江西省赣州市2025-2026学年高二年级上册期末数学（解析版）

赣*市2025〜2026学年度高二第T期期末考试

教学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.点（2，-3）到直线3.厂4），-6=0的距离是（）

1112

A.—B.—

55

【答案】B

【解析】

【分析】利用点到直线的距离公式计算即得.

|3x2-4x(-3)-6|_12

【详解】点（2,-3）到直线3%-4），-6=0的距离为"二^+(-4]丁

故选：B.

2.已知〃?=。,一2,4),mLn,则实数％的值为()

I।

A.-2B.2C.——D.:

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为血J_”，所以力•方=0,即工-2+4=0,解得/=一2,

故选：A

3.椭圆工+二=1的焦距为（）

10064

A.6B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】直接由。2=02一1=36求椭圆焦距.

【详解】因为椭圆[十二一1,所以。2=42一〃=100-^=36，则c=6,

10064

所以椭圆的焦距为12.

故选：B

4.若圆O1：f+y2=]6与圆。型（X—5）2+），2=，（「>（））外切，则/=（）

A.1B.2C.9D.I或9

【答案】A

【解析】

【分析】利用两圆外切的性质列方程求解即得.

【洋解】圆。”.F+y2=]6的圆心为a（0,0）,半径为4,

而圆。2：（工-5『+），2=，r>0）的圆心为。2（5,。），半径为「，

因两圆外切,Wij|O1O2|=5=r+4,解得厂=1.

故选:A.

5.已知阳，〃，/为三条不同的直线，a，0,/为三个不同的平面，则下列说法正确的是：）

A.若tn"n,〃ua,则〃〃/aB.若a_L/,a0=1,〃?_!_/,贝_La

C.若a_L〃，110,则///aD.若a_L/,01y,a。=1,则/_Ly

【答案】D

【解析】

【分析】由线在面内时的反例可排除ABC,由面面垂直的性质作辅助线可证明D正确.

【详解】A选项，当〃zua时，m//a不成立，故A错误；

B选项，当加ua时，可以符合〃?_!_/,而不符合m_La,故B错误；

C选项，当/ua时，///。不成立，故C错误；

D选项，设ac/=a,0H

在7内过/上一点P作直线pJ~a,

又因为a_Ly,且acy=a,

则/?_La,又因为/ua,所以p_L/；

再作自线同理可得〃_!_/：

由于p与9相交于尸，/_Ly,故D正确；

故选：D

6.经过点/（6,3）且在两坐标轴上截距相等的直线是（）

A.x+y-9=0B.%一），-3二0

C.x+y-9=0或x-2y=0D,x-y-3=0或x-2y=0

【答案】C

【解析】

【分析】由题意分截距为。与截距不为0两种情况求解即得.

【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为），=Ax,

代入点M（6,3）,解得在=所以直线方程为y=即x-2y=（）；

当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为二+2=1,

aa

代入点〃（6,3）,解得。=9,所以直线方程为x+y-9=0.

综上，经过点M（6,3）且在两坐标轴上截距相等的直线是x+），-9=0或x-2y=0.

故选：C.

7.从0,2,4中任取2个数字，从1,3,5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（）

A.216个B.162个C.108个D.180个

【答案】D

【解析】

【分析】对首位数字分类讨论并结合组合数的性质求解即可.

【详解】当选的数字包括0时，夫有C；C；=6种数字组合，

而0不能放在首位，则每个组合的情况数为A：A；=18个，

可得总情况数共有18x6=1（）8个，

当选的数字不包括0时，共有C；C；=3种数字组合，

此时每个组合的情况数为A：=24个，

可得总情况数共有24x3=72个,

即一共可以组成没有重复数字四位数有108+72=180个，故D正确.

故选：D

8.方程4T+3=0（AH0）可以表示数轴上的点，平面直角坐标系x。），中，方程AY+8），+C=0（4、

8K同时为0）可以表示平面内的直线，空间直角坐标系0-冷2中，方程Ar+8y+Cz+O=（）（A、

B、。不同时为0）可以表示空间内的平面.过点夕（与,%*0）且一个法向量为"=（4,〃,C）的平面。的

方程可表示为〃（工一%）+"丫一%）+。（2-2。）=0.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面。的方程

为2x+y-z+3=O,直线/是两平面/-y+2z-l=0与x+2y-z+2=0的交线，则直线j与平面。所

成角的正弦值为（）

A.显B.逅C.BD.克

18963

【答案】D

【解析】

【分析】由条件信息分别求得直线/的方向向量和平面。的法向量，再由夹角公式即可求解.

