人教版高中数学必修第二册 直线与直线垂直【原卷+答案】

08

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.1直线与直线垂直

A级必备知识基础练

1」探究点一］如图，在直二棱柱A3C-43G中力OJLAC,在二棱柱所有的棱所在直线中，和AC垂直且

异面的直线有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

2.［探究点一・2024江苏常州高一期末］在长方体A8CQ-A181Gd中844=&厕异面直线

AG与所成的角力（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.（多选题）［探究点一］如图,三棱柱ABC-A出iG中，底面三角形是正三角形,E是的中点，则

下列叙述错误的是（）

A.CG与囱七是异面直线

B.CC与4E共面

C.AE与BiG是异面直线

D.AE与SG所成的角为60°

4」探究点一］若NAO8=120。,直线与08为异面直线，则〃和OB所成的角的大小

为.

5.［探究点一］如图，在四面体A8C。中,£下分别是4。与8。的中点，若CO=2A8=4,E凡LA民则EF与

CD所成的角为.

6」探究点一］一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论:

E

①AB_LE/;②A8与CM所成的角为60。;③防与MN是异面宜•线;④MN〃CD

以上结论正确的为.(填序号)

7」探究点一］如图，空间四边形/WCQ的对角线AC=8⑻)=6MN分别为的中点，并且异面直线

AC与。。所成的角为90。,则MN=.

C

8」探究点二］如图，在正方体A8CQ-A向Gd中。।为底面486。的中心.求证:A。_L8D

9.［探究点二2)24天津南开高一月考］如图，已知长方体中,4A=A用石，尸分别是BDi

和AD的中点，求证:Cd_LK”.

B级关键能力提升练

10.在正方体A8CQ-AIiG小各个面的对角线中，与4人所成的角为60。的有（）

A.5条B.6条C.8条D.10条

11.（多选题）如图所示是正四面体的平面展开图,GHMN分别为。e跖的中点，在这个正四面

体中，下列命题正确的是（）

A.GH与石产平行

B.8。与MN为异面直线

C.G〃与成60。角

D.OE与MN垂直

12.在空间四边形ABCD中工。=BC=2,E/分别是AB,CD的中点，所=V3,则异面直线4D8C所成的

角为•

13.如图，在三棱柱ABC-A\B\Ci中,A4与ACAB所成的角均为60°,ZBAC=90°,MA8=AC=A*,E是

8iG的中点，则直线AE与8C所成的角为，直线A8与ACi所成角的余弦值

为.

C,

/¥，//

AR

14.如图，空间四边形ABCD的对棱4。出C成60。的角，且平行于4。与BC的截面分别交

A84CCD8。于点E,F,G".E在AB的何处时截面EFG”的面积最大?最大面积是多少?

C级学科素养创新练

15.如图，已知在圆柱OO\中，刖AB1分别是00,001的直径，且A8〃A向.点P在。。上,8P_LA|P.若

圆柱。。1的体积丫=12兀0A=2,NAOP=120。,回答下列问题.

(1)求三棱锥4-4P8的体积.

(2)在线段4P上是否存在一点M,使异面直线OM与AB所成的角的余弦值为机若存在，请指出点M

的位置，并证明;若不存在,请说明理由.

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.1直线与直线垂直

1.B和AC垂直且异面的直线有4囱和故选B.

2.C如图，连接4G.

因为8Bi〃4A,所以N44G为异面直线AG与笈氏所成的角.

因为tanNAAC产好■=（冉）=百，所以NAMG=600.

AAIV2

故选c.

3.ABD由于CCi与S石都在平面。山/C内，故GC与8E共面,A错误;由于GC在平面

GSBC内，而AE与平面G88c相交于点E,点E不在GC上，故GC与AE是异面直线,B错误;

同理AE与BiG是异面直线,C正确;AE与81G所成的角就是4E与8C所成的角，而E为BC的

中点,ZSABC为正三角形，所以AE_L8C,即AE与从G所成的角为90。,D错误.故选ABD.

4.60°9：a//OA,

：.或它的补角为。与08所成的角，

又N408=120。，

:・a马08所成角的大小为180°-120°=60°.

，。与。3所成的角为60°.

5.30°设G为A。的中点，连接GF,GE,如图.

