A字型和8字型-初中数学模型与解题方法专练（解析版）

07A字型和8字型

一、单选题

1.如图，中，4=65。，直线OE交力3于点〃，交4c于点£则N8Z)E+/CEQ=().

【答案】D

【详解】解：•••/4=65。，

/.^ADE+^AED=180P-65°=115°,

/.ZBDE+ZCED=36(f-11J3=24y,

故选:D.

2.如图，将矩形纸片48CQ沿折叠，点C落在边力〃上的点〃处，点。落在点G处，若NGEF=111。,

则的度数为().

A.42°B.69°C.44°D.32°

【答案】A

【详解】由图形翻折的性质可知，^GEF=Z.DEF=\\\°,

.­.ZJEF=180o-lll0=69°,ZAEG=NGEF-ZAEF=111°-69°=42°,

・.Z=NG=90。,利用“8”字模型,

ZAIIG-^AEG-42°,

故选：A.

3.如图，月8和切相交于点。，ZA=ZC,则下列结论中不能完全确定正确的是(

D

1

A.NQ/〃B.Z1=Z/14-ZPC.Z2>ZPI).4c=4D

【答案】D

【详解】•・・N/1+//1勿+NP=18K,NC+NCOB+NB=180°,NA=NC,4A0D=/B0C,

:•tB=/D,

•・・N1=N2=//+/〃，

AZ2>ZP,

故选项4B,C正确，

故选〃.

4.如图，在由线段“£C2DF,8F,。组成的平面图形中，/。=28。，则N4+/8+NC+ZF的度数为

().

A.262°B.152°C.208°D.236°

【答案】C

【详解】解:如下图标记彳儿2,3,

;Z1=ZZ^+ZF=ZZ)+Z3,

ZD=28°,

/.N3=/8+N产-28°,

又「Z2=ZJ+ZC,

N2+N3=//+NC+N4+ZF-28°,

•••Z2+Z3=180°

180。=N4+NC+N8+N"—28°,

ZJ+ZC+ZB+ZF=180。+28。=208°,

故选C.

2

5.如图，在中，ZJJ?C=SO°,ZC=30°,以点A为圆心，以48的长为半径作弧交力。于点。，连

接8。，再分别以点8,。为圆心，大于:必的长为半径作弧，两弧交于点?

，作射线/仍交BC于点E,

连接QE,则下列结论中不正碰的是（）

A.BE=DEB.OE垂直平分线段力CC.孚竺=gD.

BD2=BC-BE

S&ABC3

【答案】C

【详解】由题意可得：力。=48,点P在线段BD的垂直平分线上

幺。=,•••点A在线段BD的垂直平分线上

.­.AP为线段B1）的垂直平分线

•••点E在AP上，•••BE;DE,故A正确；

vZABC=90°,ZC=30°,

/84。=60。且/4=/。=,力。

2

MBD为等边三角形且AD=CD

：.AB=AD=BD，

二."平分/8/C

ZEAC=-ZBAC=30°,

2

：.AE=EC,

.•.以）垂直平分4C,故B正确；

•;/ECD="CB=30°,ZEDC=ZABC=90°,

AEDC^MBC,

EDCD=AB=J_

~AB~~BC~~BC一耳

•/ED=BE,AB=CD=BD

3

.BE二BD

••而一正’

:.BD—BCBE，故D正确

故选C.

6.如图，N1=60°,则NA+NB+NC+ND+NE+NF=()

C.360°D.540°

【答案】A

【详解】解：由三角形外角的性质得：Z3=ZA+ZE,Z2=ZF+ZD,

VZ1+Z2+Z3=18O°,Zl=60°,

.\Z2+Z3=120o,

即：ZA+ZE+ZF+ZD=120°,

VZB+ZC=120o,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=240°.

故选A.

二、填空题

7.如图是某建筑工地上的人字架，若Nl=12()。，那么N3-N2的度数为

4

vZl+Z4=180°,Zl=120°,

二.Z4=60°,

vD3=D2+D4,

.-.Z3-Z2=Z4=60°,

故答案为：60°.

8.如图，在A48c中，ZC=90°,BC=6,D,£分别在48、AC±.,将AJOE沿。E折叠，使点A落

在点4处，若4为CE的中点,则折痕QE的长为.