【详解】因为平面。的方程为2工+），-z+3=。，所以平面a的一个法向量为”二（2,1,-1）,

由题意可得，平面不一），+22-1=。的一个法向量为勺=（1,-1,2）,

平面x+2y—z+2=0的一个法向量为々=（1,2,-1）,

设直线/的方向向量为u=（乂乂z）,

因为直线/是两平面x-y+2z-1=0与X+2），-z+2=0的交线,

所以u_L〃i,v±«2,

u=x-y+2z=0

则有《

u4=x+2y-z=0

取x=l,则>=-1,z=-l,故u=（1,-1,一1）,

记直线/与平面。的夹角为。,

.也

/.sin^=|cos<v,/?>|=

3

故选：D

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法中不正确的是（）

A.平面内与一个定点厂和一条定直线/的距离相等的点的轨迹是抛物线

B.平面内与两个定点£（-1,0）和6（1,0）的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆

3

C.平面内与两个定点£（-1,0）和入（1,0）的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线

D.平面内与两个定点£（-1,0）和乙（1,0）的距离之比等于2的点的轨迹是圆

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A,举反例，定点尸在直线/上判断即可；对于B,根据忻巴卜2判断即可；对于C,根据双

曲线的定义判断即可；对于D,设所求点为。（戈,y）,再根据条件化简判断即可.

【详解】对于A,当定点/在直线/上时，轨迹为过/且与/垂直的直线，故A错误；

对于B,平面内与两个定点£（一1,0）和6（1,0）的距离之和等于2的点的轨迹是线段丹入，故B错误：

对于C,平面内与两个定点耳（一1,0）和6（1,0）的距离之差等于］的点的轨迹是双曲线的一支，不是双曲

线，故c错误；

对于D,设所求点为尸（x,y）,则归用=2归周，即J（x+l）2+y2=2加―炉+9,

M（x+l）2+/=4（x-l）2+4y2,化简可得3d—10X+3+3），2=0,轨迹是圆，故D正确.

故选：ABC

10.下列结论正确的有（）

（3、|2

A.若随机变量X~810,-，则E（X）=w

B.离散型随机变量X服从两点分布，且P（X=l）=7P（X=0）,则P（X=0）=J

O

C.随机变量X〜N（l,b2）,若尸（X>0）=?,则P（0<X<2）=g

D.已知随机变量X，y满足X+2Y=6,若乂~5（4,3）,则E（y）=2,。（丫）=；

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据二项分布，两点分布和正态分布相关性质计算判断即可.

（313

详解】对于A,X~B10,-LE（X）=10x-=6,故A错误；

、5J5

对于B,因X服从两点分布，则P（X=l）+P（X=0）=l,

又P（X=l）=7P（X=0）,联立解得P（X=0）=J,故B正辅；

对于C,因X〜且P（X>0）=（,则P（X<0）=P（X>2）=：,

故P（0<X<2）=l-P（X<0）-P（X>2）=l-：-；=g,故C正确；

（\\111

对干D,由X〜84,不可得£（乂）=4乂一=2,。（乂）二4乂一又一二1,

<2y222

)故正

因为X+2Y=6,则y=3-]X,故石（丫）=3-万£（乂）=2,。（丫）£>(X=:,D

确.

故选:BCD.

22

11.如图,〃是椭圆G：丁十9=1（〃>/?>。）与双曲线。2：二=1(/7/>0,/z>0)在第一象限的

"rrT

交点，4F\PF?=e,C,,C2共焦点，G，G的离心率分别为G，Q则下列结论正确的是（）

B.若。=90。，则e：+e；的最小值为2

0n

D.tan—=—

2b

【父】AD

【解析】

【分析】A根据椭圆和双曲线的定义可得：B利用勾股定理和基本不等式求解：C在，/£工中由余弦定理

可得：D在,中利用两次余弦定理，即分别在椭圆和双曲线中应用可得.

【详解】对于A,由题意可知，|P£|+|P国=/，|尸周-归周=2”,

得制=4+m，I。周二。一根，故A正确;

对干B,设椭圆和双曲线的半焦距为C,

若2=90°,则4c2=+/n）',

22

化简得。2+"?2=2C2,即冬+汇=2,

C"C

22

当且仅当二==,即。="?时，等号成立,

nra~

这与。矛盾，所以4+£>2,故B错误;

