华北理工金属塑性变形理论课件第23讲 主应力及主切应力

2026/6/31第十章应力状态分析主要内容MainContent应力状态基本概念斜面上任一点应力状态分析求和约定和应力张量主应力及主切应力球应力及偏差应力2026/6/3210.4主应力及主切应力10.4.1主应力的概念通过坐标变换可以找到只有正应力的坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力称为主应力，该坐标面为主平面。2026/6/332026/6/342026/6/35主应力的求解如果取微分面ABC为主微分面，即该微分面上只有主应力而没有切应力。这时，作用在此面上的全应力就是主应力。用表示主应力，则它在各坐标轴上的投影为

2026/6/36代入到斜面应力方程中有整理后可得又有（*）（**）2026/6/37由上面四个方程可求出主应力s及其方向余弦l、m、n。显然，前三个方程构成一个齐次方程组，显然不能有l=m=n=0这样的解。如要方程组有其他解时，必须取该方程组的系数行列式为零，即

2026/6/38展开此行列式，得令则有2011-11-17-22026/6/39三次方程式称为应力状态特征方程。此方程的三个根就是三个主应力，而这三个主应力均为实根。由因式分解可知

由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此该式与应力状态特征方程全等。有展开后得2026/6/310应力张量不变量

对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐标系改变。那么I1、I2、I3

是不随坐标系改变的，分别称为一次、二次和三次应力常量，或称为应力张量不变量。2010-11-9-22026/6/311主应力的特点三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的将主应力s1代入（*）式中的任何两个方程，并与（**）式联立，可以求解出主应力s1的方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主应力s2及s3的方向余弦l2、m2、n2及l3、m3、n3

。每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系2026/6/312三个主应力均为实根主应力具有极值性质三个主应力中的最大值赋给s1，最小值赋给s3，并按大小顺序排列s1≥s2≥s3，则过该点任意微分斜面上的正应力中，s1为最大值，s3为最小值。

2012-4-12-22012-4-16-32026/6/313主坐标系因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴与主应力方向一致，则构成主坐标系，其坐标轴称为主轴。s2s12(y)3(z)1(x)s32026/6/314在主坐标系下斜面上的应力为或正应力为主应力张量2026/6/31510.4.2主切应力和最大切应力

主切应力任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。极值切应力又称为主切应力。

在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力上式中消去n，得到tn与l、m的函数关系

2026/6/316当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求的是，当l、m、n为何值时，微分面上的切应力取极值。由二元函数f(x,y)求极值的方法可求得微分面上的切应力的极值。

2009-11-18-32026/6/317对此方程组求解分不同情况当s1≠s2≠s3时，1），此解指主微分面上切应力为零2）时，

3）时，

4）时，此种情况不可能成立。

5）若方程中消去m，则有

2011-11-25-32026/6/318l＝0m＝0n＝02026/6/319当s1＝s2＝s3时，则切应力在通过该点的任何微分面上为零。主切应力

最大切应力2026/6/320l000m000n000切应力000正应力主平面和主切平面上所作用的应力2012-11-6-22026/6/321练习已知变形体内某点的应力状态

N/mm2

试求该点的主应力大小和主应力的方向余弦。2026/6/322解：s（1）

=60MPa为一主应力。y面y向缩减应力张量的维数2026/6/323写出该张量的特征方程展开并求解∴2026/6/324按大小顺序排列后，得到求s1的方向余弦。将s1代入到（*）式中与联立求解，因m=0，所以有解得：或2026/6