【详解】解：,.,A48C沿。E折叠，使点A落在点4处,

/.ZDEA=ZDEA'=90°,AE=A'E,

:.MCBsfED,

又才为C£1的中点，

.•・)£:力俏1:3

EDAEED1

•.•正=就,即PI1可="

:.ED=2.

故答案为：2.

9.如图，在“8c中，N8=58。，三角形两外角的角平分线交于点反则ZJEC=

【答案】61°

【详解】解：•・•/加/班仆/比4180°,/庐58°,

・•・/初3Na>1=180°-N比180°-58°=122°,

创创NZM小180°,户180°,

••・/〃4廿//1诉360°-CZBAaZBCA)=360°・122°=238°,

•・•/£平分N%。，CE平分4ACF,

：./EAC~*/DAGZECA-jZACF,

5

：.ZEAOZECA=-=119°,

TN创创NEO+N力降180°,

・•・/力心180°-(ZEAC+ZECA)=180°-119°=61°,

故答案为：61°.

10.如图，//1+/於/◎/分/£+/—/伊/加N/+N/T的度数为

•；7边形力伙％及无的内角和=(7-2)X1800=900°,

•••N/I+N歼NC+NP+NE+NF+N/r=900°—(N1+N2),

即/4+N8+NC+NP+NE+NF+N/r+(Z1+Z2)=900°,

VZ1+Z2=Z3+Z4,N5+N6+N〃=180°,

・・・/月+/4+/。+/月/月+/巧+/4+(Z34-Z4)=900°,

・・・N4+N8+N0+NP+N£+NF+N/r+(Z3+Z4)+N5+N6+N〃=900°+180°,

:./力+N8+NC+N什NE+NP+NG+Z//+Z/+NK=1080°.

故/力+N4+NC+N什/£+//'+NG+/〃+//+/4的度数为1080°.

故答案为：10800.

11.如图，求NA+N济NC+N*NE+NRNG+N/^NI=.

【详解】解：连EF,GI,如图

6

•••6边形力比阳次的内角和=（6-2）X1800=720°,

・・・/力+/8+/。+/什/£+〃=720。一（N1+N2）,

即N/1+N9+NC+NP+Nf+NF+（Z1+Z2）=720°,

VZ1+Z2=Z3+Z4,N5+N6+N〃=180°,

・•・N力+N8+NC+//>+/£+N"〃+（N3+N4）=900°,

・・・/力+/«+/。+/什//:'+/尸（/3+/4）+N5+N6+/k720°+180°,

•••N/I+NO+/C+/什N£+NF+NG+/〃+N/=900°,

故答案为：900。.

12.下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与8D的交点为C，且//，/B,/E保持不变.为了舒适,

需调整的大小,使/"7）=110。,则图中/。应（埴“增加”或“减少”）度.

【答案】减少10

【详解】解:•・•//+/斤50°+60°=110°,

・•・/力®1800-110°=70°,

：,ZDCE=70°,

如图，连接。'并延长，

・•・/〃£启/小N〃叱200+ZDCF,

NZ7*N£+Na户30°+NECF,

：,ZEFD=ZDRhZOT/=20°+NDCF+30。+ZECF=50°+ZI）CE=50°+70°=120°,

要使/欧庐110°,则N£）叨减少了10°,

若只调整N〃的大小，

由4EFD=NDRMNEF*N/NDC科NE?NEC2N6NNE8=/*300+70°=Z"100°,

因此应将/〃减少10度；

故答案为：①减少：②10.

7

M

三、解答题

13.如图，MBC=MDE,且NG4Q=10°,NB=ND=25°,ZE48=120。，求和NOG8的度数.

【答案】NDFB=90。,/DGB=65。

【详解】解：•；&4B八&ADE,

：.NDAE=ZBAC=T/EAB-4CAD)=^12(T-1(P)=55°

2

/.ZDFB=Z.FAB+ZB=ZFAC+Z.CAH+Zfi=10°455°425°=90,

/DGB=NDFB-ND=9S-2'=6s.

综上所述：ZZ)ra=90°,/DGB=65°.

14.如图所示，NQ/E的两边上各有一点瓜C,连接AC,求证/。3。+/£。8=180。+/4.

【答案】见解析

【详解】解：•.•/。66'和/£。6是从小。的外角，

ZDBC=//+NACB/ECB=ZA+Z.ABC.