对于C,在写中由余弦定理I"马2=|尸用2+归/欧一2|0/讣户周COS0,

可得4c2=(〃+m)2+(4—〃-2x—(«+77?)((7-77?),

2

整理为4c2=/+3〃?2,

4222

.[।十铲=42/4,故c错误；

一片e}~c2c2~c2-33c23

对于D,在椭圆中，2|PG||PK|COS9=|P用2+|尸用2―忻用2=(归个+俨国)2-2归耳疗巴卜内马2

22

=4a-4c-2\PF]\PF2\f

整理为归耳疗马=2b2

1+COS。

在双曲线中，2|/7川尸周cos6=|P用尸周2一恒用2=（|尸"卜仍用）2+2仍用归用一阳周2,

=W-4c2+2|Pf；||P/s|,

整理为|P川・|PF,|=2犷，所以*二2犷

1-cos。1+COS。1-cosO

9.2°

22s,n

nl-cos<9220

即f=--------=------yr=tan—

b~1+cos。2cos2g2

2

而o<2〈工，则tan—="，故D正确.

222b

故选：AD.

第口卷(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在(x-球的展开式中，项的系数为.

【答案】-20

【解析】

【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.

【详解】"一碟展开式的通项公式为加=C；x6-r-(-l)r,

当r=3时，7；=C^3-(-1)3=-20X\

即(x—if展开式中V的系数为—20.

故答案为：一20

13.经过M(-1,0),N(1,0)两点，且圆心。在直线x+y-1=0上，则圆C的方程为

【答案】x2+(y-1)2=2

【解析】

【分析】先确定圆心的位置，求出圆心坐标，再求出半径，进而得到圆的方程.

【详解】因为圆C经过M(-1,0)，N(l,0)两点，所以圆心在线段MN的垂直平分线上，

又线段MN的中点坐标为(手L苧)即(0,0)

所以线段MN的垂直平分线为直线x=0,

x+y-1=0

联立｛:,解得x=0,)，=l,

x=0

所以C(o,l),

又半径为CN="(0-1)2+(1—0)2=y/2，

所以圆。的方程为/+(),_］『=2,

故答案为：x2+(y-l)2=2

14.赣南脐橙足江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研

究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐

中有4个特级脐橙、1个一级脐橙.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4,从甲箧中随机抽出1个

脐橙；如果点数大于等于5,从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是.

【答案】|

【解析】

【分析】根据题意，运用全概率公式计算即可.

【详解】设事件A：抽到的是特级脐橙，事件与：掷骰子点数小于等于4（从甲箧中抽）；事件6?：掷骰

子点数大于等于5（从乙筐中抽），

49213

则甲筐中特级脐橙的概率为P（A|4）=一，乙筐中特级脐橙的概率为

63-635

4

P（A|B2）=-.

所以，P（4）=P（B[）P（A]旦）+P（B、）P（A|B-,）=-x—H—x—=1-----=—=—.

''35351515153

故答案为：

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在卜丁一人）的展开式中，第4项为常数项.

（1）求〃的值和该常数项的值；

（2）求展开式中所有项的系数之和.

【答案】（1）〃=4,-12

（2）16

【解析】

【分析】（1）根据题意，利用二项展开式的通项赋值计算即可；

（2）对于该二项式只需取x=l计算即得展开式中所有项的系数之和.

【小问1详解】

因为卜丁一，）的通项为

=*).［力二(-1)'3〃-(：/…，

由题知〃=3时，3〃-4〃=0,解得〃=4,所以常数项为7；=（-1）’34-3（^=-12.

【小问2详解】

由（1）知，令X=1,得到

则展开式中所有项的系数之和为16.

22

16.已知离心率为孝的椭圆C：X；+£=1（。〉人＞0）的顶点所构成的四边形的面积为80，过右焦

点且斜率为1的直线交。于M,N两点.

（1）求C的方程;

(2)求

【答案】（1）

⑵半

【解析】

【分析】（1）根据题意，列出关于。涉,。的方程组，求解即得椭圆的方程;

（2）依题意写出过点M，N的直线方程，与椭圆方程联立求出两点的横坐标，利用弦长公式计算即可.

【小问1详解】

-X26/X2/?=8A/2

2a=2叵,

由题意,可得，c2—a~~b~,解得，6=2,

c_\/2c=2,

~a~~2

r22

•••椭圆C的标准方程为上+v=1.

84

【小问2详解】

由（1）知椭圆。的右焦点坐标为产（2,0）,

•••点M，N所在直线方程为），=尤-2.

三+二=1

联立，84，消去）'并整理得3f—8x=0.

y=x-2

8

设Ng,），2），则％=§，w=。，

888后

|MN|_，]+左2,-x^-y[2---Un------

3

17.如图，则棱锥P—ABCD中，四边形ABC。是矩形，AQJL平面A43，PA上PB，E是AO的中

点，例是P5的中点.

