华北理工金属塑性变形理论课件第22讲 求和约定和应力张量_第1页
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2026/6/31第十章应力状态分析主要内容MainContent应力状态基本概念斜面上任一点应力状态分析求和约定和应力张量主应力及主切应力球应力及偏差应力2026/6/3210.3求和约定和应力张量10.3.1求和约定为了简化公式和书写的方便，我们常采用求和约定的方式来书写公式。例如我们探讨一矩阵与向量的乘法：

2026/6/33其中等式右边各项可以写为或去掉求和符号而直接写为。其中有一特征：同一项中i为重复下标，逢重复下标就相加，该下标称为哑标。非重复下标j称为自由标。哑标哑标自由标2026/6/34求和约定的注意要点：哑标是说明求和的记号，用什么字母表示无关紧要。如2026/6/35方程式左右两边的自由标必须相同。例如：2026/6/36练习：把如下公式展开，以为例。“，”表示求导数其中2012-4-10-2,2012-4-11-32026/6/3710.3.2应力张量在斜面上的应力分析中，我们得到用矩阵表示为2012-11-1-22026/6/38变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一种新的方法来表示它们，如下表所示。2026/6/39x面y面z面x方向y方向z方向2026/6/310去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符号表示该矩阵。2026/6/311该矩阵的特点：由材料力学剪切应力互等定律，有则此矩阵为一对称矩阵。该对称矩阵称为二阶对称应力张量，矩阵中的元素称为应力张量分量。2026/6/312张量在力学中是一个十分重要的概念。标量是一个仅由数的大小表征的量，如温度、质量、能量等。矢量是由数的大小和方向来表征的量，如力、速度等，它可由空间中的有向线段表示。张量则是由数的大小、方向和方位来表征的量，如应力张量、应变速度张量等。2026/6/313标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。不存在坐标变换，可以称之为零阶张量。矢量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标变换。为正交矩阵，有矢量可以称之为一阶张量2026/6/314而张量相当于矢量的某种集合，既包含了每一矢量的大小和方向，还体现了这些矢量之间的相互关系。其与坐标系的选取有关，存在坐标变换。具有如此坐标变换的张量称为二阶张量2026/6/315直角坐标系下的应力张量2026/6/316

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