又•.•4+/ABC+^ACB=\80°,

ZDBC+ZECB=ZA+ZACB+^BC+Z^\SO°+ZA.

15.如图所示，求乙1+N3+NC+NQ+NE+NQ的度数.

8

B

【答案】360°.

【详解】解：VZ1=ZA+ZB,Z2=ZC+ZD,Z3=ZE+ZF,

XVZl+Z2+Z3=360°,

/.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360°.

16.如图，求/4+/4+/，'+/。+/«+/”的度数.

【答案】N4+/5+/C+/O+/£+/尸=360。.

【详解】解：如图所示，连接QZ

由对顶三角形得，NA+NB=NACD+/BDC,

・•・4+NB+NC+ND+NE+"=NCDE+NDCF+NE+"=360。.

17.如图，求N/+/8+NC+/O+NE的度数.

9

【答案】180°.

【详解】解：连结

BC与DE相交成对顶三角形，

NC+ND=NCBE+NDEB,

ZJ+N4BC+/C+NO+NAED=+N/AC+ZCBE+/DEB+ZAED

=44+ZABE+ZAEB=180°

18.如图，ZF=30°,求乙4+N8+NC+NQ+NE的度数.

【答案】330°.

【详解】解：在AABM中，ZJ+ZB+Z3=180°

在ACDP中，ZC+ZD+Z1=18(T

在AF.FN中，ZE+ZF+Z2=18(F

在APNM中，Zl+Z2+Z3=180°

工N4+N4+N3+NC+/O+Nl+NE+N〃+N2=540°

,:N-=30。

・•・N4+/8+NC+/Z)+NE=330°

19.如图，求N/1+N护•/仔/丹/a/4/0/〃六个角的和.

【答案】360。

【详解】解：•.♦NG+/Q/3,ZA+Zr=Z4,/£+///=/2,

:.NG+N〃+〃+NC+/£+N〃=Z3+N4+N2,

10

VZ//+Z24-Z1=18O°,N3+N5+N4=180°,

・・・N/!+N歼N2+N4+N3=360°,

AZZ^+ZC+Z/H-ZE+ZF+ZG+Z//=360°.

20.如图，求N/1+N班NQN分/"NaNGN用N/T的度数.

G

【答案】540°

【详解】解：如图所示:

由三角形的外角的性质可知：NA+NB=NIJL,NC+NgNMC//〃+/仁NG//NE+NF=NGML,

••・N/!+N〃+NC+NP+Nf+NdNG+N//+N/r=NUZ+/,Wj+NGW,+NG+NG7/=(5-2)X

18C°=3X180°=540°.

21.如图，BP平分乙4BC,交CZ）于点EDP平分乙4DC交4E于点E,相与CO相交于点C,4=42。.

11

(1)若乙”>C=60。，求/力的度数；

(2)若NC=38。，求NP的度数.

【答案】(1)72°；(2)40°.

【详解】解：⑴:DP平分NADC,

AZADP=ZPDF=yZJDC,

/.HADP=30°,

:.£AEP=ZADP+ZJ=30°+42°=72°；

(2)TBP平分NABC,DP平分NADC,

.,.ZADP=ZPDF,ZCBP=ZPBA,

•••NA+NADP=NP+NABP,

ZC+ZCBP=ZP+ZPDF,

AZA+ZC=2ZP,

VZA=42°,NC=38°,

AZP=y(38°+42°)=40°.

22.如图，AO/IB和△OCO中，OA=OB,OC=OD,NAOB=NCOD=a,AC,BD交于他

(1)如图1,当。二90。时，的度数为_。；

⑵如图2,当。=60。时，求/4H。的度数为_°；

(3)如图3,当力绕。点任意旋转时，N4”。与。是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用。表

示N4WQ,并用图3进行证明：若不确定，说明理由.

【答案】(1)90；(2)120：(3)ZJWD=180°-a

【详解】(1)解：•:NAOB=/COD=a,

.../DOC+ZAOD=ZAOB+Z.AOD,BPZAOC=Z.BOD,

在ROD和AO。中，

OA=OB

<NAOC=NBOD,

OC=OD

12

AA2?0D^A/10C(SAS),

・•・/OAC=NOBD,

:./AMD=NABM+ZBAC=ZABO+ZBAO,

•・•N4O8=900,

・•・/力80+/4力0=90°,

即ZJMO=90。；

故答案为：90

(2)解：,?AAOB=Z.COD=a,

；・/DOC+NAOD=^AOB+NAOD,即ZAOCNB()D,

在小。。和AJOC中，

0.4=OB

<4A0C=NB0D,

OC=OD

・•・2A4OC(SAS),

・•・£OAC=ZOBD,

:./AMD=/ABM+NBAC=/ABO+/BAO,

•・•"OB=60。,

:.HABO+NBA0=180°-60°=120°,

即ZJMD=120°;

故答案为：120

(3)解：如图3中，设C4交80于爪.