（1）证明：EM//平面PCD；

（2）若PA=PB=BC=2,求平面PCE与平面P8C夹角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵孚

【解析】

【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可：

（2）建系，利用面面角的空间向量计算公式计算即可.

【小问1详解】

取PC中点N,连接MN,DN,

•「M,N分别为心，PC的中点，

:.MNIIBC,MN=-BC,

2

因为四边形ABC。是矩形，£是A。的中点，

所以DE〃BC且DE=LBC,

2

故DEUMN且DE=MN,

则四边形OEMN为平行四边形，

:.EMHDN,

又EM(Z平面PCD,ONu平面PCD,

所以EM〃平面PCD.

【小问2详解】

因为%=P3=3C=2,PA上PB,

所以，Q4B是等腰直角三角形，

又平面Q4B，故以44中点。为原点，

过点。和A。平行的直线为z轴，。尸为x轴，。3为）'轴,

建立如图的空间直角坐标系。-xyz,

RiJP(V2,0,0),C(0,V2,2),E(0,-V2,l),网0,立0),

则PC=b上,血,2),PE=(-V2,-V2,1),PB=1-&e,0),

PC-=-\flx+y/ly+2z=0

设％=（苍y,z）是面PCE的一个法向量，则有，

PE%=->/2x-\[2y+z=0

取工=一3,则）=1,z=—20，故仆=（一3,1,—2夜），

PC•n2=-41a+41b+2c=0

设%=（〃,/?,c）是面P3C的一个法向量，则有，

PB•n,=—yfla十\f2b=0

取〃=1,贝=c=O>故％=(1,1,0),记平面PCE与平面PBC的夹角为0,

卜3+1|J

则cos。=cos<〃],%>=--------

勺%y/ISXy/23

sin。=—,所以平面PCE与平面PBC夹角的正弦值为—.

33

18.某学校举办数学知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为20

分，若答对，则获得题目对应分值，若答错•，则得0分，参赛者累计得分不低于60分即可获奖.已知甲答

对第一、二、三题的概率分别为?，?，!，乙答对第一、二、三题的概率均为;，且甲、乙每次答对与

3332

否互不影响.

（I）求甲获奖的概率；

（2）求乙的累计得分X的分布列和期望;

（3）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率.

【答案】（I）—

27

（2）分布列见解析，40

【解析】

【分析】（1）根据相互对立事件和互斥事件的概率公式进行计算；

（2）分析乙得分的可能取值，分别计算每个取值的概率，列出分布列，再根据期望公式进行计算；

（3）先求出甲、乙两人均获奖的概率，再求出甲累计得分比乙高且两人均获奖的概率，根据条件概率公式

进行求解.

小问1详解】

2108

甲得60分的概率为三xC；x不x二二一,

3-3327

9112R21（）

甲得80分的概率为；=甲获奖的概率为+=

33327272727

【小问2详解】

由题意知：乙累计得分X的可能取值有0,20,40,60,80,

\2)8

(1A<1Vi\(1A2<1A111

P(X=20)=1一一xC\x-=-,P(X=40)=-x1一一+1一一x-x-=-,

'，I2)-⑴4'2{2J{2j224

P(X=60)=gxC；x(l_g)xg=；,p(x=8())=lx^lj="'

「.X的分布列为:

X020406080

\_££

P

84448

=0x1+20x1+40x1+60x1+80x1=40.

84448

【小问3详解】

根据题意得，得分不低于60分即可获奖,

由⑴知，甲获奖的概率为M

由（2）乙获奖的概率为'xClx1-lLl+lxfl3

22、2）22⑴8

乙只得60分的概率为qxC：xflx—=—,

2-V2j24

所以甲、乙两人同时获奖的概率为"x'=2,

27836

211

甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为一x-二——，

27454

1

所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，甲累计得分比乙高的概率为年二

J1J

36

19.在平面直角坐标系式。中，抛物线C：/=2/*（〃>0）上一点用的横坐标为且点M到焦点尸

的距离为2.

（1）求抛物线的方程；

（2）尸是不在坐标轴上的一个动点，过尸可作抛物线C的两条叨线，两切点连线/与PO垂直.设直线/

与PO,x轴的交点分别为G,H.

①证明：”是一个定点；

\PG\

②求同的最小值.

【答案】（1）y2=2x

（2）①证明见解析；②2及

【解析】

【分析】（1）应用焦半径公式计算求得〃=1进而得出抛物线方程;

（2）①设/点的坐标及办，府的方程，再转化未知量得出直线/的方程为=尢十。，