则GRGE分别为△A8Q,Z\ACO的中位线,，G尸〃A8,且GF=^AB=\,GE//GE=；CO=2,则

EF与CD所成的角等于EF与GE所成的角.

又EFLAB,GF//AB,：.EF±GF,

则/\GEF为直角三角形.G/=1,GE=2,NGFE=9。。,

.•・在直角三角形GEF中,sinNGE/叶，^GEF=30°.

：・EF与所成的角为30°.

6.①③如图，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，可知/与MN是异面直

线,AB〃CM,MN_LCD,只有①③正确.

7.5

如图，取4。的中点尸，连接PM,PN.

则BD//PM.AC//PN,

••・4MPN即为异面直线AC与BD所成的角（或其补角）,

・•・NMPN=9()o,PN=Ic=4,PM=*O=3,：.MN=5.

8.证明

如图，连接

•・•几何体ABCD-A^iCiDi是正方体,DDi,BB\=DD,

，四边形881功。是平行四边形，

:・B\D\〃BD.

・•・直线AOi与囱。1所成的角即为直线AOi与8。所成的角.

易证A5=4Oi.又0\为底面AiBGDi的中心,

：.O\为0£>|的中点,・・・AOI_L0I£）I,・・・AOI_L。。.

9.证明如图，取CD\的中点G,连接EG,DG.

•?E是BDX的中点,二EG//BC,EG=^BC.

•••/是AQ的中点，且AD〃BC,AD=BC、

：.DF//BC,DF=*C,I.EG//DF,EG=DF,四边形EFDG是平行四边形,r〃DG,

・・・NOGQi（或其补角）是异面直线CD与Er所成的角.

又AiA=48,・••四边形ABBAi是正方形，则四边形CQOG也是正方形，又G为C2的中点,

±CDh

NDGDi=90。，，异面直线CDi与所所成的角为90°.

：.CDxLEF.

10.C由图可知△A8Q1和△AOC均是等边三角形，所以B]OI.A8I,CD]xC与A。】成60°角.根据

平行关系，可知8O,G。//,4G也与4。1成60。角,故满足题意的面对角线共有8条，故选C.

11.BCD

如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与E/为异面直线,A错误;

3。与MN为异面直线,B正确；

GH〃AD,MN//AF、R/DAF=6G,

，ZGHM=60\：.GH与MN成60°角,C正确；

把正四面体4QEF补成一个正方体，易证DELAF,

"MN〃AF,：・DE巧MN垂直,D正确.

故选BCD.

12.

60°如图，取AC的中点为H连接EH,HF,则易得EH〃BC、FH〃AD、所以NEHF就是弄如鱼纹

A。,8。所成的角（或所成角的补角）.

因为AO=BC=2,所以E”=W1,则是等腰三角形，又EF=®所以cosZ

1WW-1

EHF-2X1X1-T

因为0。</七"/<180。,所以/石用三口。。,则异面直线A。,8c所成的角为60°.

13.

900f如图所示，连接人即在△A4出与△相©中，

•・・AAi=A4iAB=AiG,NA4iBi=NAA£=120°,

J△A4i8|gZ\A4G,

・"G=4Bi,又E是BQ的中点,・・・AE_181cl，又BC〃BC,

・・・AE_L8C,即直线A石与8C所成的角为90。.

如图所示,把三棱柱补为四棱柱A8OC-48QiG,连接BDiAA/D

由四棱柱的性质知8Di〃AG,则NA由Di或其补角就是异面直线A山与4cl所成的角.设AB=a,

•••44与AC,AB所成的角均为60。,且AB=AC=AAh

A\B=a,BD\=AC\=2AA\cos3O°=V3a.

又N8AC=90。,.••在矩形ABDC中,AO二加。，

•*.A\D\=y/2a,

・・・40：+A]B2=8DK.・.ZBA)DI=90°,

・，・在RtABAiDi中,cosZ.A\BD\=4?~==4.

BD]v3a3

14.解•.'AD与8C成60。角,・・・N"G6=60。或120°.

设AE:AB=x,则重=空二x.又BC=a,

由入=—得

EF=ax.ADABr=1%EH=a{1-x).

SEFGH=EFxEHxsin60°=axx«(1-x)x==^-a2(-x2+x)=^-a2-(x-

222[\2/4J

当x二：时,S最大值二卓况即当E为A8的