图3

•・•NAOB=NCOD=a

・•・/AOC=NBOD,

在ABOO和"OC中，

OA=OB

<^AOC=ZBOD,

OC=OD

・•.A8OD%4OC(SAS),

13

・••4)BD=£OAC,

•・•ZAKO=/BKM,

：./AOK=ZBMK=a.

・•・N/MQ=1800—a.

23.如图，在矩形⑷5c。中，AB=30NC4B=30。，点、P从点、A出发,以每秒百个单位长度的速度沿48

方向运动，点。从点。出发，以每秒2个单位长度的速度沿对集线C4方向运动.已知只夕两点同时出发,

当点0到达点力时,P.。两点同时停I卜运动,连接。。.设运动时间为1秒.

⑴BC=,AC=______.

⑵当I为何值时，△力。。的面积为行.

（3）是否存在某一时刻3使△力尸。是以尸。为底边的等腰三角形？如果存在，求出2值，如果不存在，请

说明理由.

【答案】⑴3；6：⑵当E为1或2时，尸。的面积为G；（3）存在；当［=12—66,使是以。。

为底边的等腰三角形

【详解】（1）解：在矩形力8。中，AB=36，NC4?=30。，

/.=90°，AC-IBC，

,：AB2+BC1AC1，

即（3石『+8。2=48。2,

解得：8c=3,负值舍去，

，,4C=6,

故答案为:3；6.

（2）解：过点0作。以148于点〃，如图所示：

AP=y/3t»C。=2/,plijAQ=6—2/,

在RtZU，。中，N0力〃=30。，

14

：.QH=^AQ=3-tf

•・•△力尸。的面积为G，

・・・3&(3-1)=瓦

解得：6=1,4=2,均符合题意,

答：当1为1或2时，△力尸。的面积为名.

(3)解：存在，理由如下：

•・•也力尸。是以。。为底边的等腰三角形,

尸二力。，即\/^f=6—2/，

解得：，=12-66，符合题意,

答：当/=12-66,使△^尸。是以4?为底边的等腰三角形.

24.如图，在直角A48C中，4。是的平分线，N84O=3NO力。，力。的延长线与N8力。的平分线交

于点尸，求/尸的度数.

【答案】"=22.5。

【详解】解：设NO4O=x。，则N"4O=3x。，

在直角A48c中，//4。=90。一4/，

•・•8。是/月8c的平分线，

:./48O=45°—Zt。,

在直角AZ)8c中，NO。产=22.5。+x。.

*/乙OAB+NOBA+NAOB=NODF+ZF+NFOD=180°,

又；ZAOB=4FOD,

：,NO力4+/OBA=AODF+Z.F,

即3x。+45°-2A-°=22.5°+x。+ZF,

:."=22.5。.

25.(1)如图①，求/4+N8+NC+N〃卜N£+N〃的度数；

(2)如图②，求N/I+N*N什/仆/股N用/仆/〃的度数;

(3)如图③，求N/1+N8+N仆/次/力NRNG的度数.

15

【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°

【详解】解：（1）如图①，连接，切，

由三角形的内角和定理得，N4+NC=N4/切+NC沙1,

・•・N8/1F+/笈+NC+N期+N£+ZF=/BAF+/BAD+/CDA+N〃+NE+4F

即四边形力庞尸的内角和，四边形的内角和为360°,

・•・/%△+/5+NC+Na^+N£+NQ360°,

（2）如图②，由（1）方法可得：

ZW+NB+ZC+ZZH-NE+/EFG+ZG+/〃的度数等于六边形/I以娜的内角和,

・・・N%〃+N8+NC+NP+N£+N〃G+NG+N〃=（6-2）X180°=720°,

（3）如图③，根据（1）的方法得，/F+/G=NGAE+/FEA,

/BAG+/B+Zf+ZP+/庞尸+N厂+ZG的度数等于五边形A3CDE的内角和，

如图1,他切交于点0,我们把△力必和叫做对顶三角形.

