆形断面的长向、切向和径向的变形，对非矩形断面，常把断面划分成几个矩形的单元，了解其变形。今天我们来学习金属的微小变形-应变。【本讲课程的内容】第一节基本概念1.变形的表示方法塑性加工中每道要确定的变形也常指的是这三个主要方向的变形。为简化工程计算，常常假定这三个主要变形方向和主轴方向一致。和主轴方向一致的变形称为主变形（也称主应变）。以后可以看到变形程度大小对金属性能有显著影响，所以正确地表示主变形方向的变形程度有其重要意义。下面研究如图2-1所示的平行六面体的变形。LBHLBHlbh图2-1平行六面体变形前后的尺寸绝对变形大小用下式表示：压下量：宽展量：（2-1）延伸量：式中H、B、L和h、b、l分别为变形前和变形后工件的尺寸。绝对变形不能确切表示变形程度的大小，仅能表示工件外形尺寸的变化。相对变形通常有两种表示法：一般相对变形和真实相对变形（简称为真变形）。一般相对变形是用绝对变形量与工件原始尺寸的比来麦示（2-2）以长度变化为例，因为在实际变形过程中，长度L是经过无穷多中间数值而逐渐变成，如，其中相邻两长度差别均很微小，由L至l的总变形程度，可以近似地看作是各阶段相对变形之和，即或换成积分的形式（2-3）反映了物体变形的实际情况，故称为真应变。另外，还有一种表示方法，即变形系数。通常把、和分别称为延伸系数、宽展系数和压下系数，并用如下符号表示2.真变形与一般相对变形的比较（1）一般相对变形不能表示变形的实际情况，而且变形程度越大，误差也越大。（2）真应变具有可加性，一般相对变形没有。（3）真应变具有可比性，一般相对变形没有。（4）在体积不变条件下，三个相互垂直方向的真应变的代数和为零。（2-4）（5）真应变表示相对位移体积。按体积不变条件在长、宽、高方向的相对位移体积为3.平均应变速率应变速率是应变对时间的变化率。按此定义，应变速率可用下式表示秒-1通常，用最大主应变方向的应变速率来表示各种变形过程的应变速率。例如轧制时用高向应变速率表示，即（2-5）式中—是工具瞬时移动速度。应变速率不仅和工具瞬时移动速度有关，而且还与工件瞬时厚度有关。为了研究各种塑性加工过程的应变速率对金属性能的影响，常常需要求出平均应变速率，求法如下：（1）锻压或（2-6）式中—是工具的平均移动速度。（2）轧制或（2-7）式中R—轧辊半径，v—轧辊圆周速度。（3）拉伸（2-8）式中—是平均拉伸速度。（4）挤压（2-9）第二节应变分析1.位移与应变位移，就是位置的移动。位移分量，就是位移在坐标轴上的投影。应变，任一线段上，每单位长度的伸长或缩短称为线应变；任意两个线段之间原为直角，变形后角度的改变称为剪应变或切应变。线应变用表示，工程切应变用表示。体素变形时，线应变有，工程切应变有，如图2-2所示。线应变以伸长为正，切应变以使直角变小为正。dxdxxdxzxdxxzzx图2-2线应变与切应变2.一点的应变分析设变形体在xoz面上的投影为ACEF，A点坐标为（x，y，z），变形后为A’（x+ux，y+uy，z+uz），则ux，uy，uz为A点的位移。因为u是x，y，z的连续函数，见图2-3，则此式在x，y，z点按泰勒级数展开略去高次项同理有xxxxyyAA’EE’uxux+duxdx图2-3位移增量写成矩阵的形式（2-10）其中的方阵称为相对位移张量，其对角线元素表示相应坐标轴方向的线应变，其它各元素表示相对角位移。由图2-4可以看出，角位移和并不相等，也就是说，相对位移张量不是对称张量。图2-4线应变与相对角位移图2-4线应变与相对角位移xxzzAA’E’uxdxuzdzECFC’F’我们可以看图2-4，如果A点由于变形沿x轴移动一个ux，则C点由于线段dx的变形而移动如图2-4所示，所以棱边AC的相对变形为同理在xoz面上，棱边AC转角的正切为因为这里所研究的是一点的无限小应变，则与1相比甚小，可以忽略，所以同理用同样的方法，在yoz面上和xoy面上亦可导出类似的相对角位移的表达式所以工程切应变为（2—11）为找出与切应力相对应的纯粹的切应变，必须把刚性转动的分量从相对角位移中扣除。物体的变形可以认为是纯粹应变和刚性转动的叠加，如图2-5所示。因为oozxozxozx图2-5相对角位移和切应变a—相对角位移；b—切应变；c—刚性转动（a）（b）（c）所以（2—12）因此纯粹切应变（简称切应变）有同理（2-13）由以上分析可以得出应变与位移得关系方程即几何方程如下：（2-14）式中——是从变形体内任意点处取出得平行六面体素，其棱边dx、dy、dz的相对变形，称为线应变。并规定：伸长为正，缩短为负。——xoy、yoz、zox是面上的切应变。规定：两轴正向夹角减小时为正，增大时为负。切应变的下标规定：原平行于x轴的棱边向平行于y轴的棱边旋转者，标为。在圆柱坐标系中，其线应变和切应变与位移关系的几何方程为（2-15）由式2-14