结论：若△［必和△8%是对顶三角形，则N/1+N〃=N*NU

结论应用举例：

如图2：求五角星的五个内角之和，即/川如的度数.

16

解：连接由对顶三角形的性质得：/加N4N1+N2,

在△?!切中，VZ/l+Z/16^Z/lZ^=180o,

艮|JN力+N3+N1+N2+N4=18O°,

・•・/4+N］侬/加/好力加=18()°

即五角星的五个内角之和为180°.

解决问题：

(1)如图①，/加/8+/3/6/£+/△=_；

(2)如图②，N/HN8+N仆N9■/后N-NG=_；

(3)如图③，N4+NB+NGN步NE+NRN价NH=_；

(4)如图④，N4+N8+N仆N分NE+NaNG+Nm/M'NA』一；

【详解】解：(1)连接⑦，由对顶角三角形可得//+/8=/初。+/力切，则N/1+NH+NC+/P+NE

+NQ360。；

(2)连接即，由对顶角三角形可得N/1+N仁/顺+N/1应'，则/力+N8+NC+N叶NE+NdNGu

54C0；

(3)连接BH、DE,

•；由对顶角三角形可知/以〃+4BHD=4HDE+4BED,

・•・/4+/笈+NC+NP+N6+N/7+NG+N〃=五边形的内角和+△/1掰的内角和=540°+180°=

72C0；

(4)连接ND、NE,

,/由对顶角三角形可知N1+N2=/NGH+NEHG,

・•・N/I+N歼NC+NP+N£+NdNG+/〃+ZJ/+NA-六边形BCFGHM的内角和+/\AND的内角和十△

A班的内角和=(6-2)X1800+360°=1080°.

17

27.在“8C•中,/ABC=4C6,点I）在直线5C±（不与凤C瓯合），点七在直线/C上（不与4c国合）,

且/ADE=AAED.

/BAD

（1）如图①，若48。=40。,4跖=75。，则NCOE=此时,

NCDE

（2）若点。在8c边上（点8,C除外）运动（图①），试探究/8力。与NCQE数量关系并说明理由:

（3）若点。在线段8c的延长线上，点E在线段4C的延长线上（如图②）,其余条件不变，请直接写出N4/O

与NCQE的数量关系：_；

（4）若点。在线段C8的延长线上（如图③），点E在直线4c上，NA4O=22。，其余条件不变，则

NCDE=_____.（友情提醒：可利用图③画图分析）

【答案】（1）35°,2：（2）2BA224CDE,理由见解析：（3）4BA22/CDE；（4）79°或11°

【详解】解：（1）如图①中，

：.ZBAC=1SO0-40°-40°=100°,

'：4AEg/CDE+4C,

：.£CDEh50-40。=35°,

•.•/力/必=/力/刃=75°.

18

.,.ZZM^=180°-75°-75°=30°，

・•・/的方/初0/加后100°-30°=70°,

/BAD

---------==2

乙CDE

故答案为35°,2.

(2)结论：4BAI尸24CDE.

理由：设/庐/0x,/AEANAD^y,

则NB46M80°~2x,ZCD拄广x,ZZZ4^180°-2y,

・・・/创庐/胡仁/%后2厂2产2(广外,

:.々BA224CDE.

(3)如图②中，结论：ZBAD=2^CDE.

图②

理由：没4B=NACB=x,NAEkNAD拄y,

则N%6M800-2x、NC蝌80°-(产x),NDAF1800-2月

.•・/班加/班仆/力后360°-2(Hy),

：.^BAD=2^CDE.

故答案为/员1加2/。£

则/胡仁180°-2x,N。片180°-(产x),/加尺1800-2八

・・・N为ZM800-2%廿N加a2户2厂180°=22°,

.・.x+■片101°

19

工/C循180°-101°=79°.

如图④中，当点/在/1C的延长线上时，设N/1吐N/1叱x,

图④

则N/1法尸22°,NCDE=y~(『22°),

'：/ACNNCDE+NAED,

・•・尸尸尸(尸22°),

，尸产11°,

・・・N*220-(x-y)=ll。

故答案为79°或11。.

28.(1)已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：N4+N3=NC+NQ.

图(1)

(2)如图②，AP,“分别平分/历